книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

- 5 0

-

фгзиентсз peipecssz по результатам

зао^азезй , Прелдз в * « -

зуж згрскзЕпую. х

= I 2 ззмснзм зленз второго

порядка ли -

неЗнзз::, зслоззз

" Г ^ Х ^ ,

, = J = 2 ^ ; . . . . .

.

•

~- х-„ =

-х-'. X 3 . =

'

Аззлсззчшл: образом яшгЗшасг 4 2 ? 5 £ ? s

моянс будет зявната

•тепекз е.. будет

запгсыватьез здз o ^ . ; . . . ? . T 7 . ^

.^"•""'•re yp . is -

•?jH:ie

_.

.

•.;= : , X O - O , J : . -

. . . ~ b v - x K > .

73 э

-Z^-„--Z.*

Штрхз: з р з - К г

~\.: :.">-v'-;-"

.-. г;;:ус-

"зосз

:.ЙТОЗ:М

назг.йла-'зз: К2«зр£г-~в K?.**VJ

козу ^ и е н т ы

ззгзесезз.

ПТ^Е-З мптяшззреэать су?"./,' ка-гч^атсч

••••чо,-

:sf:

*

=

- f 5 . x . . - * . .

(2,1)

/.иззелугл сутзези (2.1) згзеодзт,

ггрзраззззаз Еузз част­

ные npcssBossse- от этой

квадратично* 5сг:.з, взятие

по пе ­

ременны?.: J . , з .

! Ч у , т . е .

Зызслнеязз

этой процедуры £з.эт зог^озностъ. составить

систему, число уравнений которой равно часлу

неизвестных

'коаффзпаеЕТОв. Такая система носит

название

с и с т е м ы

- 5 1

-

н о р м а л ь н ы х

у р а в н е н и й :

• 6 , ( 0 0 )

4-

о ,

(С1)

• . . .

4

1>ь(0к)

=

(dyV."

"6о

(01)

+

Ьл

(и)

4-

•

4

W

(111)

-

t ^ } ;

Hit)

•Ь0

(K0) +

b, ( k i )

+ .. .

+

J o K

(KK)

-

Щ.

Здесь введены обозначения:

( L i ) = ( i 4 j = f

х- х - •,

( L I )

=*T_

U«1

н е з а в и с и м ы х

п е р е м е н н ы х

(матрицу зна­

чений факторов), т . е .

х 0 ! .

X,.

Х0>Г>. Х 1 А ' ' '

Через У обозначим

в е к т о р

н а б я~в д е-Н и г

(матрицу-столбец экспериментальных

значений параметра оп­

тимизации),

а через

2> - матрицу-столбец к о э фф ж ц и—

е н т о в

р е г р е с с и и , т.е.

X X f3 ^ ОС w j

( 2 . 2 )

• где индекс Т

означает

транспонирование,-

поэтому

(00)

(01) . . .

( 0 «

( i i i )

(10)

( I I ) . . .

( I M

"г

у .

; х т у =

Матрица Х ' Х

получила название

и н ф о р м а ц и о н ­

н о й

м а т р и ц ы .

После умножения слева

уравнения

( 2 , 2 ) на матрицу

( X X ) " 1

получим решение

системы нормаль­

ных, уравнений в

общем виде

b ~ l . X T X ) " r x Y

<2.з)

Обозначим элементы матрицы

(ХХ)~^ через

С• ,•

. т . е .

-ок.-

О-

о

(2 . 4)

' 5

ч ?

циентов нормальных уравнений симметрична: (L j ) * (j u ) :

Матрица ( X X ) додана быть невырожденной. Отсюда ус ­

ловие

линейной независимости переменных X ] , X J , * « , X j l

(4-й

постулат), отмеченное выше*

лой

• К - С Ы ^ У ) '

(2.5)

г д е

с ~ т -

Для ортогональных планов первого порядка, учитывая

свойство

нормировки, подучим

„ *

^ F ^ * - ^ "

( 2 # 6 )

Так как

каждый фактор в этом случае варьируется на

явуг

уровнях

+1 и - I , то вычисления сводятся к пршшсывашп)

столбцу

У знаков соответствующего фактору столбца кагрж- -

§ 2 - 2 . П р о в е р к а

о д н о р о д н о с т и

в ы б о р о ч н ы х

д и с п е р с и й

где

_

«.

ли число повторных опытов одинаково по всей матрице

пла-

нжрования, то для о ц е н к и

д и с п е р с и и

п а ­

р а м е т р а

о п т и м и з а ц и и

клеем

^

h

^

f

t

W

-

( , 7 )

Выборочную дисперсию параметра оптимизации

часто называ­

ют оценкой

д и с п е р с и и

в о с п р

о и з в о д и ­

м о с т и

эксперимента

5г воспр.

дисперсии к меньшей. Полученная величина

сравнивает­

ся е таблично! величиной F --критерия

. Вол ОКажеТ-

вЯ* что

р

<

р

А

JMccn

*• т*6*

дай соответствующих степеней свободы | f х

| г х выбранного

уровня значимости, это означает,

что выборочные дисперсии

незначимо отличаются

друг от друга, т.е. они однородна.

Если сравнимое количество выборочных дисперсий больше

двух х одна выборочная дисперсия значительно превышает

остальные, можно воспользоваться

к р и т е р и е м

К о х р е н а .

Этот критерий пригоден для случаев, когда

Золи зоаниазеи гредполсжегше о

наетчак Е ^ - Д Н ^ - ^ К ' - ^ - П

энЗорочнкх дц:с~ерсий, следует Пйтата-гаг-» его

.

Для отей

n e x t мояно 2 0 С Л > Я Ь З О В Й ? з П 5

s p u e

J ' i е

Е а р т г

2 г а , По фор^узе

( 2 . 8 ) ЧОЖЧРГГХ?*^?

оце-г

дисперсии

воспроиззсдоюе?а,

SY^V

Ладе*. ня£одг.*с>- в«."'"-ч-

на

§ 2 - 3 . П р о в е р к а

а д е к в а т н о с т и

и о д е

л

Первый вопрос,

который нас

интересует

после вычисле­

ния коэффициентов модели, это проверка ее

пригодности. Та­

кую проверку называют проверкой адекватности модели.

С этой целью вычисляем остаточную сумму квадратов, де­

лит*; ее на число степеней

свобода {

в У -

К, - z и получаем

о с т а т о ч н у ю

д и с п е р с и ю

ЕЛИ дисперсию

а д е к в а т н е с т г

S 1 „ Ji _ f

/ ц

- S

где

л

црэдеказанная уравнением регрессии, а

^ - величина,

^ -

найденная экспериментадьяо.

Для проверки гипотезы об адекватности аюдели пользуют­

ся F

-критерием Фишера, т . е . вычисляется

отношение

ж если рассчитанное

значение "F -критерия

не превышает таб­

применим в случае,

если опыты в матрице шанирозания

не

дублируются,

а информация о дисперсии воспроизводимости

извлекается

из параллельных опытов в .нулевой точке

или

из щредварательных

экспериментов ...

В общем случае

ц,. -

предсказанное

гк> у^агчеяяг

сличение 3 I - я

спкгм> ,

Смкс; ЭТОЙ формула очень зр-опт: разлячл» мезгу

sEcrte-

ргмзнтальншл и гасчетннм зпдченлзм ^-«-а'-тег

там бег&дптй

вес, чем больие число повторных сгатсв.

Адекватность

линейного

уразнеякя

матет

тгрг; орать

z

другим путем. Очевидно,,

что

кезфрапче;??

^-

,

оир-сД-э.^яшй

со результатам полного

ч дробного факторного

окелгрсанта,

всегда язлязтея оценкой;

0„

Ъ_

-

' ~

•?>• : .

3

! <3

;

- i.

С другой стереги, величала "о„ является спек;:о2 резуль­

тата опыта :?а основном уровне. Поэтому

е с ж . зыггалки?!-

опыт па ессозном уровне,

г . з . получить

ц3

,

и найти

раз­

ницу

i

ц^.}, то эта

величина язляется .оценке?: су&глп

^вадратичнвх членов з

урагнепии регрессия. Зслл

разность

: , -

ц9 )

велика,

ланеЗнжл

уравнением пользоваться

нель­

з я ; если мала - возможное

использования линейного

ураз-

"зь^:

нз

исключена, гначагоста "азличпя

ьтезду 6

i

у

вкз-

-

i "