книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

- 1 0 0 -

Оптимизацию процесса с применением метода крутого вое -

хождения начинают с получения линейного уравнения регрес­

сии. В этом случае исследователя интересуют в основном ли­

нейные члены, следовательно, целесообразно использовать

дробную реплику.

Рассмотрим процесс, оптимизируемый по четырем факторам.

на максимум с предельным значением параметра оптимизация,

равным 100%.

Поскльку число коэффициентов линейного уравнения при

Я = 4-равно пяти, можно использовать дробную реплику, со ­

держащую восемь точек. Для трехфакторного эксперимента это

будет полная реплика.

В связи с необходимостью получить несмешанные линейные

эффекты целесообразно использовать дробную реплику с опреде­

этим матрица планирования будет иметь вид, представленный в

табл. 4 . 2 . Натуральные значения факторов X j приведены в

табл. 4 . 1 .

Результаты экспериментов приведены в табл .4.3. Для оцен­

ки дисперсии воспоизводимости в каждой точке было поставлено

по три параллельных опыта.

—102 —

Затем вычисляем сумму дисперсий воспроизводимости

степеней свободы | и дисперсии коэффициентов Ь 1 { о ^

J = У (кь_ I ) = 8 (3 - I ) = 16 ;

Следующим этапом является расчет коэффициент „ регрес­ сии. С этой целью составляем т а б л . 4 . 4 ^

Расчет коэффициентов осуществляют по формуле ( 2 . 6 )

Проверку значимости коэффициентов регрессии проводим по t-критерию.

Вычисляем опытные значения величины " t по формуле (2.15)

+)

'Табл . 4 . 4 . ошбочко пропущена и приведена з конце книги (смпункт "ПопранЕИ").

исключить из уравнения, зафиксировав на каком-либо уровне.Это следует делать с осторожностью, так' как может оказаться, что в неизученной области факторного пространства зафиксированные переменные существенно влияют на процесс.

ровать на любом из уровней в пределах исследованной области.

—104 —

Таблицу опыта обычно рассчитывают до наступления нереа­ лизуемого шага, В нашем случае шестой шаг.дает отрицательное

«3 . Будем считать, что это нереально. Из всех точек, а их

может быть много, практически реализуют только часть. Причем, каздую следующую из намеченных для постановки эксперимента точек целесообразнореализовать после получения очередного значения параметра оптимизации. В рассматриваемом случае точ­ ка, соответствующая третьему шагу, является лучшей. Поэтому переносим в нее центр исследования и составляем новый план первого порядка только для х ч и хй ,помня, что ос г и х 4 бы­ ли зафиксированы. Опыты ставим без параллельных,так как дис­ персия воспроизводимости нам известна (хотя в новой области она может быть и иной, вследствие того, что точность экспе­ римента в разных областях факторного пространства может быть различна).

Натуральные значения факторов приведены в таблице 4 . 7 .

Таблица 4 . 7

Поскольку варьируются только два фактора, план содержит четыре точки (точки 1-4, табл.4.8) и представляет собой полный факторный эксперимент первого порядка. По этим данным получаем следующее уравнение регрессии:

Статистический анализ, приведенный.в табл.4.9, показал не ­ адекватность уравнения ( 4 . 3 ) . Коэффициент, характеризующий эф­ фект взаимодействия, оказался очень велик ("°1 5 = 3 , 0 ) . Это зна­ чит, что достигнута область высокой кривизны. Поэтому дополня­ ем план первого порядка до ротатабельного плана второго поряд­ ка ( т а б л . 4 . 8 ) .

После постановки экспериментов рассчитываем коэффициенты

Дисперсию адекватности вычисляем по формуле из * 2 , 3

*адекватность уравнения регресс.л» проверяем по фор­

1,72

Таким образ6м,уравьение (4,4) адекватно описывает

данные таблицы 4.8.

Сравнение " t p 0 P 1 c t ^ , , ^ , показало, что квадратичный член урав­ нения регрессии ^>ь ъ х * слабо влияет на параметр оптимизации. Однако в связи с наличием корреляции между "о, и o J 4 , а так­ же между "о,, и o J & для исследования поверхности отклика сох­ раняем уравнение (4 . 4) без изменений.

Исследование уравнения регрессии начинай! с приведе-,

ния его в канонической форые. Получение канонической фор­

мы состоит в переходе к новой системе координат, в кото­

рой уравнение регрессии приобретает вид, характеризующий

форму поверхности отклика. Такое уравнение содержит толь­

ко квадратичные члены

ции в центре поверхности отклика (в новом начале коорди­

нат); 5 > j j - канонические коэффициенты, X j - новые ко­

ординаты.

* Центр новой снсхемы координат совпадает с центром по­

верхности отклика. Координаты центра поверхности отклика в

старой системе координат вычисляют посредством решения сис­

темы уравнений, состоящей из частных производных, которые

для этой целя приравнивают к нулю*

—109 —

Вычисленные таким способом значения факторов подстав­

Решение уравнения ( 4 * 6 ) дает возможность вычислить

значения канонических коэффициентов. Число корней уравне­ ния ( 4 . 6 ) равно числу факторов. Проверка правильности рас­

четов может бить осуществлена по формуле

По знакам ханоиичеехнх коэффициентов усаанавливают вид поверхности отклика, Поверхности второго порядка лег­ ко поддаются систематизации. Если у всех канонических ко­ эффициентов знаки одинаковы, то поверхность отклика есть э л л и п т и ч е с к и ! п а р а б о л о и д , причем заах плюс указывает на то, что в центре поверхности нахо­ дится минимум, знак минус - максимум (рис . 4 . 3) .

Если канонические коэффициенты имеют разные знаки, поверхность отклика представляет собой иперб.адический параболоид (рис . 4 . 4 ) .