Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.9 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 299 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

-	5Q	-
- гиперсфере) с радиусом р	. Или,	другими словаки,	точ
ность предсказания параметра	оптимизации одинакова		на

равных расстояниях от центра эксперимента я не зависит от

направления. Планирование, обладающее этим свойством, на зывается ротатабельнш планированием (см. также § 1 - 3) .

3 предыдущем параграфе мы рассмотрели ортогональное

планирование второго порядка, но исследования показывают,

что критерий ортогональности является недостаточно силь-

эвм критерием оптимальности для планирования второго по

рядка. В ортогональном планировании второго порядка ко

эффициента регрессии определяются с неодинаковыми диспер

сиями (не выполняется требование '	)	• П Р Я	пово
роте "координатных осей факторного	пространства	зеличины
этих дисперсий меняются по весьма	сложному закону,		поэто-
л

ау дисперсия ij неинвариаитна к ортогональному вращению

координат, то есть такое цианирование не является рота-

твбеяьаш.

Звбор некоторого универсаданого критерия оптимальяо-

сти планирования, оценивающего планы со всевозыоззнх то -

чех зрения, очень сложная задача. В 1957 году Бокс и

Хантер предложили считать оптимальным дланярозаниеи вто

рого порядка ротатабеявное планирование, позволяпцее по-, лучать сшметричнве информационные контуры. Такой крите

рий хорошо согласуется с теми интуитивными представлени

ями об оптимальности планирования, которые имеются у ис

следователя. Исследователю представляется естественным

-61 -

стремиться прежде всего к тому, чтобы -информация, содер жащаяся в уравнении регрессии, была равномерно "размаза

на" по сферам.

Исследования последних лет показали, что ротатабехь-

нне плана являются оптимальными ж в более широком смысле:

к ним приходится обращаться я тогда, когда надо минимизи

ровать систематические ошибки, связаннне с неадекватностью представления результатов исследования полинонами второго порядка.

Построение ротатабельннх планов - это сложная матема тическая задача. Мы ограничимся изложением только практи

ческих аспектов этой задачи.

По-видимому .можно предложить множество способов пост

роения ротатабельннх планов второго порядка. Известное

нам по предыдущему параграфу к о м п о з и ц и о н н о е

п л а	н и р о в а н и е	с числом точек	согласно формуле
(3.1)	- о д и н а з	в о з м о х н н х	способов пост

роения ротатабельннх планов. В этом случае выполнения свойства ротатабельности добиваются соответствующим вв-


бором величина звездного плеча: при		п>, =	2	, об = 2 4 ,
а если яд]Оом служат дробные реплики		п0=	2	, то
<*, = 2 Т	. Такое планирование называют центральным ком
позиционным	р о т а т а б е л ь н н м		у н и ф о р и -
п л а н и р о в а н и е м второго порядка.'Для рота-

табельного унЕфоргл-планирования информация (величина об

ратная дисперсии 6 2 { $ } ) остается постоянней в области

-5 2 -

факторного пространства, ограниченного радиусом, равным

единице.


Ниже мы рассмотрим	с п о с о б		п о с т р о е н и я
р о т а т а б е я„ь н и х		п л а в о в	в т о р о г о
п о р я д к а в з с и м п л е к с н ы х				п л а н о в .
Рассмотрим случай	К я	2 . В этом случае		симплексный
план - вершины равностороннего треугольника				(см. § 1 - 7) .

Соединив три точки в вершинах равностороннего треугольни

ка с Началом в центре треугольника, получим три вектора,

показанные на рис.3.2.

Рис. 3 . 2

Складывая полученные вектора по два сразу, подучим второй равносторонний треугольник ; складывая векторы по три сразу, получаем центральную точку. Первоначальное расположение . плюс образованные точки дают план, показанный на рис.3.3.

Первоначальный план плюс образованные точки дают шести угольный план, который образует ротатабельное устройство второго порядка. Это следует из следующей т е о р е м ы , доказанной в математической теории эксперимента, - п. точек,

- 65 -

Рис. 3 . 3

равяорасполояеЕннх на окружности полоаительного радиуса,

удовлетворяют условиям ротатабельности тогда и только
тогда, когда	к» > 4 .
Аналогичная	картина получается и при К « 3 . Проводят
ся четыре вектора из начала' х вершинам тетраэдра.		Когда"
складываем всевозможными способами по два вектора		сразу,

получаем шесть векторов, проходящих черев серединн ребер

тетраэдра. Если складывать по три вектора, то пол> *ии че

тыре вектора,	проходящие	через	средние точки граней пер
воначального	тетраэдра,	и когда	складываем ло четыре век
тора сразу-полу чаем центральную			точку. Если длины образо

ванных векторов выбраны подходящим образом, то результирую щее устройство будет ротатабельным планом второго порядка

(в данном случае этот план совпадает с рассмотренным ра

нее композиционным планом с об = 2 ^ ) .

В теории планирования эксперимента показано,-что при

помощи операции суммирования векторов .идущих ив начала ко

ординат в вершины симплекса - по два, по три и т.д. до J(,

- 6 4

можно при любой k построить множество точек, добавление которвк к неходкому плаву первого порядка даст ротатабельннй план второго порядка. Полученные таким способом плавя называют е н н п л е к с н о - в у и м и р у е и н м и . Число точек в полученных планах при К > 5 становится слишком большим по сравнению с числом констант-, которые необходимо определить. В таком случае южно использовать дробные реплики.

§ 3 - 3 . Р а з б и е н и е	н а	о р т о г о н а л ь -
я н е	б л о к и

При описании поверхности отклика полиномами второго

порядка приходится ставить уже очень большое число опытов. Естественно при атом разбивать эксперимента на ортогональ ные блоки тая, чтобн можно было исключить влияние неконтроларуемого временного дрейфа. Для этого вводят новую пе

ременную		г ,	характеризующую межблоковой дрейф,			и разбие-
ние^на	блоки производят так,			чтобн переменные	полиномов
х ь ,	x t	х^,	х* оказались	ортогональными к	переменной
по блохам		2 .	, .	'
Если временной дрейф можно аппроксимировать						некоторым

дискретным процессом, то уравнение регрессия после разбие ния экспериментов на пь блоков может быть записано в с л е дующем виде

( 3 . 5 )

	-	65 -
где	j b o b - ожидаемое значение захода в центре планирова
ния для S —го блока, 2 , & ц - некоторая "фиктивная" перемен
ная,	принимавдая значение, равное единице для S —го бло
ка,	если ожидаемое значение уи	относится к этому блоку,
и значение, равнее нулю, для всех остальных блоков.
	Перепишем уравнение (3 . 5)	следующим образом:

где

а ь

число опытов в

Ь —ом блоке. Заметим, что

г.

-г.с

- 1 -

» когда

точки соответствуют s-^ому

блоку,

z b u - г 4 «

во всех

остальных

случаях.

Условия ортогональности переменных полиномов к пере

менной

по блокам

г «• I S u - I

запишутся так:

Л*

" ь ,

{

0 , 1 , 2 , . . . ,

, то есть

u » 1

U "

Отсюда следует,

что если

L ^ j

, то получаем первое ус

ловие

x 6 u * j

u =

• -

S -

, - и*1

, m, ,

• / ;

;

П 1 С

(3.6/

1, 2 ,

. . •

1ф]

u , J - U , 1 , < i , . . .

n , ,

- 66 -

так как для рассмотренных наш ранее планов второго по рядка всегда

. u»1	J

Уоловию ( 3 . 6 ) удовлетворяет полннй факторный экспе

римент и дробные реплики от него,- образующие ядро компо зиционного планирования, а также множество авездннх то чек с помощью которых в композиционной планировании дост раивается ядро.

Если о = j , то получаем второе условие

ТЕ

Это значит, что сумма квадратов для всех переменных данного блока должна быть пропорциовальна числу опытов в бдоке.

Композиционный план всегда можно разбить хотя он на два блоха. В первый блок войдет полный факторный экспе римент (гиперкуб). Обозначим число точек гиперкуба через

ас . Во второй блок следует включить звездные точки.

Обозначим их число через		п.^ . Общее число нулевых точек
нужно распределить	между этими блоками так,		чтобы выпол
нялось соотношение	( 3 . 7 ) .	Обозначим через	гъ^и	щ_0

число центральных точек гиперкуба и звезды соответствен но. Тогда условие ( 3 . 7 ) для первого блока запишется в

- 6 7 -

виде

I l T X T V X	'	(3 . 8)
u«1 >

а для второго блока условие (3 . 7) примет следущий вид

С помочью ( 3 . 8 ) I	( 3 . 9 ) получим
2 Ы *	r w + n . i e	(ЗЛО)

Таким образом за счет перераспределения пентральнни~точек

между блоками мы всегда можем добиться выполнения соотно шения ( 3 . 1 0 ) , а значит ж выполнения условия ( 3 . 7 ) *

	З А Д А Ч И
3 . 1	. Запишите полином второго порядка для задачи
с четырьмя факторами. Определите число коэффициентов
регрессия	этого уравнения, которое необходимо определить

3 . 2 . Подсчитайте общее число опытов плана второго порядка в случае изучения вяияния a e o n факторов (ядром плана вобрана полурепхика от полного факторного экспери мента). Сколько авяяжяшг точек включает м о т план.

3 . 3 . Составьте матрицу центрального конпозипнонного плаянроваяяв второго порядка ждя задачи с четврым фокторамн.

					-	86	-
3	, 4	. В составленной матрице					(см.задачу 3 . 3) опре-
делите величину е д а произведений							у	x o u	.1
делите величину е д а произведений								x o u	x * u
и I I	L X V •
3	. 5	.	Преобразуйте		составленную матрицу (си.задачу
3 . 3 )	в ортогональную. Проверьте в новой матрице равенство
нулю сумм произведений					X	х. u	.	ж J _	x m х , и .
3	. 6	.	Убедитесь,	что в		«втрипе		(3 . 3)	с),,,—	сц2
Я - а"		Ч 2t	* a 8 & т е	и «	Р 6 5 ®^ уравнение				<^~1г =	0.най
дите величину звездного				плеча.
3	. ?	. Пусть уравнение

получено планированием типа З 2 .					Получите выражение для
дисперсии	& Z { f y	•	i	• '	•
3 . 8 .	Определите величину звездного					плеча для	ро
татабелысого планирования второго порядка,						если ядром
nxEtea является: I )		полный факторный эксперимент 2					;
2 ) полурешшка типа 2 6			" * 1	; 3)	1/32. реплика	типа 2 9 -	5 .


Вопроея, оамтшт а тшюятй ш		,	равшютрава
а изаестаой aaazv ]^.1маиам a 1.А.1врваа§			[25] , *
гака* * жяжгшх друга «коре»: ЛЙДмара		[ l ]	, * . € J № K
вата \jSf\ , йМ.Тушюва. [32] , ва&доором арвжищвв
[i?] . Заметим, то в ооотхсмпя	(4.19) at jmmaj nil
юшгв В.В.Валвмов* a BJL4tpaoaef,	веторое ввответеяувт
формуле (3.10) ааекшяег хвата, допущат		a n c w r o , ^

ракочевавввя" аа*см а а рабе» жруи* авторов (с»., вввримвр, стр. 85 аяага Д.П.1у»авоаа [32] ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 299 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ