книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие
.pdf2 . |
Известно^что |
функций |
^ ( З с | С ! > в я а Д а е т с |
одной^из |
||||
-акций |
Y l |
( х Д ) |
^ , 7 л ( х , |
е у |
|
|
||
Размерность |
векторов |
8 1 ? . . . , |
8 ^ |
u o s e i быть |
различна. |
|||
Требуется определить, какая из функций |
®j) |
явля |
||||||
ется истинной и найти неизвестные параметры. |
|
|
||||||
Очеввдно, что чей меньше |
У , |
тем выше уровень |
апри |
|||||
орных |
знаний. |
|
|
|
|
|
||
3 . |
|
Вид функций |
t | ( х ) не |
известен. Известно лишь, что |
||||
Функция t^( . x) в интересующей экспериментатора области
может быть достаточно хорошо аппроксимирована конечным ря
дом по некоторой системе (или системам) наперед заданных
функций. Требуется найти наилучшее описание функции ^ ( & )
Хотя разбиение 1-3 довольно грубо,и можно найти приме
ры, когда действительная экспериментальная ситуация зани
жает промежуточное состояние между какими-либо двумя ука
занными уровнями, оно удобно с точки зрения существующих
методов планирования эксперимента и в то же время хорошо
описывает большинство реальных случаев.
§ 7 - 2 . П л а н и р о в а % и е ' |
э к с п е р и м е н |
||||
т а |
п о |
о п р е д е л е н и ю |
и л и |
||
у т о ч н е н и ю |
о ц е н о к |
н е и з |
|||
|
в е с т н ы х |
п а р а м е т р о в |
|||
Математический аппарат для этого случая 'Наиболее раз
вит и к настоящему времени его построение с идейной точки
зрения практически завершено.
Здесь развиты эффективные методы статистического и пос
ледовательного планирования эксперимента.
- 1 8 1 - |
|
|
|
Под с т а т и ч е с к и м |
плакированием эксперимента |
||
понимается априорное планирование |
всего |
эксперимента в |
|
целом. Для широкого класса функций |
^ ( * ) |
статическое |
|
планирование эксперимента заключается, по существу, в- ис пользовании готовых таблиц, описывающих характеристики оп
тимальных |
планов. |
|
Под |
п о с л е д о в а т е л ь н ы м |
планированием по |
нимается планирование эксперимента по этапам, т . е . планиру ется одно или несколько измерений, затем эти измерения реа лизуются, проводится обработка полученных данных и затем вновь приступают к планированию и т . д . Схематически структу
ру последовательного |
планирования можно представить в виде |
|
схемы на рис.7.1. |
|
|
оланиро&ание |
эксперимент |
яналиь |
|
|
|ММИ* |
Рис.7.1 Если в качестве критерия оптимальности эксперимента
выбрать "25 -оптимальность, то последовательное планирова ние будет заключаться в том, чтобы на каждом отдельном эта пе эксперимент проводить так, чтобы получать максимально возможное уменьшение определителя матрицы ошибок для оце нок неизвестных параметров.
§ 7 - 3 . П л а н и р о в а н и е |
д н е к р и м и - |
|
п и р у ю щ и х |
э к с п е р и м е н т о в |
|
уровне априорных знанийсоответствующих £ -му
- 1 в г -
случаю, на начальной этапе возникает необходимость в пос тановке экспериментов, позволяющих из некоторого набора математических моделей выбрать наиболее близкую к реаль ной. Такие эксперименты принято называть д и с к р и м и н и р у ю щ и м и .
Планирование подобных экспериментов заключается в поиске точек, в которых сравниваемые модели были бы поставлены
вкритические условия, или говоря иными словами, нужно отыс кать такие точки, результаты измерений в которых не были бы инвариантны относительно замены одной проверяемой моде ли на другую.
Существует несколько методов планирования дискримини рующих экспериментов, каждый из которых является по своей природе последовательным. Эти методы отличаются друг от друга критериями оптимальности эксперимента, положенными
вих основу.
Рассмотрим м о д е л ь |
д и с к р и м и н а ц и и |
||
п о * , в з в е ш е н н ы м |
с у м м а м |
к в а д р а |
|
т о в |
о т к л о н е н и й . |
Для простоты |
ограничимся дву |
мя конкурирующими гипотезами:
Допустим, что в результате измерений, выполненных в точках
ос1 , х г |
х л , получены выборочные значения ( ^ , , 1 ^ , |
|
ул |
свесами |
w , , w i v . . w , . . |
Вычислим |
взвешенные |
суммы квадратов |
—163 —
где |
верхний индекс |
(п.) |
просто указывает, |
что б |
оце- |
|
вена по первый к |
наблюдениям. |
|
|
|||
|
Мы сможем, пользуясь |
х * |
- критерием, |
выбрать |
одну из |
|
ух конкурирующих гипотез, |
если суммы квадратов |
SS^n) |
||||
и |
S Ь г (п) достаточно сильно |
отличаются друг от друга, Е С |
||||
Л И |
разность между ниш мала, |
то надо поставить (к* |
I ) - " |
|||
эксперимент. Его, естественно, следует ставить в той точке,
где ожидается максимальное значение этой разности. Так фор
мулируется простейший критерий для планирования дискримини рующих экспериментов.
Этот подход носит эвристический характер, его .трудно
увязать с общими идеями математическом статистики.
Значительно более обоснованным является алгоритм при
нятия |
решения, основанный на критерии о т н о ш е н и я |
|
м а к с и м а л ь н о г о |
п р а в д о п о д о б и я . |
|
Напомним определение функции правдоподобия. Если ня имеем дело с выборкой объемом т. из генеральной совокуп ности с плотностью вероятностей р fy), то функцией прав
доподобия называется выражение
|
|
- |
т |
- |
|
для |
выборки, задаваемоЗ уу. -мерным векюрок |
. |
|||
|
Ограничимся анализом ситуаци:: с двумя конкурирующие |
||||
гипотезами, |
найдем отношение |
максимального |
правдоподобия |
||
для |
первых |
п наблюдений |
|
|
|
где СэДх^и |
б - ^ х ) - |
квадратичные |
ошибк;*, характеризующие |
|||||
рассеяние случайных величин |
у , ( х , 0,)} |
и |
|
|||||
^ T j - y a ( x , |
Э^^} |
обычно |
б ^ х } |
и i>z{x) |
приходится |
|||
заменять их |
выборочными |
оценками. |
|
|
|
|
||
Первая гипотеза будет приниматься, если |
<£>^% |
> |
||||||
вторая - если *С < |
^ |
. Если |
| |
4 |
^ 4 ^ |
, ю |
надо |
|
поставить ( п + 1)-ый эксперимент. Выбор критических значе
ний |
!g |
и ^^производится с учетом ошибок первого |
и |
второго |
рода. Обозначим через cL вероятность ошибки первого рода, |
||||
то |
есть |
отвергнуть нуль-гипотезу (в данном случае у |
|
) , ког- |
да |
она |
верна. Через £ обозначим вероятность ошибки |
второго |
|
рода (принять нуль-гипотезу, когда в действчтельности |
верна |
|||
- 1 о 5 ~
альтернативная гипотеза), вальд показал, что при последо вательной анализе можно принять
° * 1 - оС ' 5 i ~ л.
Абсолютная величина X служит здесь мерой точысти раз личения гипотез. Практически,удобнее в качестве меры брать
фланирование эксперимента заключается * отыска нии такой точки х~ , при которой среднее значение I"СИх Х-j максимально.
§ 7 - 4 . О б щ а я , с х е м а |
п о с л е д о в а |
т е л ь н о г о |
п л а н и р о в а н и я |
На кратко рассмотрели математические методы, которые позволяют формализовать процесс планирования эксперимента дль некоторых, вообще говоря, идеализированвкА ситуаций.
Чаще всего для достижения конечной цели эксперлмеР1а
недостаточно приведения экспериментов либо только, по опре делению (или уточнению) оценок неизвестных параметров, ли бо только дискриминирующих экспериментов (см., например, пункт 2 и особенно пункт 3 §7- l ) »
ррщение этой задачи ножнс свести к некоторой последо вательной процедуре, которая подразумевает чередование эксперинейгов (планирование и практическое осуществление) следующих видов:
в) функциональный вид поверхности, отклика ^ = у ( х , Iр} известен» Требуется определить иди уточнить параметры В .
-1 6 Б -
б) на основании теоретического анализа происходящих
.процессов или в результате предыдущих экспериментов выдви нуто 2 (ЕЛИ несколько) гипотезы о виде поверхности отклика;
Требуется найти зависимость |
, наилучшим обра |
зом описывающую изучаемый объект.
Более подробно последовательный процесс поиска матема
тической модели представим в виде схемы на рис.7.2.
г
Проьгрка. согла |
1 |
|
сия между мо |
+ |
|
делью и данными |
|
|
Пересмотр мо |
|
|
дели. Ьыдьиже- |
|
|
ние конкуриру |
|
|
ющей модели |
|
Планирование |
Обработка экспе |
||
риментальных |
эксперимента |
|
данных.- |
Поиск, |
по уточнению |
оценок |
искомых |
пара-матрое» |
i i |
параметров |
|
|
Планирование |
|
дискриминирую
ще го эксперимен-] та
Эксперимент
Рис.7.2
- 1 8 7 -
Б-^ск i ооспехстзует экспериментальному этапу работы, |
|
I V J . |
i - s x a s u u c r - y осуществлению спланированных ранее опн- |
тов. |
и:;ч.ю лр.л-едеяив плакируемых экспериментов предшест- |
вуег |
проведение некоторого "затравочного" эксперимента, |
которой позволяет получить грубую информацию о процессе,
так |
ко х- |
при полном |
отсутствии априорной информации плани |
|||
рование |
невозможно. |
|
|
|||
|
Следующий эталон работы (блок 2 ) является вычисление |
|||||
оценок |
параметров^ |
в предположении, что функциональный |
||||
вид |
у |
(Зе, 8 ) |
известен. |
|
||
|
После |
юге как найдены оценки параметров, необходимо |
||||
проверить, согласуется ли поведение функции |
||||||
с экспериментальными |
данными (блок 3 ) . |
|||||
|
Если Функция |
у ^ х , 9 ) |
достаточно хорошо удовлетво- |
|||
р-их- экспериментальным данным, то в зависимости от обсто
ятельств эксперимент либо прекращается, либо планируется дополнительный эксперимент по уточнению всей совокупности параметров или некоторой наиболее интересной для экспери ментатора их группы (блох-^4).
Если функция " ^ ( э с , 8) не удовлетворяет эксперииентальным данным, то возникает необходимость более тщатель ного анализа происходящих явлений. При отсутствии какихлибо доьодов в пользу выдвижения новой модели следует об ратиться к планированию уточняющего эксперимента.
Если ке имеются факты; которые говорят о возможности описания изучаемых явлений некоторой иной по сравнению
- 1 6 6 -
с первоначальной яодеяью, то необходимо приступить к пла
нированию экспорииента, который позволил |
бы выяснить, |
ка |
|||
п а |
из этих «оделей наилучший образок описывает изучаемый |
||||
объект (блок б ) . |
|
|
|
|
|
|
Таким образок, стратегию проведения эксперимента по |
||||
вменению математической кодеди при априорных |
сведениях, |
||||
«няветствуадих пункту 3 §7 - I , можно представить в виде |
|||||
последовательности циклов 4 - 1 - |
2 - 3 |
и |
5 - 6 - |
1 - |
|
- 2 |
- 3 (си. схему иа рис. 7 . 2. ) . |
Порядок чередования |
этих |
||
циклов определяется результатами проверки согласия между
моделью и данными (блок 3 ) .
КОММЕНТАРИЙ
Здесь мы рассмотрели лишь особенности планирования
'эксперимента ври изучении механизма явлений. Некоторые
-im' рассмотревши г этой главе вопросов изложены в книге
"В»В.^аиикова | Э Б | Гдля 6бс»оятельного изучения теории
оптимального «слеримента при выяснении механизма явлений
ложно порекомендовать книгу В.В.Федорова ГЗб1 ,
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ, ОСНОВАННЫЕ НА ИЗУЧЕНИИ РАССЕИВАНИЯ
ГЛАВА УШ
ЙЗСВДОВАНИЕ ОБЪЖТОВ МЕТОДАМИ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА
§ 8 - 1 . З а д а ч а |
д и с п е р с и о н н о г о |
|
а н а л и з а |
Во многих областях практической деятельности исследо ватель сталкивается с явлением разброса (или изменчивости} средних значений
наблюдаемых случайных величин
под действием различных факторов - источников изменчивос ти. Для большей наглядности обратимся к примеру; * Пусть производится измерение какой-либо физической ве личины "У параллельно с помощью m приборов У. операторами;
причем кандым i -ым прибором делается f i измерений
Тогда показания приборов под действием случайных погреш ностей являются уже упомянутыми случайными величинами
а серии измерений . y t | , « f t l , . . . , |
y i K |