Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1271 вуз, 4663 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
23.10.2023
Размер:
7.9 Mб
Скачать
☆

 

-

10 -

 

 

 

способы

такого воздействия ш

обозначаем

через

х . , I =

I »

2 , . . . ,

К ж называем ф а к т о р а м и .

Их называют

так­

же независимыми переменшш и входами "черного

ящика".

 

При решении задачи будем использовать

математические

модели объекта лсследования. Здесь под математической мо­ делью ш понимаем уравнение, связыващез параметр оптими­ зации с факторами. Это уравнение в общем виде можно запи­ сать так:

£ - Ч >

(*, , эс 2 , ... , х £ ) .

 

Такая функция называется

ф у н к ц и е й

о т к л и к а .

Поверхность, являющуюся геометрическга образом функции

отклика, называют

п о в е р х н о с т ь ю

о т к л и к а ,

В самом общем случае,

когда исследование

ведется при

неполном знании механизма

изучаемых яглений,

естественно

считать аналитическое выражение е&ункции неизвестным. Поэ­

тому приходится ограничиваться представлением ее полино-

^ -

1 < J

J

^ - « ;

( B . I )

с теоретическими

 

к о э ф ф и ц и е н т а м и

р е г ­

р е с с и и fro

»

'

»

J 4 i »•••

Разложение

функции

в степенной ряд

эквивалентно

представлению ее рядом Тей-

 

 

 

 

- 1 1

-

 

!Ь

1

ft

1

 

Пользуясь результатами эксперимента, ножно определять

только

в ы б о р о ч н ы е

к о э ф ф и ц и е н т ы

р е г р

е с

с и и

"6в « " 6 и »

,

которые яв ­

ляются лишь оценками для теоретических коэффициентов рег­

рессии. Уравнение регрессии, полученное на основании опы­

та,

залжется так

 

 

^ ••-

 

Ц-^а+ТЬгХь

+ ТЪ,;

X, - +Т_

0 . . Х 2

+ . . . ,

 

 

 

i

 

 

(В.2)

где

\j - значение

выхода, предсказанное

уравненвеы ( у -

выборочная

оценка для <j ).

 

 

 

 

Здесь

заметим,

что согласно

существующей в

математи­

ческой статистике традиции параметры генеральной совокуп­ ности обозначают греческими буквами, а их выборочные оцен­ ки - латинскими буквами. Например, выборочная дисперсия

обозначается

s 1 , генеральная

-

б 1 .

Иногда,

впрочем,

обо­

значения выборочных

значений снабжает

также

специальным

 

 

 

А

 

 

 

 

значком - крышечкой,

например

* 1

. Таким образом, под

т е ­

оретическими

коэффициентами регрессии

в формуле ( B . I )

с л е ­

дует понимать те коэффициенты регрессии, которые можно бы­ ло бы получать для некоторой генеральной совокупности, с о ­ стоящей иг всех мысленных опытов.

План эксперимента, позволяющий вычислить коэффициенты

 

 

 

-

м

~

 

 

линейного уравнения регрессии,

называют

п л а н о м

д е р в о г о

п о р я д к а .

 

 

 

П л а н

в т о р о г о

 

п о р я д к а

- это план

эксперимента, позволяющий вычислить коэффициенты полного

уравнения регресии второй

степени.

 

 

 

Теперь уже понятно, что план эксперимента,

позволяю­

щий вычислить

коэффициенты полного

уравнения регрессии

К -ой

степени,

будет п л а н о м

К - го

п о р я д к а .

Соответствие математической модели объекта эксперимен­

тальным данным называют

а д е к в а т н о с т ь ю .

Координатное пространство, на осях которого отклады­

вают

значения

исследуемых

факторов,

называют

ф а к т о р ­

н ы м

п р о с т р а н с т в о м .

Иногда

под

факторным

пространством погашается пространство, образованное осями факторов и осью параметра оптимизации.

 

Каждый фактор может принимать в опыте одно из

несколь­

ких

значений. Такие значения будем называть

у р

о в н я -

м и

. Может оказаться, что фактор способен

принимать бес ­

конечно много значений. Однако на практике точность, с ко­ торой устанавливается некоторое значение, не беспредельна.

Поэтому мы вправе считать, что всякий фактор имеет опреде­

ленное число дискретных уровней. Это соглашение существен­ но облегчает построение "черного ящика" и эксперимента и упрощает оценку их сложности.

Фиксированный набор уровней факторов определяет одно

из возможных с о с т о я н и й "черного ящика". Одновре-

- 12) -

мбнно это есть условия проведения одного из возможных опы­ тов. Если перебрать все возможные наборы состояний, то мы

получим полное множество различных состояний данного "ящи­ ка". Одновременно это букет число возможных различных опы­ тов.

Естественно считать, что число различных

состояний оп­

ределяет с л о ж н о с т ь

данной системы.

Чтобы узнать

возможное число различных состояний, достаточно число уров­ ней факторов (если оно для всех факторов одинаково) возвес­

ти в степень числа факторов Ч : р , где р - число уровней.

Если число уровней различных факторов различно, например,

р. - число

уровней

фактора

х ^ ,

то число различных состо

яний равно

произведению р,

р г . ; .

р ^ .

При планировании

эксперимента

не безразлично, какими

свойствами обладает объект исследования. Укажем два основ­ ных требования, с которыми приходится считаться. Прежде

всего

важна степень

в о с п р о и з в о д и м о с т и

 

р е з

у л ь т а т о в .

Если наблвдать объект в одном

и

том ке состоянии в различные моменты времени, то разница в наблюдениях не должна превышать некоторого заданного зна­ чения. В эхом случае объект удовлетворяет требованию вос­ производимости.

Различают эксперимент активный и

пассивный.

А к т и в ­

н ы й

э к с п е р и м е н т

- это

эксперимент,

планиро­

вание и анализ которого основаны на математике-статистиче­ ских методах. Эксперимент, в котором математико-статисти-

;сскне aseroAa ясяользуют только для обработка результатов,

называет

п а с с и в н в м

э к с п е р и м е н т о м .

' При проведение активного эксперимента важной характе­

ристикой

объекта является

у п р а в л я е м о с т ь .

Управляемым будем называть такой объект, который экспери­ ментатор может по своему желанию перевести в любое из раз -

личимнх состояний и поддерживать в этом состоянии с задан­ ной точностью заданное время.

§ В--3. О с н о в н ы е

м е т о д о л о г и ч е ­

с к и е

к о н ц е п ц и и

Здесь мы дадим некоторое представление об основных

оощеметодологических концепциях, которые вневла математи­ ческая статистика в теорию эксперимента.

К о н ц е п ц и и

р а н д о м и з а ц и и

Математическая статистика внесла концепцию случая

(рандомизации) в

эксперимент, заставила исследователя

и с к у с с т в е

н н о

создавать случайную ситуацию в

эксперименте. Эта концепция послужила толчком к развитию работ по планированию выборок и позднее к развитию работ по планированию эксперимента. Программу эксперимент*, стали составлять так, чтобы равдомизировать ( т . е . сделать случайными) те систематически действующие факторы, кото­ рые трудно поддаются учету и контролю, с тем, чтобы мож­ но было рассматривать их как случайные величины и, следо­ вательно, учитывать их статистически.

Таким образом, рандомизация - это способ включения

- 1 5 -

неизвестных или не интересующих исследователя систематиче­

ских ошибок в число случайных ошибок, к которым применимы законы теории вероятностей и математической статистики.

Проводят рандомизацию, как правило, следующим образом:

все опыты нумеруют, а затем устанавливают очередность их экспериментальной реализации таким образом, чтобы она была случайной^

Полная рандомизация не всегда оказывается возможной.

Как,например, рандомизировать во времени эксперимент, если

исследователю нужно последовательно выполнить несколько циклов, состоящих из четырех опытов, а в день он может по­ ставить только по три опыта? Появилась потребность в созда­ нии рандошзированных экспериментальных планов с ограниче­ ниями, наложенными на рандомизацию. Так появились неполноблочные сбалансированные планы, латинские и греко-латинс­

кие квадраты. Подробнее

об этих планах будет сказано в

§ 8 - 5 .

 

 

К о н ц е п ц и я

о п т и м а л ь н о г о

и с ­

п о л ь з о в а н и я

ф а к т о р н о г о

п р о . -

с т р а н с т в а

Оптимальное использование факторного пространства одна

из тех принципиально новых идей, которые внесла математи­

ческая статистика в теорию эксперимента. Проиллюстрируем

эту идею совсем простым примером - задачей, о взвешивании

трех объектов А, 3 , С. Традиционно исследователь стал бы

взвешивать эти объекты по схеме, приведенной в табл.В.1.

И s i

 

A

 

 

 

 

i

,•

-

I

2

i

+

I

з

i

-

I

4 j

-

I

 

 

 

1 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица B . I

!

 

В

!

с

j

Результат

!

 

!

j

взвешивания

!

 

 

1

 

i

-

I

1

- 1

 

 

i

 

 

!

"

1

i•

- 1

l

*

i

+ 1

!

- 1

1

Ъс1

1

1

 

- 1

1

+ 1

i

Чг

 

•

Ь

 

 

 

i

 

 

 

В этой таблице

+ 1 указывает,

что объект взвешивания

поло­

жен ва весы, - I

указывает на

отсутствие объекта на

весах.

Вначале производится "холостое" взвешивание и тем самым

определяется нулевая точка весов, а затем по очереди взве­

шивается каждый из объектов. Это пример традиционно исполь­

зуемого о д н о ф а к т о р н о г о эксперимента. Гйесь

исследователь изучает поведение каждого фактора в отдель­ ности. Вес каждого объекта оценивается только по результа­ там двух опытов: того опыта, где на весы был положен изу­ чавши объект, ж холостого опыта.

Например, вес объекта А равен

А- ¥," % •

•Дисперсия результатов взвешивания запишется в виде

где (5 | ^ ^ошибки взвешивания.

- , Проведем теперь тот же эксперимент по несколько иной схеме, задаваемой теперь уже матрицей планирования, приведенной в табл.В.2. Здесь в первых трех опытах последова­

тельно взвешиваются объекты А, В, С, в последнем опыте

взвешиваются вое три объекта вместе - "холостое" взвеши­ вание не производится,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тар-дитта В, ft

Номер

Г

 

к

— Г

в

— г

1

•

»—

!.

 

!

!

с

j

Результат

 

ошта

!

 

 

|

!

 

j ' взвешивания

I

|

- I

 

- 1

1

+ 1

i

Чн

 

2

j

+ I

! - 1

1

- 1

 

%

 

3

i

-

I

 

+ 1

j

- 1

 

ь

 

 

 

 

 

4

!

+

I

 

+1 .

1

+ 1

i

 

 

Л.

Легко проверить, что вес каждого объекта будет зада­ ваться формуламж

2

2

Здесь числители получены путем умножения элементов по­

следнего столбца на элемента столбцов А, В, С. Мы видим,

что при вычислении, скажем, веса объекта А он входит в чи­

слитель 2 раза, и поэтому в знаменателе стоит число 2.Вес

объекта А, вычисленный по приведенной выше формуле, оказы­

вается неискаженным весами объектов В и С, так как вес

каждого jrir ннхзвходит в формулу для веса А Дважды и с раз­

ными знаками, J — • - .

Найдем теперь дисперсию, связанную с ошибкой взвеши­ вания при новой схеме постановки эксперимента; она равна

- 18 -

Аналогичным образом находим

. 6 2 { В ) - 6 2 { у ) , б 2 { с } = б ^ } .

Ыы видим, что при новой схеме взвегашакия дисперсия

получается вдвое меньше, чем при традиционном методе взве ­

шивания, хотя в обоих случаях выполнялось по четыре опыта.

При традиционном взвешивании мы должны будем все четыре

опыта повторить дважды, для того чтобы получить

результа­

ты с той же точностью,

что и во втором случае.

 

 

За счет чего происходит увеличение точности экспери­

мента в 2 раза?

 

 

 

 

В первом случае эксперимент

был поставлен так, что

 

каждый вес мы получали

лишь по результатам двух

опытов.

При новой схеме эксперимента каждый вес вычисляется уке

по результатам всех четырех опытов. Отсюда и удвоенно

точ­

ности. Вторую схему эксперимента

можно назвать

м н о

-

г о ф а к т о р н о й .

Здесь оперируют всеми

факторами

(объектами взвешивания) так, чтобы каздый вес вычислять

по результатам всех опытов, проведенных в данной серии • экспериментов.

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ

МЕТОДЫ ПЛАКИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА, ОСНОВАННЫЕ НА ОПТШАЛЬНШ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ФАКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА

ГЛАВА I

 

 

ПЛАНЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

-

 

§ I - I . П р и н я т и е

р е ш е н и й

п е р е д

п л а н и р о в а н и е м

э к с п е р и ­

м е н т а

 

 

Построение плана первого порядка начинается с выбора

области эксперимента, выбора основного уровня и выбора ин­

тервалов изменения факторов.

В ы б о р

о б л а с т и

э к с п е р и м е н т а

При выборе области эксперимента прежде всего надо оце­

нить границы областей^определения факторов. При этом долж­

ны учитываться ограничения трех типов.

Первый тип: принципиальные ограничения для значений

факторов, которые не могут быть нарушены гж-при каких об ­

стоятельствах. Например, если фактор - температура, то

нижним пределом будет абсолютный нуль.

Второй тип: ограничения, связанные с технико-экономи­

ческими соображениями, например, со стоимостью сырья, д е ­

фицитностью отдельных компонентов, временем ведения про­

цесса.

Третий тип ограничений, с которым чаще всего приходит­

ся иметь дело, определяется конкретными условиями проведе-

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности