книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

- г о -

•

ния процесса, например, существующей аппаратурой, техноло­

гией, организацией. В реакторе, изготовленном из некоторого материала, температуру нельзя поднять выше температуры пла­

вления этого материала.

Эксперимент обычно начинается в условиях, когда объ­ ект уже подвергался некоторым исследованиям. № можем ис ­

пользовать априорную информацию для получения представле­

странства связан с тщательным анализом априорной информа­

•Если ищется оптимальный режим протекания процесса, то в ка­ честве основного (нулевого*) уровня принимаются наилучшие

условия, определенные из аналита априорной информации.

*Этим условиям соответствует комбинация (или несколько ком­ бинаций) уровней факторов. Каждая комбинация является мно­ гомерной точкой в факторном пространстве, Ее можно рассма­

тривать как походную точку для. .построения плана эксперимен­ та. Построение плана эксперимента сводится к выбору зкспе- 'риме'нтальных точек, симметричных относительно нулевого уровня.

Блок-схема принятия решений при выборе основного уров­ ня приведена на рис.1.1.'

Рис. I . I

После того как нулевой уровень выбран,, переходам к с л е ­ дующему пату - выбору интервалов изменения (варьирования) факторов.

ит в том, чтобы для каждого фактора выбрать два уровня, на

которых он будет варьироваться в эксперименте. Интервалом

изменения факторов называется некоторое число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню

новной - нулю. Для факторов с непрерывной областью опреде­ ления это всегда можно сделать с помощью преобразования

где х кодированное значение фактора; натуральное значение фактора; натуральное значение основного уровня; интервал изменения;

ь- номер фактора.

Для качественных факторов, имеющих два уровня, один

На выбор интервалов изменения накладываются естествен­

ные ограничения сверху и снизу. Интервал изменения не мо­ нет быть меньше той ошибки, с которой экспериментатор фик­ сирует уровень фактора. С другой стороны, интервал измене­ ния не может быть настолько большим, чтобы верхний или ниж­ ний уровни оказались за пределами области определения. Вну­ три этих ограничений обычно еще остается значительная не­ определенность выбора, которая устраняется с помощью инту­

в котором реализуются все возможные сочетания уровней фак­ торов.

Если число факторов равно К , а число уровней каждого фактора равно ж-, то имеем полный факторный эксперимент типа v n , \ Рассмотрим подробнее полный факторный эксперимент типа 2 .

Нетрудно написать все сочетания уровней в эксперимен­ те с двумя факторами. Напомним, что в планировании экспериыента используются кодированные значения факторов: +1 и - I (часто для простоты записи единицы опускаются). Усло­ вия эксперимента можно записать в виде таблицы, где стро- *ки соответствуют различным опытам, а столбцы - значениям

планирования называют также матрицей независимых перемен­

*опыта

То, что записано в этой таблице, можно изобразить г е о - -метрически. Найдем в области определения фан~~ров точку, соответствующую основному уровню, и проведем через нее но­ вые оси координат, параллельные осям натуральных значений факторов. Далее выберем масштабы по новым осям так, чтобы интервал изменения для каждого фактора равнялся единице. Тогда условия проведения опытов будут соответствовать вер - пгггяям квадрата, центром которого является основной уровень, а каждая сторона параллельна одной из осей координат и рав­ на двум интервалам (см . рис . 1 . 2) .

Номера вершин квадрата соответствуют номерам опытов в мат­ рице планирования. Площадь, ограниченная квадратом, назы­

вается о б л а с т ь ю э к с п е р и м е н т а . Иног­

да удобнее считать областью эксперимента площадь, ограни­ ченную окружностью, описывающей квадрат. В задачах интер­ поляции область эксперимента есть область предсказываемых

значений и,.

Запись матрицы планирования, особенно для многих фак­

торов, громоздка. Для ее сокращения удобно ввести услов­ ные буквенные обозначения строк. Это делается следующим образом. Порядковый номер фактора ставится в соответствие

латинские буквы только для факторов, находящихся на верх­ них уровнях, то условия опыта будут заданы однозначно. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях условимся обоз-

начать ( I ) . Матрица хеширования вместе с принятыми буквен­ ными обозначениями приведена Б табл . 1 . 2 .

' $аблица 1.2

ростом числа факторов возникает необходимость в некотором

приеме построения матриц. Рассмотрим три приема, основанные на переходе от матриц меньшей размерности к матрицам большей размерности.

Л -в р в н й п р и е - м : записать исходный план для

одного уровня нового фактора, а затем повторить его для дру­ гого уровня. Этот прием вытекает из того факта,, что при до - ' бавленил нового фактора каждая комбинация уровней исходного плана встречается дважды: в сочетании с нижним и верхним уро­

- 27 -

правило перемножения столбцов матрицы. При построчном пе -

ремножекин двух столбцов матрицы произведение единиц с од­

ноименными знаками дает + 1 , а с разноименными - I . Восполь­

зовавшись этим правилом, получим для случая, который мы

рассматриваем, вектор-столбец ацэс^. Далее повторим еще раз

исходный план, а у столбца произведений знаки поменяем на

обратные. Вы можете убедиться, что таким образом построе­

на матрица в таб.1.3.

кия знаков. В первом столбце знаки меняются поочередно, во

втором столбце они чередуются через два, в третьем - через

4, в четвертом - через 8 и т.д. по степеням двойки.

Здесь мы выясним, какими общими свойствами обладают ма­

трицы планирования полного факторного эксперимента типа 2\

бкраются так, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакоьа на равных расстояниях от центра экс­

перимента л не зависит от направления. Доказательство этого

утверждения приведем нике в § 3 - 2 . Планы, для которых имеет

сти, Еозшжаюпяе при расчете коэффициентов регрессии, г на­ личие ротатгбельноста влечет равномерность распределения дисперсии предсказанных значений параметра оптимизации в изу­ чавши области йакторкого пространства. В этом смысле полный'

3 зависимость от числа факторов в полином неполного выс­ шего порядка кроме линейных членов входят выражения, харак­ теризующие эффекты взаимодействия. Например, при трех факто-