книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

- 1 4 0 -

мере линейное приближение оказалось неадекватным.

Какое из трех решений целесообразно принять?"

1. Построить новый план, уменьшив интервалы варьиро­

вания. Это даст возможность избавиться от эффектов взаи­

модействия и, возможно, сделать линейное Приближение

- адекватным.

2 . Достроить линейный план до плана второго порядка.

3 . Достроить полуреплику до полного факторного экспе­

римента с тем, чтобы освободить линейные эффекты от сме­

шивания с тройными взаимодействиями.

- 1 4 1 -

с так называемой "статической оптимизацией". Причем;рас­

смотрены лишь детерминированные методы поиска. Некоторые

из статистических методов поиска мы рассмотрим в следую­

щей главе У.

Читателю, заинтересовавшемуся проблемой поиска экстре­

мума, для первоначального знакомства с основными идеями

поиска мы рекомендуем книгу А.А.Первозванского [28] . Она

написана легким и живым языком и чтение ее не требует спе­

циальных математических знаний. Для более подготовленного

читателя моето порекомендовать книгу Д.Дж.уайлда [зэ] . Методы адаптационной оптимизации технологических процес­

сов обстоятельно изложены в разделе У работы Ф.С.Новика [2,7],

„ГЛАВА У

ПЕАН2Р0ВАНИЕ ОТСЕИВАЮЩИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

основанные на том, что в программу исследования включены все К независимых переменных, ответственных за протекание изучаемого процесса. Мы не оценивали риск, связанный с тем,

что некоторая, весьма существенная ( К. + 1)-ая переменная не включена в рассмотрение.

Чтобы не пропустить ни одну из потенциально возможных

переменных, на первых этапах изучения сложных процессов в программу исследования нужно включать десятки независимых переменных. В дальнейшем обычно больная часть этих перемен­ ных отсеивается, так как соответствующие им эффекты оказы­

ваются незначительными. Отсюда необходимость в постановке

- i k h -

располсжить в порядке убывания вносимого ими вклада, то получится затухание экспоненциального типа, показанное на

рис. 5 . 1 ,

100%

Рис. 5 . 1 На рис.5.1 по оси абсцисс отлокены эффекты в порядке

убывания их ранга, по оси ординат - суммарный вклад, вно-

сикаЗ з общую дисперсию данным фактором и всеми менее зна-

чиш-'и факторами.

Исследователь заранее не знает, как ранжируются эф­

фекты я его задача - воспроизвести эту ранжировку при по­

моги отсеивавцего эксперимента. Эффекты, попавшие в пра­

вую часть диаграмма ранаироваяия, следует отнести к иумо-

воиу поло, на фоне которого нужно выделить значимые эффек­

ты, попаваае в левую часть.диаграммы.

В 1956 году Саттерзвайт предложил метод случайного

баланса для отсеивания небольшого числа значимых эффектов

на кумовом поле. Идея метода заключается в постановке экс­

периментов по плану, содержащему координаты точек, выбран­

ных случайным образом, то есть, вместо дробных реплик, ко­

торые представляют собой систематические выборки из полного факторного эксперимента, предлагается брать случайные выбор­ ки. Так как предполагается, что доминирующих эффектов долж­ но быть мало, то можно надеяться, что таким способом удаст­ ся их выделить. Планирование предлагается делать сверхнасы­

нечно, нельзя дать количественной оценки всем коэффициентам

регрессии. Но это н не нужно деда» при проведении отсеи­ вающих экспериментов* Достаточно на первом этапе произвест.» некоторое произвольное расщепление математической модели, отнеся большую часть эффектов к шумовому полю.

Тогда оставшиеся эффекты могут быть оценены количественно.

Допустим, что изучается К эффектов, создаваемых ли­ нейными членами и парными взаимодействиями. Не нарушая

общности, результаты эксперимента можно представить линей­

— 145 —

у - ра+ p., х , + . . . + j b K . t х , , . с + ^ 1 г ) + ^ г 2 + . . . + ^ г й + и -

фектами. Остаточная дисперсия здесь, конечно, будет боль­

ше дисперсии 6 г { а ) , характеризующей ошибку опыта.

Оценка оставшихся коэффициентов регрессии будет произво­ диться с большой ошибкой. Если под чувствительностью ме­ тода понимать способность выделять коэффициенты регрессии, значимо отличающиеся от нуля, то тогда моио сказать, что метод случайного баланса., обладает меньшей чувствитель­ ностью, чем факторный эксоержим&х или дробине реплики от него. Но в то хе время метод случайного баланса обладает большей разрешающей способностью - в том смысле, что в благоприятной для него ситуации он позволяет выделить раз-, дельно доминирующие эффекты среди очень большого числа эффектов, взятых под подозрение.

- 1 4 6 —

Матрицу планирования можно построить с помощью табли­

цы случайных' чисел для случайного распределения уровней по

столбцам - это будет случайно сбалансированная матрица.

Отсюда и название метода - метод случайного баланса.

Построение матрица планирования можно выполнить и сле­

дующим образом. Все линейные эффекты разбивают на группы.

Разбивку на группы иногда слизывают с физикой процесса, а

иногда производят формально.

Затем для каждой группы строят матрицу планирования,

беря полный факторный эксперимент иди дробные реплики.

Лучше компоновать группы из t - 4-Х элементов, выбирая для

группы соответствующий полный факторный эксперимент, так

как при этом перебираются все возможные комбинации уров­

ней .вгруппе.

План прядения эксперимента образуется путем случай-

ноге смешивания строк соответствующих "групповых планов".

Поясним это на примере. Пусть требуется исследовать

и выделить наиболее сущестжениве Факторы с помощью неболь­

строк соответствующей матрицы полного факторного экспери­ мента, при этом, очевидно, возможна ситуация, ког а неко­ торые строки матрицы полного факторного эксперимента будут встречаться в групповой матрице несколько раз, в то время как другие - ни разу.

Результирующая матрица для проведения отсеивающих экс­ периментов по методу случайного баланса составляется путем объединения групповых матриц в виде табл. 5 . 3 . Программа опытов, заданная этой таблицей, реализуется на объекте. Затем полученный экспериментальный материал анализируется с помощью диаграмм рассеивания результатов наблюдений по отдельным факторам.

- 1 А 9 -

примерв юс четыре). Эти точки разбиты на две группы: одна :?з ВЕХ соответствует тем опытам, где исследуемый фактор находился ка никнем уровне, вторая группа - опытам, где тот же фактор находился на верхнем уровне.

1

гэ

Рис. 5.2 Затеи находятся медианы отдельно для .точек, располо­

женных слева (на верхнем уровне), • отдельно для правых

точек (нижний уровень).

. в данном случае кедиава - это линия, по обе стороны

которой.лежат одинаковые количества точек, независимо-от их конкретных значений. Если число точек четное, например

Разность между медианами качественно характеризует роль фактора. Визуальное сравнение вкладов по диаграмме рассеиьания (рис.5.2) дает возможность сразу выделить