Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2922 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

- Z 1 0 -

Е Слохе	вместо четырех всего три опыта. К планам подобпо-
1чз ткла	приходится обра»;аться и в других ситуациях. Ыокет,

например,

оказаться, что катгрнал для эксперимента посту

пает

1алыми партиями,

и поэтому

на каждой партия могшо

„

осуществить

всего три опыта,

а всего

их надо сделать чети-

ре .

Тогда

опять

можно использовать ту же таблицу,

но здесь

блоками служат уже партии

материала.

Для представления результатов, полученных в этой схетле,

используется

линейная

модель

u = и . + Т.+ Р. + Ь .

Ч]

Здесь

результат

эксперимента,

относящегося

к той

* Ч

клетке

таблицы,

которая

находится на пересечении

ь -й

строки и j - го столбца; ц, -

математическое

ожидание для

среднего

по всей таблице

j x

= - ^ { ^

. где £j

определяет

ся по формуле ( 8 . 2 ) ;

Т- - математическое ожидание эффзк-

та: ь-го

блока

Т\ = JU.{tj.-ij} ,

где

i j

подсчитывается по

формуле ( 8 . 1 ) ; Fj -математическое

ожидание эффекта]

- го

варианта испытаний (опыта);

Ь.. -

ошибка эксперимента в

клетке с индексами ij • Предполагается,

что случайная вели

чина ь имеет нормальное распределение

с нулевым средним и

дисперсией

(о%.

Ц е л ь

и с с л е д о в а н и я

заключаетсячВ выяв-'

легош межблокового эффекта и эффекта, связанного с измене-

ьнем вариантов испытаний		(опытов).	_.
О б р а б о т к у	р е з у л ь		т а т о в наблюдений
поизводят м е т о д о м		д и с п е р с и о н н о г о

а н а л и з а : оцениваются дисперсии, характеризующие

рассеивание, связанное с ошибкой эксперимента, межблоковое

рассеивание и рассеивание, определяемое эффектом изменения

вариантов испытания (опытов). Для этого вычисляют следующие суммы квадратов:

1 . Общую сумму квадратов Q 0 , характеризующую общее

рассеивание результатов наблюдений относительно среднего

по всей	таблице.
2 .	Сумму квадратов Q g n , определяющую рассеивание

средних по блокам относительно общего среднего (различие

в вариантах испытаний	(опытах)	при этом игнорируется)?--
3 . Сумму квадратов	Q B t n (	Q o n ) , определяющую эффект

изменения вариантов испытаний (опытов), скорректированных

по блокам.	Далее	находят <:умму квадратов для ошибки опыта
Q =	Q -	Q , - G	.

Поделив суммы квадратов на соответствующие степени свобо

ды, находят дисперсии и, пользуясь F -критерием, проверяют

гипотезу о статистической значимости дисперсии, заданной

эффектом испытаний, а затем, проделав такую же процедуру с

корректировкой по испытаниям, проверяют значимость дис

персии, связанной с рассеиванием по блокам.

Если результаты дисперсионного анализа показывают на,

существование значимого различия, в средних для разных испы

таний, то дальше распределяют средние по столбцам, ранжируя

их по величине, и выясняют, между какими средними существу

ет значимое различие. Здесь от обобщенного анализа - аоаяж-

-г\г~

за дисперсий, переходят укз к индетвдуадьнтда сравнениям средних между собой, причем обычно используется критерий Дункана.

В качестве п р и м е р а рассмотрим задачу определе ния влияния четырех способов обработки нитей накала като дов в телевизионных трубках на силу тока. Так как осущест вление каждого способа обработки требует некоторого време

на, то несколько наблюдений для каждого из этих способов

за один день провести невозможно. После проверки оказалось,

что за

один день

можно провести не четыре варианта обработ

ай, а самое большое три. Чтобы осуществить неполноблочный

сбалансированный план для этой задачи, нужно использовать

четыре

блока (четыре

дня),

как

это

показано

в табл . 8 . 4 .

Таблица 8 . 4

Блоки

;

Варианты

испытаний

(дни) j

•I 29

j 32

14 - !

! 49

j 13

' ! 48

; 23

i i

! 34

j y, .. =160

Для облегчения анализа введем несколько новых обозна

чений. Пусть

число

блоков

эксперименте

( о

= 4 ) ;

"Ь -

число

вариантов в

эксперименте

("Ь =

4 ) ;

число

вариантов

блоке

(К-

= 3 ) ;

ъ	-	число	позторенг*! данного варианта в				эксперименте
		(Т' =	3 ) ;
• N	-	общее	число	наблюдений = ok- = "fc-i,			( X = 1 2 ) ;
"К	-	число повторений каждой пары вариантов в						экспери
		менте	= х ( Ч -		I ) , v-t - I )	(X = 2 ) .
В таблице 8.4 приведены отсчеты, закодированные путем
вычитания		513 ка, а также суммы по блокам и вариантам.
Проанализируем аеполноблочный						сбалансированный плав.
1 . Подсчитаем ебщую сумму квадратов
		-	Г	ГЦ*	- % "	= 3478 - ' Ш 2 =		1344,67.
2 . Подсчитаем сумму квадратов						по блокам,	игнорируя ва
рианты испытаний,
		ft	- V	^il - —		=
« ( 2 9 ) 2 + ( 4 Э : 2 + ( 4 в ? 2 + ( 3 4 1 2 _ Ц 6 0 ) 2 Г 1 0 0 , 6 7 .
			3			12
,3. Подсчитаем эффекты изменения вариантов испытаний,
скорректированные по				блокам
			K X t		и

где

причем п,- « I , если вариант испытаьля J содержится в блоке ь . Заметим, то Г а , и,. - сумма всех блочных с у ш по блокам, содержащим испытания j .

— 2,14 —

	Для имеющихся данных
Q t	= 3 . 6 -		(29 + 48 +	34) «	-	S3;
Q z	= 3«68	-	131	«	7	3 ;
Q b	= 3 " 6 5	-	126	=		6 9 ;
Q 4 = 3 - 21 -			112	=	-	4 9 .
	Заметим,		что всегда	имеет место
			t
			Z L C L - 0 .

Тогда

Q = ( - Э З ) 2 + ( 7 3 ) 2 + ( 6 9 ) 2 + ( - 4 9 ) 2 исп 3»2»4

соотношение

= 8 8 0 > 8 3

4 . Подсчитаем сумму квадратов для							ошибки
Qош =	Q0	-	Q.6л-	Q исп =	363,17
В таблице 8.5 приведены результаты дисперсионного ана
лиза для	нашего		примера.
								Табякца 8.5
Источник	и з -		. — г	Число	с т е	;	Сумма	j	Диспер
Источник	и з -		}	Число	с т е	;	Сумма	j	Диспер
менчивости			j пеней свободы jквадратов j						сии
Блоки (дни)			i	3		•!	100,67	'j
Варианты испытаний •				з -					293,61
(скорректированные/				з -		•	880,83	;	293,61
О ш и б к а -			!	5		•	363,17	j	72,63
			1
С у м м а			1	I I	-	! 1344,67		j
., . . .	_		1			1		!
Представленное в табл.8.5					число	степеней		свободы для

оиибкж определяется по рааностж. Это число степеней свобо да для ошибке является произведением числа степеней свсбо-

- 215 -

да дяя блоков л вариантов испытаний ( 9 ) , если участь,

что за счет того, что в плане четыре пропущенных величи

ны,	из	него вычитается 4 .
	I?	-критерий дает
		^экспв		72,63	= 4 , 0 4 ,
		э к	с п	72,63
то	есть	результат	незначим с уровнем значимоета: 0,05 .
	8 - 5 . 2 . Л а т и н с к и й				к в а д р а т
	Пусть имеется 4 марки шин А, В, С, Д, которые нуж

но испытать на четырех различных колесах четырех кзвшв

разного типа. В этой задаче уже имеется два ограничения

на рандошзапио - положение колеса в марза мавжны. Для

ее решения молено построить план, называемый латинским

квадратом размера 4 x 4		Сем.табл.8.6).
Положение	',		Автомобиль
колеса		I	{ д	\	ш	}	~

I	!	с	*	I	А	\|	в
2	!	в			д		А
			с
3	!	А			С	:	Д '
			в
4	!	д	А	!	в	:	С

Влатинском квадрате, каждый вариант испытания (в ва

шем случае марки шин) появляется один и только один раз

в каждом столбце ( ш машины). Рандомизация здесь- заклю

чается в том, что для каждой конкретной задачи латинс

кий квадрат выбирается случайно из всех возможных квад

ратов требуемого размера.

Результаты наблюдений, приведенные в табл.8.6, пред-

ставляютоя линейной моделью
и , — . j * . + Т.-+- F . + Ь				к,	•+ 6 .	.
*ijk,	~	t,	j		ujk.
Здесь каждой клетке		приписано три индекса ъ , j					по
скольку имеется три		фактора: положение колеса, марка					ма-

шины ж марка шины. Соответственно с этим, в правую часть

уравнения, кроме математического ожидания для среднего
по всей таблице	, входят три члена, характеризующие

эффекты, связанные с упомянутыми в ш е факторами, а после

дний член t'j.jb » как обычно, задает ошибку.

Анализ экспериментального материала ведется почти

также, как н в предыдущем пункте 8 - 5 . 1 . Подсчитываются

сумш квадратов для каждого из эффектов и для ошибки (по

разности), затем переходят в дисперсиям и с помощью F -

-критерия оценивают их значимость по отношению к диспер

сии,	задаваемой ошибкой опыта. •
В качестве п р и м е р а рассмотрим данные наблюде
ний по взносу шин, расположенные в виде латинского		квад
рата	(см,табя;8.7)
	Таблица	8 . 7

Положение;		А в т о м о				б
колеса, i	—	~		т	п
					п
I	С ш - I			!	Д =	- 2
2	В	=	I	!	с -	- I
3	А	*	4	!	В =	I
4	Д	-	о	!	к =	i

и л ь

ш17

А = 0 * ! В » - 5		- 8
д =-г	! А = о	- 2
С =-3	! Д = - 4	- 2
В = о	! С = - 4	-а..

- г п -

Суммы для разных марок шин равны

. Д в с д м ,

5; - 3 ; - 9 ? -в Подсчитаем общую сумму квадратов

Подсчитаем сумму квадратов для положения колеса

Подсчитаем сумму квадратов для марок шив

								*
			Q = 4 Г ч ь - # - з о , б
Подсчитаем сумму квадратов дня марок автомобиле!
Теперь сумма квадратов для ошибки равна
Q	»	о	-	а -	о	-	а	=
ош		0		поп	шин		лет
	= 80,9 - 6,2 -				30,6 - 38,6 « 5,5 .
Результаты дисперсионного анализа представлены										в
табл.8.8.									ТяФТОП 8,8
									ТяФТОП 8,8
Источник из-			{Число сте»- Сумма				} Диспер-{Компоненты
менчивостя			гпеней сво:квадра- j					сии	:дисперсий
			!	беды	!	тов
Положение		коле-)			i		I		1
Положение		коле-)		3	i		.'	2fl
са (Т^Т			!	3	j	6,2	.'	2fl
Автомобиль		( F j	t	3	j	6,2	!	12,9	4	6ЧТ>
Автомобиль		( F j	t	3	1 38,6		!	12,9	4	6ЧТ>
Марка шины (S^)!				3	1 38,6		!	10,2
Марка шины (S^)!				3	j 30,6		!	10,2	!
Ошибка (	t t i K		) !	6	j 30,6		!	0,9
Ошибка (	t t i K		) !	6	j	5,5	!	0,9
С у м м а			j	15	i 80,9		i		i '

— Z16 —

С пожирж "Б -критерия обнаруживаем, что яри уровне значимости 0,05 влияние положения колеса на износ шин

незначимо, а средние потери для разлпчяых марок шин и

различна! автомобилей различны.

8-6.3ir Г р е к о - л а т и н с к ж й к в а д

р а т

Может потребоваться ввести третье ограничение - чет

вертый фактор о уровнями об , (1 , у , 6". Можно сделать так, чтобы они появлялись один и только один раз в соче тании о м 1 д и ц из уровней основного исследуемого фактора

А, В, С, Д. Мы получим так называемый греко-латинский квадрат, приведенный в табд.8^9;-

				ТЬблипа 8.9
	Додожешю \|		Автомобиль
	* » » * *		I I I д 1 ш Н Г ~
ч	I	•	А < * : В / ъ 1 С г [ Д с Г
	2		В Г j А <Г ! Д *	С /4
	3		C d ' j a f J . A / b j B e L
	4	• \ Д р » \| С < < . ; B < f ;

В этом шане третье ограничение имеет уровни сС , р , р ,

о" , которые появляются не только один и только один раз в каждой строке ж в каждом столбце, но также один и толь ко один pas в сочетании с каждым из уровней основного ис следуемофактора А, В, С, Д. Анализ экспериментального материала ведется почти также, как и в предыдущих пунк тах 8-5.1 и 8-5.2'. Однако такого рода планы часто практи-

- 219 -

чески могут оказаться неприемлемыми, так как каждая из пяти дисперсий будет оцениваться здесь с тремя степеня ми свободы.

SJL-Д А Ч й

8 . I . Пусть долговечность электрической дампы имеет

нормальное распределение и различия в материале или тех нологии влияют на средние значения, но не ка величину

дисперсий <э . Ниже, в таблице 8.10, приведены данные,

представляющие собой пробы, взятые из четырех партнй,взготовленных из разных материалов.

партии		Продолжительность		горения в		часах

I	1боо! 16Ю 1650 : 1680			1700 j1700		j1800 j
2	1580 ! 1640		1640 j 1700 • 1750 j		• j		j
3	1460 \| 1550		1600 j 1620 j 1640 j1660			J1740 ; 1820
4	1510	j1520	1530 ,' 1570 ;	1600 ,1680 ,*			•
Проверьте нуль-гипотезу о равенстве средних долговеч-
ностей лаып в рассмотренных четырех партиях.
8 .	2 .	В таблице 8 . I I приведены данные об					отклонени
ях диаметров шариков в микронах				от "ложного нуля", полу

ченных на подшипниковом заводе десятью наладчиками, каж дый из которых обслуживал по пять доводочных станков.Вы ясните влияние на рассеивание диаметров шариков точности станков и квалификации наладчиков.

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2922 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ