книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие
.pdf- 1 С -
дисперсия равна 85,8 при 3 степенях свобода. Адекватно ли подученное уравнение?
2 . 1 6 . 3 одной из задач опыт на основном уровне дёйп значение параметра оптимизации 119 . Было сделано 16 опытов матрицы планирования (оценка дисперсет'зсс!1роиззодимости
определена разной30 с 8 степенями свободы) и получено л и нейное уравнение регрессии, свободный член которого равен 100. Адекватно ли полученное уравнение при уровне значи мости со = 0,С5?
К О М М Е Н Т А Р И Й
Популярное изложение статистических методов обработки
результатов наблюдений можно найти, например, в книгах
Ю.ГиАдлера, Е.З.Марковой |
z Ю'.З.Грановского |
( 2 1 , Ф.С.Нови |
ка I_27j. Более подробное |
рассмотрение основ |
математическо- |
го аппарата регрессионного анализа имеется з книгах Л.П. Рузгнова 3 2 ] , З.З.Яалгиова и Н.А.Черновой § 5 ] . Читателю, желающему обстоятельно.азучить теорию регрессионного ана лиза, мы рекомендуем книгу. Ю.В;Линника : I 8 l .
• ГЛАВА. Ш |
|
|
|
ВТОРОГО ПОИЩКД |
|
||
§ 3 - 1 , О р т о т " о н а л ь н о е |
п л а н и р о в а н и е |
||
г i о р о г о |
п о р я д к а |
|
|
• Построение планов второго |
порядка - задача в |
иатемат?- |
|
чееком отноиенгв значительно |
более |
сложная. чек' г |
случае |
построения планов первого порялча. |
При построении |
планоь |
|
зторого передка оказалось невозможным созмеаение разлгчкж: полОлательнЕх СЬО£СТЕ г одно;.; плане. Например, не удается
ссвместать ротатабэяьЕоеть со свойством ортогональности:. Для вычисления коэффициентов регрессии второго порядок
необходимо варьировать перемекнымв не менее чек на трех уровня*. Это вкзквает необходимость постановка большого чис
ла опытов. Полны* факторный эксперимент содержит 3 f c точек.
Например, для четёрехфекторного эксперимента это в пять pas больше,чем в плане первого порядка. В I S 5 I году Еокс'и-7ял-
сок предлсгидя |
сократить число |
точек до |
|
|||||
|
|
|
J{== г - ь + 2Я, + |
r . t |
, |
|
|
|
где |
сц,- |
число |
точек |
полного факторного |
эксперимепта |
тгпг. |
||
2Л |
ила |
дробной репликз ; к,,-число опытов в'пектре |
плана. |
|||||
3 таблице 3 . 1 проводится сргзненне количества точек |
и числа |
|||||||
степеней |
свободы для |
плакирования |
5 ^ |
и плана, определяе |
||||
мого |
формулой |
( 3 . 1 ) , |
1г0 = I . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 7 Z |
- |
Табмта^ЗЛ |
|
||
|
|
|
|
|
|
• |
j |
— |
f |
2 |
i |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
з |
i |
|
|
17 |
|
|
|
|
|
х |
i |
|
|
66 |
25 |
|
|
ю |
|
5 |
i |
|
222 |
43 |
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
S |
|
|
Грозная |
репялка, |
n , c = |
,0-1 |
|
|
|
|
|
|
2' |
|
|
|
|
|
|||
"з |
та<1я. |
видно, |
что |
план, |
содержали? |
гочек, |
яз- |
|
|
яяетск вполне удовлетьоспт*?яьным с точка зтзекзя гояичест-
за опытов.
Расположение точек з Факторном прсстраг-гггзе для планов
"•скса-Уиясока в случае двух а трех яейег'енпзх показано на
ТИС . С j . . |
, |
- я
^ |
i |
L - - I |
, |
1 |
/ - |
I |
|
- £ |
|
L _ |
|
|
|
Т 6) |
|
"Ггжа на осях носят назвали з |
з в е з д н ы х |
т о - |
|
ч з к. лх количество равно .удвоенному числу факторов.
-1Ъ -
Расстояние от цьнтра плана до звездной точки обозначают
букъоГг <*- |
и называют з в е з д н ы м |
п л е ч о м . Такие |
планы называют ц е н т р а л ь н ы м и , |
так как все опыты |
|
сишетрзчко |
располагаются вокруг центра |
эксперимента. |
Планы, изобрауетше на рис . 3 . I, имеют ряд положитель
ных свойств. |
|
|
|
1 . Они 1?огут бктъ |
получены в результате достроим пла- |
||
ноз первого порядка, |
поэтому их называют |
К О М П О З И |
|
Ц И О Н Н Ы М И |
или |
п о с л е д о в а т е л ь н ы м и |
|
(пос ледова те льне |
строящимися) планами. Это свойство" соз |
||
дает удобство для экспериментатора, так как позволяет при
получении неадекватной математической модели первого поряд
ка перегтк ко второму порядку, добавит опыты только в звезд
ных точках и центре пла^а.
|
2 . Располоке-ие |
точек на ссях |
(как видно из табл.3.2 , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.2 |
|
|
|
|
•T" |
*, |
"T" |
|
r |
~ |
г |
|
i |
|
3 |
i |
|
i |
t |
|
1X 1 X * I |
|
i |
г |
|||
точки ! |
|
|
f |
|
|
|
||||||
I |
j |
+1 |
+ i |
|
+1 |
i |
+ i |
j |
+1 |
|
+1 |
|
2 |
j |
+1 |
- i |
|
- I |
i |
+ i ' |
i |
+ 1 |
• |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
i |
+1 |
+ i |
|
- I |
i "1 |
i +1 |
• |
+ 1 |
|||
4 |
i |
+1 |
_ r |
|
+1 |
j - i |
j |
+ 1 |
|
+ 1 |
||
5 |
. i |
+1 - |
+ oL |
|
0 |
i 0 |
i |
|
• |
0 |
||
|
|
j |
0 |
|||||||||
6 |
i |
- I |
- |
J , |
|
0 |
i |
0 |
i |
|
||
7 |
! |
+1 |
|
o " |
|
"+ cL |
0 |
j |
|
|||
|
|
• |
0 |
i |
|
|||||||
8 |
! |
+1 |
|
0 |
|
-ot. |
i |
0 |
i |
0 |
|
A * |
|
|
+1 |
i |
0 |
i |
0 |
! 0 |
! 0 |
i |
0 |
||
определяющей |
КОЫПОЗЕТЗОНЕНЙ план второго порядяа для двух- |
|||||||||||
- 7 4 - факторного эксперимента) не'нарушает ортогональности
столбцов первого порядка и эффектов взаимодействия. Эт: да ет зозкояность получать независящий соответствующие лоэф-
фпгяенты |
уразнензя регресскз. |
|||
Наряду с этим ортогональность плана нарушается для |
||||
:тслоцоз |
х 0 |
з |
х[ |
|
|
|
|
|
а=1 |
raz sag. |
~,s u |
зсегда |
равно единзце, а неотрицательные в е - |
|
лзчпны^Ее |
могут |
быть |
зсэ раЕЕЫ нули. |
|
•• Чтобы получить ортогональное планзрсванзе второго по
рядка, нужно произвести некоторое преобразование квадратич
ных переменных я специальным образом знбрать величину |
звезд |
||||
ного плеча. |
|
|
|
|
|
Введем преобразование |
|
|
|
|
|
и* . |
. |
м~ - 3 1 |
<Д- • |
• . |
\ w * / |
|
V < |
Ы 1 |
- |
'J |
|
Тогда имеем- |
|
|
|
|
|
T x |
= ' ~ x |
= 5~ f x " - x ' U v - ^ - . Y x ^ O . |
|||
Зеортогональными останутся только вектор-столбш для квад-
оатичных членов
0 . '. •••
— 1Ъ -
Выполним преобразование (3 . 2) для случая двух переменных. Имеем
Последние два столбца в табл.3.2 изменятся следующим обра
зом |
(см.табл. |
3.3)'. |
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 3.3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
' точки |
j |
|
|
|
|
~! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
! |
|
|
|
|
|
• j |
< |
- |
ч |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
I |
j |
|
it |
|
|
5 |
- |
2еСг |
| |
5 |
5-2 оСг |
||||
|
2 |
j |
4 ... |
|
|
|
|
5 |
- |
2оСг |
j |
- |
2od* |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
; |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
. |
j |
|
|
|
9 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
||
|
3 |
i • * |
|
|
|
|
5 |
- |
2 < * г |
|
|
|||||
|
|
j . |
|
i |
5 - |
2<*г |
||||||||||
|
|
|
... |
|
|
|
9 |
|
1 |
|
9 |
|
||||
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
• |
4 |
* • |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
- |
2о1г |
i |
5 - |
2оСг |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
• |
9 |
4 |
1 . |
|
9 |
|
|
5 |
j |
• • • |
|
|
|
7оЛ- |
1 |
4 + |
2d? |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
9 |
|
|
|
•6. |
- i |
... |
|
j |
|
|
7А г - 4 |
I |
4 |
+ 2оСг |
|||||
|
7 |
! |
|
|
|
4 |
+ 2ot" |
i |
|
9 |
4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
- |
|
9 |
|
1 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
8 |
I |
« |
• • |
|
I |
• |
4 |
+ 2оСг |
i |
|
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
s . |
|
I |
|
9 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
||||
|
9 |
! |
|
|
|
|
|
|
4 + |
id? |
i |
4 + |
2осг |
|||
|
|
Г |
|
|
|
|
i . |
|
9 |
|
|
j . |
|
9 |
|
|
|
|
j |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Запишем матрицу |
|
X |
Х д о |
|
преобразования квадратичных пере- |
|||||||||||
ыенных |
|
|
|
9 |
|
|
0 |
|
|
0 |
0 |
4 *b£ |
-4-+ 2о6г |
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
4 + 2о6г 0 |
0 |
0 |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
0 |
. |
0 |
|
|
4 + 2cl?D |
• • О |
|
О |
|||
|
Х Т Х = |
|
|
О |
|
|
0 |
|
|
0 |
4 |
0 |
|
О |
||
|
|
|
|
4 |
+ |
2oi-1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
4 + 2о6г |
4 |
|||
|
|
|
|
4 |
+ 2o6a D |
|
|
0 |
0 |
4 |
4 + 2о6г |
|||||
- 1 6 -
После преобразования кввлрзтичннх переменных по формуле (2:2) матрица Х Т Х имеет вид
9 |
О |
О |
о |
о • |
о |
|
О |
4+2осг |
О |
о |
о |
о |
|
О |
О |
4+2сС |
о |
о |
о I |
( 3 . 3 ) |
О |
_ о _ |
0 _ |
4 |
_о____ о |
|
|
|
- Q - |
"-Q. |
|
|
|
|
"О
ОО о о Я-а ЯггИО"
Выполняя аналогичные преобразования для произвольного К ,
убеждаемся, что й в общем случаэ информационная матрица
распадается на четыре подматрицу - диагональную, две нуле
вые и |
недиагональную матрицу |
Q. = |
It а.-: I |
. 1 |
. 1 = 1 . |
2 , » . . , |
л- . После обращения |
икформацяонной |
матрицы |
голучаем |
|
корреляционную матрицу ( X |
X ) , |
приведенную в табл.3.4. |
|||
|
|
|
|
Таблица^ЗЛ |
|
3;
Оп
То есть эта матрица также распадается на четыре подматрицы
- диагональную матрицу, о помощью которой будут определенн
коэффициенты регрессии Ьа , |
, Ь-ь: , две нулевые матря- |
- |
77 |
- |
isr д аедаагонадьну» .матрицу |
Cl"' |
, соответетзупцуЕ квад- |
рахгчхгьгм переменным. Планирование построено одинаковым
образом для всех независимых переменных, поэтому все диа
гональные элементы матрицы Cf' будут равнн между собо£,
и точно также будут равнн друг другу все её недиагональнае
элементы. Теперь остается только записать в явном виде за
ражение для неддагокального элемента матрице й |
i 1 |
и приравнять его нулю. Решив уравнеие |
|
. Ъ+у.
относите.льно об. t получим величину звездного плеча,обес-
печи^ащуа полную ортогональность для планирования второ
го порядка.
Б табл. 3.5 приведены значения оС , вычисленные для различного числа независимых переменяю;.
Таблица 3.5
|
• |
|
|
Число независимых переменных |
||
|
[ " У |
I 3 |
! |
4 |
1 |
5 |
Ядро планиро |
|
2 3 |
I |
2 4 |
I |
2 5 " 1 |
вания |
|
|||||
Беличина..оА. |
: , o o o J r , 215 |
j l . 4 1 4 |
j |
1.547 |
||
Если ортогональность принять за достаточный критерии
оптимальности для планирования эксперимента, то на число нулевых точек п0 не накладывается какого-либо ограничения
(обычно принимается n,g * I ) .
- 7 8 —
3 силу ортогональности планирования все коэффициенте
регрессии определяются независимо друг от друга по формуле
у
,- — ""(.и "ги
Здесь 0' обозначает»зсрядковн? номер столбца в :латрице планирования ; х . u , как обычно, - элементы соответст вующего столбца. Дисперсии коэффициентов регрессии оцени ваются по формуле
Нужно иметь з валу, что уравнение регрессии после пре-
гбразования квадратичной переменной запипется в вид*
~ - з, - о . ~ , - . . . - э ^ х . - |
|
х , х . - г . . . - '0 ( >„ - оя |
Х(,_.: х ^ - |
X." - X , ; -К . . -Ofc,k |
, . Х £ - Х г . |
Чтобы перейти к обычной форме записи, находят величину
которая оцеязвазтся с дисперсией
- 1 9 |
- |
5 5 - 2 . Р о т а т а б е л ь н о е |
п л а н и р о в а |
н а е |
|
До слх пор мы ограничивались рассмотрением вопроса об
С'-1>1*КТЙВНОСТИ оценок коэффициентов регрессии. Теперь пе реедем к более общей задаче: рассмотрим вопрос о статис-
•iv. песках свойствах всего уравнения регрессии в целом.Для решения этой задачи нужно найти выражение, определяпцее
О. ^ j - "дисперсию выхода у, |
, предсказанного урав |
нении регрессии. |
|
П^стъ мы имеем дело с ортогональным планированием
первого |
порядка.* Тогда |
из выражении |
Л |
J> - р |
-о |
учитывая что
, . u j 3 = 0,1,2, .. . К :
получаем
где ог -=21 х * . |
За меру информации, содержащейся в урав- |
||||
нении регрессии, |
MOSHO принять |
величину |
gzfcV |
и л И |
|
личину |
, j г, I • |
. отнесенную |
к одному |
габлвденжв. Ив |
|
|
Яйгщ\ |
|
|
|
|
(3 . 4) следует,"что информация, содержащаяся в уравнение регрессии, равномерно размазана по сфере (в общем случае -