книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

ГЛАВА-17

ПОИСК ОПТИМАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

проектирования и планирования, а также разработки техноло­ гии различных процессов (ггамических, физических и металлур­ гических'! в той или иной мере связано с оптимизацией, т . в . нахождением наилучших в определенном смысл" значений раз­ личных параметров (факторов). Задача оптимизации может быть решена путем исследования математической зависимости, описы­ вающей область факторного пространства в широком интервале изменения факторов.

Однако такие зависимости часто бывают очень сложны,и их исследование для определения оптимума является гсрайне труд­ ной задачей, Исследователи идут обычно другим путем: внача­ ле тем или иным способен цаходят оптимальную область, а за­ тем описывают её уравнением второго или третьего порядка. В настоящее вреда существует много различных,методов поиска оптимальной области. -Их можно разбить на две группы: детер­ минированные и статистические. В детерминированных методах поиска движение к оптимальному осуществляется на основе ин­ формации, получаемых от пробных движений, совершаемых в опре­ деленной последовательности. В статистических методах поис-

-91 -

ка пробные движения производятся в той или иной мере случай­ ным образом, а движение к оптимуму является вполне оп­ ределенным следствием реакций на случайные пробы. В прак­ тике планирования эксперимента наиболее широко применяются детерминированные методы псзска.

§ 4 - 2 . М е т о д Г а у с с а-3 е й д е л я Среди детерминированных методов поиска оптимальной сб-

ласти наиболее старым является метод Iaycca-Зейделя, при ко­ тором все факторы, кроме одного, поочередно фиксируются. Это известная нам из § В-3 схеыа сднофакаорного эксперимента.

Здесь исследователь изучает поведение каждого фактора в от­ дельности. Ставится серия опытов при различных значениях не­ зафиксированного фактора и таким образом, двигаясь парал­ лельно одной из осей факторного пространства, исследователь находит наилучшее для рассматриваемого разреза поверхности отклика значение параметра оптимизации. Затем в этой наилуч­ шей точке он поворачивается и ставит следующую серию опытов при различных значениях следующего фактора (остальные фак­ торы при этом зафиксированы). Таким образом осуществляется движение параллельно следувярй оси факторного пространства. Последовательнее прохождение всех осей факторного простран­ ства составляет первый цикл исследования. Процедуру повто­ ряют до получения оптимум ЕЛИ ДС попадания в некоторую гочку, любое движение из которой "ухудшает" значение параметра оптимизации. Распространенным недостатком проведения экспе­ римента по этому методу является прекращение работы после

ка, напоминающий итерационный метод .решения задач вычисли­

тельной математики. Вначале давится небольшая серия опытов (дробный факторный эксперимент) для локального описания не­

большого участка поверхности отклика полиномом первой сте­

пени. Далее движение осуществляется по поверхности отклика

в направлении градиента линейного приближения. Это движение

сопровождается одновременным изменением значений в с е х

факторов. Если одного линейного приближения оказывается не­

достаточно, то ставится новая небольшая серия опытов и нахо­

дится новое направление для движения по поверхности отклика.

Такой шаговый процесс движения по поверхности отклика про­

должается до тех пор, пока исследователь не попадет в "почти

стационарную область", где линейное приближение сказывается

уже недостаточным ; здесь ставится большая серия опытов и по­

верхность отклика описывается полиномом второго, а иногда

третьего порядка. При таком подходе к задаче достигается

весьма высокая концентрация опытов в той части поверхности

отклика, которая преимущественно интересует исследователя.

Движение по градиенту давно известно в науке. Существен­

- 9 4 -

На рисунке пунктирной линией показано движение по мето­

ду Гаусса-Зейделя, а сплошной - по методу крутого восхозде- , -• ния. Из рисунка ясно, что при использовании метода крутого восхождения путь, который необходимо пройти экспериыентато-

ру, значительно сокращается. С возрастанием числа факторов эффект от применения метода крутого восхождения возрастает.

Практическое применение метода Бокса-Уилсона неразрывно связано с принятием решений после построения линейного при­ ближения (линейной модели) и после крутого восхождения.Оче­

видно, что рассмотрение этих вопросов может оказаться по­ лезным и для других методов поиска оптимальной области.

исследования (достижение оптимума, построение интерполяцион­ ной формулы) и т . д . Пр*дМерное количество возможных решений достигает нескольких десятков тысяч. Поэтому ниже обсудим только "типичные" решения. Ситуации будем разлсчать по адек­ ватности и неадекватности модели, значимости и незначимости коэффициентов регрессии в модели, информации о положении оп­ тимума.

- 9 5 -

3 . Все коэффициента регрессии незначимы.

В каждом варианте оптимум может быть близко, далеко

или о его положении нет информации (неопределенная ситуа­

ция).

Рассмотрим п е р в ы й вариант.

Если область оптимума близка, возможно 3 решения: окон­

чание исследования, переход к планам второго порядка и дви­

жение по градиенту.

Решение при неопределенной ситуации или удаленной об­

ласти оптимума одно и то же: движение по градиенту.

Известно, что движение по градиенту наиболее эффективно,

если коэффициенты значимы, поэтому во в т о р о м вариан­

те выбираются решения, реализация которых приводит к полу­

чению значимых коэффициентов:

1)изменение интервалов варьирования;

2)перенос центра плана ;

3)отсеивание незначимых факторов }

4)увеличение числа параллельных опытов ;

5 ) достройка плана.

Достройка плана осуществляется несколькими способами.

1 . Методом "перевала" - у исходной реплики изменяют зна­

ки на обратные.

2 . Переходом к полному факторному эксперименту.

3 . Переходом к реплике меньшей дробности. . -

4 . Переходом к плану второго порядка (если область опти­ мума близка).

Реализация любого из этих решений требует больших аксяе-

- 9 6 -

риментальшх усилий. Поэтому иногда стоит пойти на некото­

из-за большой ошибки эксперимента или из-за узких интерва­

лов варьирования. Поэтому возможные решения направлены на увеличение точности эксперимента путем улучшения методики

исследования или постановкой параллельных опытов, а тайке на расширение интервалов варьирования. Если область оптиму­ ма близка, то возможно также окончание исследования или

неадекватна, значит не удается аппроксимировать поверхность отклика плоскостью. Формальные признаки (кроме величины

Б -критерия), по которым можно установить неадекватность

не может быть принята. Однако надо учесть, что сумма может быть незначима и при значимых квадратичных эффектах, если они имеют разные знаки.

Если область оптимума близка, то либо доследование з*—

- 97 -

канчивается, либо реализуется план второго порядка. Такие ре­ шения, как изменение интервалов варьирования, перенос центра плана и достройка плана, применяются для получения линейной модели. Иногда отказываются от построения адекватной модели, чтобы ценой нескольких опытов проверить возможность движения по градиенту. Еще одно решение: включение в модель эффектов взаимодействия и движение с помощью неполного полинома второ­ го порядка. Этот прием связан с получением и анализом уравне­ ний второго порядка. Направление градиента будет меняться от точки к точке.

Наконец, если поставлена задача построения интерполяцион­ ной фор*7лы, то на получении адекватной модели исследование

заканчивается, а в случае неадекватной модели принимается од-

*

но из следующих решений: включение в модель эффектов взаимо­ действия, достройка плана, преобразование переменно, изме­ нение интервалов варьирования. Если не удалось все же полу­ чить адекватную модель, то остается разбить область экспери­ мента на несколько подобластей и описать отдельно каждую из

них.

4 - 3 . 2 . П р и н я т и е р е ш е н и й п о с л е к р у ­ т о г о в о с х о ж д е н и я

После завершения крутого восхождения исследователя ожидают довольно разнообразные ситуации, требующие принятия решений о дальнейших действиях. Ситуации различаются по признакам: ока­ залось крутое восхождение эффективным или нет ; положение опти­ мума (близко, далеко, неопределенно). В некоторых случаях нужно

- 98 -

учитывать адекватность (или неадекватность) линейной модели.

Об эффективности дваяеяш по градиенту судят по величи­

не параметра оптимизации. Движение по градиенту считается эф­ фективным, если реализация масленных опытов, рассчитанных на стадии крутого восхождения, приводит к улучшению значения параметра оптимизации по сравнении с самым хорошим результа­ том в матрице планирования.

до плана второго порядка в целях описания области оптимума. Какое решение выбрать - это зависит от того, как сформулиро­ вана задача оптимизации. Если область оптимума далека, то ре­ шение одно: построение линейного приближения нового цикла. Б неопределенной ситуации, когда экспериментатор не может опре­ делить степень близости оптимума, также можно переходить к

ния: окончание исследования (выбирается лучший опыт) или пост­ роение плана второго порядка для описания области оптимума.

Если линейная модель была неадекватна, то возможно и третье решение: выяснение причин неадекватности линейной модели.

Если область оптимума далека и линейная модель адекватна, но все же крутое восхождение оказалось неэффективным, то воз­ можное объяснение - в характере поверхности отклика (см.рис.

4 . 2 ) .

- 99 -

1 л

Рис. 4 . 2 .

I - исследованная область факторного простран­ ства в 1-ом цикле крутого восхождения ; П - исследованная область факторного простран­ ства во 2-ом цикле крутого восхождения.

И в таких случаях целесообразно передвинуться в другую об­ ласть факторного пространства и построить линейный план вто­ рого цикла крутого восхождения.

Если область оптимума далека, линейная модель неадекват­ на я крутое восхождение неэффективно, то следует выяснить причины неадекватности модели.

Если крутое восхождение неэффективно и положение оптиму­ ма неопределенное, то рекомендуется поставить опыты в центре эксперимента для оценки вклада квадратичных членов. Если сум­ ма квадратичных членов значима, это может свидетельствовать о близости к почти стационарной области. Тогда следует при­

ступить к построению плана второго порядка или кончать иссле­ дования.