книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

( * п - ^ * ,

+0,5

0,5 4 , - 0 ;

• 0,5Ьл х , +

( 6 М - ч ) х 4 0,56^-0;

откуда

1 {bn--K){ba-X)~

0,25 6 *

4 - 5 . 3 . Т р е т и й

м е т о д - п е р е б о р

г р а -

^

н е й

г и п е р к у б а

о г р а н и ч е н и й

Приведем алгоритм исследования поверхности отклика типа

минимакс,

рассмотренный

А.И.Рубаиом

в работе [ з з ]

• Идейную

ма

( х )

в трехмерном

факторном

пространстве,

х т * ( ж , , х г

, х 4 )

. Алгоритм

устанавливает следующую

последовательность

действий.

I .

фиксируем

х , ш + 1 . Тогда

$

( х ) станет полиномом

второй

степени от

двух

переменных

х г , x s , поэтому иссле­

Если

\j ( х г

,

х а

)

имеех

минимум, ю

максимум

tj. (

х г

,

х ^

следует искать в вершинах квадрата ограничений, го есть в

точках:

(

I . l )

,

( i . - D ,

+ 1 ) >

( . Х |

_ I

} >

И з

з н

а ч е н ]

й

Ч

t 5 г »

в

э

т

и х

" ч к а х

выбирается наибольшее.

Зю

и

бу­

дет

максимальное

значение

£

( х , , ^ , х^

на грани

х ,

»

+ 1 .

Если

( Х у )

внутри области

,•

ь=

2,3

имеет

максимум,

то это максимальное

значение

и

бу­

дет

решением на

грани

х ,

*

+ 1 .

В остальных случаях необходимо максимум ^

( ссг , х 3 )

ис­

кать на поверхности квадрата ограничений

- I s

Х ^ £ - И

,

Ъ= 2 , 3 . Фиксируем

осг

=

+1 и ищем экстремум

i | (

х ч )

при наличии ограничения

-

1

* х & 4 + 1

.Решение

этой

од­

номерной

задачи ухе

не

представляет

труда. Запоминаем получен-

л

ное

максимальное

значение

tj

и соответствующие

ему

значения

координат. Затем

последовательно фиксируем

х

= -

I

, х

* + 1 ,

л

X j =

- I , отыскиваем

и запоминаем максимальное

значение

^ .

Из полученных четырех максимальных

значений

£

выбираем наи­

большее

-

решение

задачи

на

грани

х , » + I .

2 . фиксируем

х , = - I и вновь повторяем все действия,

описанные в предыдущем пункте I .

Затем

последовательно

исследуем,грани

х г

»

+ 1 , х ^ » -

I

,

X j =

+ 1 ,

х 3 =

-

I . Окончательно из решений на

каждой

грани

выбираем

то, которое

соответствует

наибольшему

значению

у

(

I

) .

Заметим,

что этот

способ

отыскания экстремальных

значений

функции

^

( х )

можно применять

и без

предваритель­

ного

приведения

ее

к каноническому

виду. Для

предварительной

"

1 1

^

1 2 .

> 0 , - д . -

то • ^

( х ) имеет миаиму_1}

если нечетные определители Сильвестра отрицатзльны, а

чехные

положительны

то

^ х ) имеет

максимум

в

остальных

случаях

tj

(

х ) это поверхность т-ипа мини-

макс,

Ъг~

1,41-5» - 5,544 = 0 .

_ -

0,25 • 3,0 • 1,52. + 0,5- 0,43(1,19+4,0)

1

^ .

U ,6 - 4,0)С - 1,19 - 4,0) - 0,25(5,0) г

_0,&5 6 1 S & , -

0,5 о » ^ - 7 1 ) ^

^

(b„-\)(ibi-\)-

0,25 о*

0,25 - 5,0 • 5 . 4S + 0,3 - %Ы ( 2 , 6 0 - 4 , 0 ?

Q

^

( 2 , 6 - 4 , 0 ) ( - 1 , 1 9 - 4 , 0 } - 0 , 2 5 ( М ) г

После

подстановки

значений

х ,

= 1,577 и

хъ » 0,324 в

уравнение

( 4 . 4 ) находим, что при этом режиме

параметр оп­

тимизации равен 9 6 , 8 5

$ .

А

Аналогично вычисляем значения

i , , i ,

i

ij , задавшись

X - 3,95 и 3,90

X

ш 3,95 ;

.

% - 3,90

;

. . х, = 1,669 ;

х,= 1,827

;

х 3 = 0,359 ;

X j - 0,405

;

/ } - 9 9 , 2 8 ;

9 = 1 0 1 , 6 0 .

множителя Лагранжа в пределах

от 3,12 до 3 , 9 0 , по-видимому,

плохо

описываются

уравнением ( 4 . 4 ) .

Во втором примере мы продемонстрируем применение метода

перебора

граней гиперкуба ограничений.

Пусть

уравнение

регрессии

имеет следующий

канонический

ШЛу

-

5 0 , 9

4 1 V

4,270 X ?

+ 4, 5в7 X *

Видно,

что £

( х,

,

х а ) это поверхность типа минимакс.

1)

Полагаем

х 1

= +1 и в сечении получаем

параболу

J

U * b 4

i ' 9 5 1

+4,592, х г + 0,216 х\

,

которая

максимальное

значение

принимает

при

x t - I :

£ ( 1 , 1 ) - 4 8 , 5 6 5 .

2 )

При

х^ *

- I

функция

%

ij t i j ) -

50,761 + t , 1 H x t

+ 0,216

х\

и имеет

максимум

при

х г .

+1

:

^ ( - 1,1) =

52,1165.

3 )

При х г

=

+1

функция

$ ( . х , ) « 51,534

-

1,777 х , -

1, 195

х *

имеет максимум

в

точке

х ,

*

- 0 , 7 4 1 ,

то есть

•

^

(-0,741?

I )

- 52,217 .

компонента

, равному 3 3 , 0 # ,

затем двумерные

сечения по­

верхности отклика, описываемой

канонической формой

( 4 . 1 2 ) .

Поскольку

выход продукта растет вдоль оси

Х ^ в

направ­

то* максимальное значение выхода продукта будет

располагать­

ся вблизи границы изученной

области.

На-рис.4.5 приведена двумерные сечения для выхода про­

дукта, составляющего

9 5 , 0 $ ,

и содержания компонента

Ai ,

равного 3 3 , 0 * . Точки

а и

а.соответствуют решению

"компро-

миссной"задачи. Точка

а! находится за пределами

изученной

области факторного

пространства и в соответствии с условия­

ми задачи не может

рассматриваться как

оптимальная. Поэтому

принято, что

точка

а с координатами

х , =. 1,15; х } - 0,75

соответствует

оптимальному режиму.