Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1269 вузов, 4658 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

.pdf
Скачиваний:
21
Добавлен:
23.10.2023
Размер:
7.9 Mб
Скачать
☆

- 2 2 0 -

Станки

т —

*

 

 

H

 

a

л

a

Д

 

4

]г

к

a

j '

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

| I ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 !

8 ! 9 ! 10 !

 

1 3

 

»

l

 

 

 

 

 

 

 

3 I 8 1

з !

I

! 7 i з j б i 6 ! 7 !

о i

2

i 6

•,5

i . f-

i

4

i

9

i

4 !

з

i

2

i 7

i

8 !

. 3

i 8 ! 6

i з : 2 i 7 i 8 i 6

i

9

i 3 I

8 !

4

i 4 ' 7

i 7 :

8

l

6

 

 

5

i

8

i ^ i

7 !

5

1 6 ! 2

 

 

6

i

8

 

 

i 7 .

 

6 ,

1

i

 

 

i

i

i 6

i

 

1

 

.

9

 

8

 

8 . 3 . Проведено исследование четырех различных по­

крытий на удельную проводимость телевизионных трубок.

Данные представлены

в

табл.8.12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица

8.12

№ по - ;

 

 

№ н а б л в д е н и я

 

 

крытия

|

I

 

!

2

!

3

!

4

!

5

 

 

 

- I

i

56

 

!

55

!

62

:

59

j

60

П

i

64

 

!

61

!

50

:

55

j

56

ffl

1

45

 

i

4 6

!

45

•

39

j

43

I T

!

42

 

!

45

-

43

;

41

_

1

39

 

J

 

 

I

 

 

 

 

 

Существует ли значительная разница в средней удельной про­

водимости этих четырех типов покрытия?

8 . 4 . Данные исследования влияния графитовых покры- .

тий четырех типов на отсчеты фотометра приведены в табл.

8.13,

 

 

 

 

 

 

 

 

ТаЙДДШ 8,1,3

А . е н ь

t

М

Тип графитового покрытия

 

 

 

\

\

Л

\

К

|

L

~

1

"

!

4,0

i

4,8.

I

5,0

1

4 , 6

 

2

I

4,8

j

5,0

i

5,2

i

4 , 6

 

3

 

j

4 , 0

 

4,8

j

5,6

j

5,0

 

- 221 -

Проанализируйте эти данные и сделайте выводы, используя ранговый критерий Дункана, сравните средние по четырем типам покрытий.

8.' 5 . Нужно сравнить полученные четырьмя оператора­ ми измерения разницы в яркости экрана телевизионной тру­ бки (в Битах). Каждый день в эксперименте могут участво­ вать только три оператора, Неполноблочное сбалансирован­ ное планирование привело к следующим результатам (см.табл. 8 . 1 4 ) .

День

[

 

 

 

О п е р а т о р

 

!

А

{

В

{

С

j

Д

Понедельник 780

1

820

800

1

 

 

 

Вторник

• 950

j

~

 

920

•

940

 

 

 

 

 

 

 

Преда

'

-

:

880

1

880

 

820

Четверг

!

840

!

780

 

-

 

820

 

 

 

1

 

 

 

 

Произведите полный анализ этих данных и обсудите получен­ ные результаты с точки зрения различия между операторами.

8 . 6 . Объясните, почему план в виде греко-латинско­ го квадрата с тремя уровнями не осуществим.

8 . 7 . В исследованиях по электроискровой обработке металла изучались электроды пяти форм А, В, С, ,Ц, Е. В процессе этого эксперимента было сделано по пять отверс­ тий в пяти полосах металла, и порядок проверки электродов был таким, что электрод определенной формы использовался

- ггг-

в одном и том же положении во зсех пяти полосах. Таким

образом, план эксперимента представляет собой латинский

квадрат с ограничениями на рандомизацию по полосам и п о ­

ложений отверстий на полосе. При изучения зависимой п е ­

ременной (твердости по Рокваллу в том месте, где прожи­

галось отверстие), была получены результаты, приведенные

в табл.S.15.

 

 

 

 

 

 

 

ТйДДЩа 8,15.

Полоса

т

 

 

П

о

л о ж

е н и е

 

 

 

 

 

I

— !

я ~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 -

 

 

I

 

А(64)

!

B ( 6 I )

j

С(62)

Е(62)

П

!

В(62>

!

С(62)

j

Д(бЗ)

А(63)

Ш

 

С(61)

 

Д(62)

j

Е(63)

В(63)

1У

!

Д(63)

i

Е(64)

j

А(63)

С(53)

У

!

Е(62)

| A ( 6 I )

j

В(63)'

Д(62)

Проанализируйте эти результаты и проверьте зависи­

мости твердости от типа электрода, положения и полосы.

8 . 8 . При проведении эксперимента из задачи 8.7 р е ­

гистрировалось время (в часах), необходимое для того, что­

бы сделать одно отверстие. Результаты приведены в табл.

8 . 1 6 .

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 8 . 16

 

 

 

 

 

 

 

 

Полоса

1

 

 

П О

Л о ж

 

e в

и

e

•

 

 

 

I

!

2

!

3

|

4

!

5

 

I

I

\

А(3,5)

|

B ( 2 t I )

j C(2,5)

j

Д(3,5)

| E(2,4)

П-

•

Е(2,6)

i

А(3,3)

i B ( 2 , I )

j

C(2,5)

 

Д(2,7)

Ш

:

Д(2,9)

j

Е(2,6)

| A(3,5)

j

B(2,7)

 

C(2,9)

1У

j

0 ( 2 , 5 ) i

Д ( 2 , 9 ) '

j

Ж 3,0)

j

A(3,3)

 

B(2,3)

У

i

В(2,1)

i

C(2,3)

j

Д(3,7)

i

E(3,2)

i

A ( 3 , 5 )

- ггъ-

ПроанализируЁте зависимость времени, необходимого для

того, чтобы сделать отверстие, от формы электрода, полосы

и положения. Выясните, какой тип формы электрода лучший, если наилучшим считать электрод с минимальным временем, необходимым для изготовления отверстия.

КО М М Е Н Т А Р И И

-В настоящей главе мы попытались изложить лишь основы дисперсионного анализа. Строгая теория дисперсионного ана­

лиза дана в книге

Г.Шеффе

[ 4 2 ] , а популярное изложение -

в книге А.Хыотсона

[ 4 1 } .

Различные аспекты теории и приме­

нений дисперсионного анализа рассмотрены в многочисленной литературе по математической статистике, см.например, ра­

боты [ 3 , 13, 24, 29, 36, 39, 4 0 ] .

Подробное и вполне доступное изложение дисперсионного

анализа при полностью рандомизированном планировании (§§ 8 - 2, 8-3) можно найти в книгах [ l 7 , 23, 3 4 ] .

Желающим познакомиться более подробно о критерием Дун­ кана (§ 8-4) и примерами его применения можно порекомендо­

вать книгу Ч.Хикса [4ITJ. Краткое изложение дисперсионного анализа с ограничениями на рандомизацию (§ 8-5) имеется в

книге Е.В.Налишва [ 2 б ] . Достаточно

подробно этот

вопрос

рассмотрен в книгах Ч.Хикса [ 4 l ] и

Д.Финнн [ з э ] .

Для бо­

лее глубокого изучения теории планирования эксперимента с использованием латинских квадратов можно порекомендовать книгу Д.Дюге [ l 3 l и статьи Е.В.Марковой £21].

B настоящей главе оря подборке примеров и задач ш использовали книги Ч.Хикса [ 4 l l , ЕГ.В.Смиряова и И.В, Дунина-Барковского £34]. МНОГО примеров применения дис­

персионного анализа читатель найдет в книге В.В.Налимова [ 2 4 ] .

ГЛАВА I I

АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ ПАССИВНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА С ПОМОЩЬЮ КОВАРИАЦИОННОЙ МАТРИЦЫ

§ 9т1. о в ы д е л е н и и

д о м и н и р у ю ­

щ и х ф а к т о р о в

п р и

п а с ­

с и в н о м

э к с п е р и м е н т е

До сих пор мы рассматривали приемы, позволяющие выде­

лить и оценить доминирующие факторы в ситуациях, когда ис­

следователь может варьировать интересующие его переменные,

ставя опыты по заранее намеченной программе.

Однако далеко не всегда возможен такой

а к т и в ­

н ы й

эксперимент. Во многих случаях исследователю при­

ходится

ограничиваться п а с с и в н ы м

экспериментом,

оставаясь в роли пассивного наблюдателя за некоторым спон­

танно протекающим процессом;

Такая ситуация типична не только для астронома, наблю­

дающего за поведением Галактики. В социологии в подавляю­

щем большинстве случаев до сих пор ограничиваются пассив­

ным экспериментом. В психологии исследователь представля­

ет какие-то тесты испытуемым, регистрируя показатели, ха­

рактеризующие их отклик на эти тестя. Из такого пассивно­

го опыта надо сделать заключение о психологических факто­

рах, непосредственно не поддающихся варьированию, которые

— . Й б ' г

ответственны за поведение человека.

В многочисленных лабораторных исследованиях по физике,

химии, металлургии и тем более биологии часто приходится иметь дело с экспериментом, организованным так, что ниче­ го или почти ничего нельзя изменить - остается только на­ блюдать за тем, что происходит.

Естественно поставить вопрос: можно ли, пользуясь р е ­

зультатами пассивного эксперимента, выделить доминирующе

факторы?

 

 

 

 

Интуитивно ясно, что однозначного

решения такая зада­

ча иметь не может

и здесь нужно вводить дополнительно

ряд сильных предположений.

 

 

Рассмотрим подробнее логическую модель этой задачи.

Допустим,

что

э к с п е р и м е н т

з а к л ю ч а ­

т с я

н а о л в д е н и и

з а Ч

- м е р н ы м

в е к т о р о м -

с т р о к о й х

независимых перемен­

ных

 

 

 

 

Здесь индекс " т " по-прежнему означает транспонирование. Если экспериментатор имеет возможность выполнить J f наблюдений над различными значениями вектора-строки х г то результаты его исследования представляются матрицей

X

'12. •гг • '

i v г у " " " х юл

Во многих случаях кажется естественным предположить, что

в

и з у ч а е м о й

с л о ж н о й

 

с и с т е м е

с у щ е с т в у е т

н е к о т о р о е

 

к о л и т з е т

в о

 

н е п о с р е д с т в е н н о

н е

н а б л ю д а

е м ы х , н о

л е г к о

и н т е р п р е т и р у е ­

м ы х

п е р е м е н н ы х ,

о т в е т с т в е н н ы х

з а

 

п о в е д е н и е

в е к.т о р а х .

 

исследователю

может понадобиться выразить полученную

им при наблкдешш~информацию через эти непосредственно не

•наблюдаемые переменные.

Можно надеяться, что в некоторых случаях такой способ

представления позволит выдвинуть какие-то новые, легко . поддающиеся осмысливанию гипотезы. В других случаях он по­ зволяет хотя бы понизить размерность того^пространства пе­ ременных, в котором представляются результаты наблюдения; тогда подобный прием можно будет просто считать одним из методов овертки инуюрмации.

Для осуществления такого перехода к новым переменным нужно каким-то образом использовать внутреннюю структуру

матрицы X . Статистические свойства этой матрицы (е?ли вы­

полняется нормальное распределение) задаются ковариацион­

ной матрицей. Если считать

-переменные центрированными;

 

я

то

- S I * ,

it Хк.Е

я

м

X. at, . - - Ц * 2 .

-2 2 5 -

Ее диагональные элементы ЯВЛЯЕТСЯ дисперсиям!, нкедиагональные - коварнациями.

Если вычислить ковариациоянук матрицу для стандарткзп-

•act.

рованных переменшх

х . =

——•

,

то получим корреляцией-

:гуш матршгу (штрих мы здесь спускаем)

 

 

 

 

 

 

ft.- 1

 

г 1 х ,

хг)

.

. . а ( х

э с . )

Здесь по диагонали стоят I ; Есдиагонаи-чые элементы - обыч­

ные парные коэффициенты

корреляции.

 

 

 

 

 

Переход к новым переменным можно выполнить,

ориентиру­

ясь

преимущественно

на поведение

 

д и с п е р с и й

или

к о р р е л я ц и й .

В 1-м случа"

мы будем клеть

дело с

м е т о д о й

г л а в н ы х

к о м п о н е н т ,

ьо 2-м

случае -

с

ф а к т о р н ы м

 

а н а л и з о м .

 

Соответственно, в 1-м случае

 

н о в ы е

п е р е м е н ­

н ы е

обычно называют

г л а в н ы м и

 

к о м п о н е н ­

т а

м и

, во 2-м случае

- ф а к т о р а

 

м и (

впрочем, это

различие в терминологии не всегда

'строго

видзркквагат).

 

§ 9 - 2 . М е т о д

г л а в н ы х

 

к о м п о н е н т -

 

В методе главных компонент ищут некоррелированные нор­

мированные .линейные

комбинации

 

 

 

 

 

 

( 9 . 1 )

 

 

 

- 2 2 3 -

 

 

 

 

г -

 

г

 

 

 

 

 

где

а

• = I ; дисперсии которых

обладают особым

свой-

i

 

v '

 

 

.г

г

л

сгвок: расположены в убывающем порядке,

т . е . Ь

\

>

?- S " ( 2 г } $ , . .

Корреляционная

(или ковариационная)

матрица оказывается расщепленной на

К

ортогональных ком­

понент.

 

 

 

 

 

 

 

Геометрически нахондение главных компонент сводится

к переходу к новой ортогональной системе координат: пер­ вач координатная ось ищется так, чтобы соответствующая ей

линейная форма извлекала возможно большую дисперсию, да­

лее ищется ортогональная ей ось, которая делает тоже са -

;.;ое с

оставшейся дисперсией и т.д.

 

 

3

соотношении (9 . 1)

2.^ обозначает г

-ю главную кон­

спекту, а

бь - ь - вес % -ой компоненты в

ь -ой

переменной.

Оказывается, что

являются компонентами

характе-

с::е?-'чсских

(собственных) векторов ковариационной матри­

цы, а дисперсии главных компонент равны характеристичес­

кий (собственным)' числам этой матрицы S

=

Ст-от г!:1ч1орес,:н" результат устанавливается следующей тео­

ремой.

 

 

 

 

Т е о р е м а ,

Пусть дан !? -мерный случайный вектор

х

которого J l l { x } = 0 и Л Ц х х т } = L .

Тогда сущес­

твует

ортогональное

линейное преобразование

 

 

х =

А

х

 

vai-xe,

то ковариационная матрица для вектора

г будет сле -

дуэдей

:

 

 

 

I

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности