книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

- г о о -

1 2

L * U j * U.

3 . Определяются степени свободы | f t , j^,

^ f c n o форму­

лам

'

.

t

- тДги-1).

a

^

г

4 . Вычисляются несмещенные сценки

S„»

S . , S „ дцспер-

сии 6

по известной -формуле

•

л

.

5. Подсчптывается

значение дисперсионного

отношения

-

Р

-критерия Фишера

-

t,

*

-

-

,

S

ф

*

э к с п

Напомним, что при формировании F -критерия в числителе

ста-

вит^я большая из двух

оценок дисперсии, т . е . в

нашем слу -

чае

•

*

* »

S * - m a x

( $* , S * ) ,

5 г = min. ( b\,

S|J.

6°. По выбранной величине уровня значимости

$С F -кри­

терия и соответствующим степеням свобода

| ,

Х & из таблиц

R.2

. ^

находится значение

Р т а

в д .

7i

Вычисленное в

п. 5 значение F-критерия

сравнивается

.•с

величиной

F . ^ 1 1 даемся заключение о проверяемой нуль-

-гипотезе

H Q .

Если

^ э к с ^ ^ ( 5 ^

то

гипотеза

приншлается,

есш.же F^en^TeJbi,

то

гипотеза

отвергается,

т . е . источ-

— 2.01 —

нкк изменчивости

оказывает

влияние на•средние

значения

случайных величин.

Для представления

рэзультатов/однофакторного

экспери­

мента можно воспользоваться следующей моделью ;

XL,

. =

Ц/ + Т. +•&...

«*»J

Г

v

' J

(8.16)

Здесь и . . - результат эксперимента, относящегося

к той клет-

ке табл.8.1, которая

находится на пересечении i

-ой

строки

и j

-го

столбца;

j i . -

математическое ожидание для

среднего

по всей

таблице

Ji. =

» где у, вычисляется по формуле

( 8 . 2 ) ,

Т ^ -

математическое

ожидание

эффекта t

-го

прибора

^ i

= ^ { V t ~ ^

'

Г Д е

0 П Р е Д е л я е

т с я

п о

формуле

( 8 . 1 ) , и

ошибка эксперимента

в

клетке

с

индексами

i

, j

. Пред­

полагается,

что

случайная

величина

имеет

нормальное

распределение

с

нулевым средним и дисперсией

.

Очевидно, что

£ Т А - ° - -

( 8 Л 7 )

Статистический анализ производится путем подсчета сумм

квадратов, характеризующих рассеивание изучаемого фактора

Т

(предполагаемый источник

изменчивости,в нашем примере

он тождественен фактору А )

и случайную

составляющую

£-.

Нуль-гипотезой

является:

= 0 для

всех L.

Процедуру проверки нуль-гипотезы можно еще интерпрети­

ровать

следующим образом. Если фактор Т варьируете1-

та m

уровнях и на каждом уровне

делается

г\ параллельных

опытов-,

то нам иушо

сравнить

дисперсию,

задаваемую рассеиванием

т.

средних

, ^

с дисперсией

,

от,-е-

Если ггошшается нуль-иятотеза:

6^ - 6 а , тоб{Г}=. О,

и следовательно, рассеивание глезду

средними задается толь­

ко ошибкой опыта.

§ 8 - 3 . М н о г о ф а к т о р н ы й

д и с п е р ­

с и о н н ы й

а н а л и з

Когда число факторов больше

одного,

т . е . 'при 2-х, 3-х'

Мы остановимся здесь на

п р о с т е й ш е м случае

многофакторного дисперсионного анализа

-

д в у х ф а к -

т о р н о и

а н а л и з е ,

т".е;

р а с с м о т р и м

8 а д а ч у

о ц е н к и

в л и я н и я

д в у х

о д ­

н о в р е м е н н о

д е й с т в у ю щ и х

и с т о ч ­

н и к о в

и з м е н ч и в о с т и

Л и

&

. Причем пола­

различием между приборами (фактор Л

) или различием между

операторами, производившими замеры

(фактор $Ь У.

Пусть

по признаку Л

все наблюдения делятся на г. групп

•^Ц'^г . »*••» *-^Ц,» а

п о

признаку^) -

на кгрупп

а ,

А

-

,,(1Ь^так,

что весь

материал разбивается на l i t групп;

при­

чем, в каждой группе

имеется С наблюдений (для простоты мы

Таким образом, общее число наблюдений

Через

мы обозначим отдельное наблюдение, попавшее в груп­

пу JL по признаку А и в группу

по признаку

, индекс

к означает номер замера в группе.

^

. ^

Пусть далее

Таблица

с

наблюдениями

i ^ j i может быть представлена

в

следующем виде

(см . табл . 8 . 2) .

О с н о в н а я

и д е я

дисперсионного

анализа в

данном случае,

как и в рассмотренном уне

случае однсфак

-

торного

анализа,

з а к л ю ч а е т с я

в

р а з

л о

­

ж е н и и

с у м м ы

к в а д р а т о в

о т к л о н е ­

н и й

о т

о б щ е г о

с р е д н е г о

н а

к о м ­

п о н е н т ы ,

о т в е ч а ю щ и е

п р е д п о л а ­

г а е м ы м

ф а к т о р а м

и з м е н ч и в о с т и .

Тождеству ( 8 . 3 ) однофакторного анализа в данном слу ­

чае с^оответствует

тождество

Или

Q t г Q * . +

° * +

Q * -

Выражения Од, и

0^

носят

название суммы квадратов разнос-

- г о б -

тей между "строками" и между "столбцами"

таблицы 8 . 2 .

Q 0

и О^как и в одаофакторном анализе

называются соответст­

венно "обшей" и "остаточной" суммой квадратов.

Выполнение дисперсионного анализа и в

этом случае

за ­

ключается в проверке нуль-гипотезы

Н 0 о б

однородности

обшей совокупности значений

t

т . е .

мы сделаем пред­

выборкой объема

г ^ С из генеральной совокупности "У ,

име­

ющей нормальное

распределение с параметрами rriy 6 г ,

где

Суммы квадратов

Q 0 ,

Q A ,

Q f t ,

й Л ,

деленные

на

соот­

ветствующие

степени

свободы J

= х1г1

-

I ;

г

-

I ;

•f ^ = {и - I ;

^

=

t t , t -

fv -

а, +

I ,

дадут

несмещенные

оценки дисперсии

6 г :

общей совокупности. Так,

з нашем примере

характеризу­

ет рассеивание за счет разницы в приборах

(рассеивание

средних по строкам);

характеризует неоднородность,

вносимую различием между операторами (рассеивание

средних

по столбцам) и,' наконец,

оценивает случайную

погреш­

ность измерений.

Для проверки степени

значимости расхождений,

обнару­

1

ti>

i

с г

личное значение

, то нуль-гипоте­

§ 8 - 4 . П р о в е р к а

г и п о т е з ы о

р а в е н с т в е

с р е д н и х

Приложения)

выписывают

( n v - I )

значение рангов при выбран-4

ном уровне

значимости,

числе

i v ^ , равном числу степеней

свободы дисперсии воспроизводимости, и ^

= 2 , 3 , . . . , , t t v .

4

. Полученные значения рангов умножают на 5*для полу­

чения

наименьших значимых рангов.

5. Разности между средними сравнивают

с соответствую­

щими данными, полученными в пункте четыре

(наименьшими

значимыми рангами). Разность мевду максимальным

и минималь­

ным значениями сравнивают со значением критерия

при ^ =№,

между максимальным и вторым по величине

- с критерием при

•О = m. - I и т . д . Различия между средними

считают

существен­

ными, если разность между средними превосходит

значение

рангового критерия.

§ 8 - 6 . Р а н д о м и з а ц и я

с

о г р а н и ­

- 1 0 9 -

8 - 5 . 1 . Н е п о л н о б л о ч н н й

с б а л а в -

с и р о в е в н н й

о х а в

Тавота g i 3

Серии

{.

Варианты

испытаний

(блоки)

-

I

I

+

+

2

+

3

+

+

4

+

I

±

Здесь буквами А,

В,

С, Д обозначены различные опыты (вари­

анты испытаний),

а цифрами I ,

2, 3, 4 - номера последова­

тельных серий, обычно называемых блоками (в упомянутом вы­

ше примере это дни). Знак "+"

означает,

что опыт проводил­

ся, а знак " - "

-

что опыт не выполнялся. Этот план назы­

вается неполноблочным потому,

что в каждом блоке' опущено

по одному опыту,

и сбалансированным потому, что опыты, рас­