книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

личие всего

двух генеральных

совокупностей JC и

JC

с

плотностями

вероятностей

( х

)

и

р ^ ( э с ) .

Далее,

пусть

известны априорные вероятности

Ч

и

q. того,

что

наблюде-

венно

совокупностям ЗГ, и

JT^ .Наша задача заключается

в том,

чтобы

разделить

область

возможных результатов

эксперимен­

та на

две

подобласти

и

0г ,

соответствующие

двум

сово­

купностям

ЗГ и

.

Из теоремы

Байеса следует,

что условная

вероятность

ч

что

•

(при

того,

наблюдение проведено над совокупностью РГ

условии,

что результаты

заданы вектором х ) ,

равна

ное пространство

на две части С^и 0 .^ .

Рассмотрим теперь поведение случайной величины

и - Г С ( V

1 ( j i ^ j t J T L " ( f t - ^ ,

3U, или

Здесь нужно найти две функции распределения:

одну, когда

х

принадлежит

к I t , , другую - к

Обозна­

чим через и,, и

и г случайные

величины, соответствующие этим

- • 7 0 I

О

С

l o t

Рис.9.4

№ видим, что центры двух

обсуждаемых функций распределе­

Желчггдгм познакомиться с

двскриминантншл анализом б о ­

лее; подробно, рекомендуем обратиться к обзору, составлен-.

нет ВЛЗ»Урбахои [ 3 7 ] . Здесь

содержится библиография работ

но довслхтаавЕШТНоцу анализу,

включающая около 500 наиме­

- 2 , 4 6 -

изучаемого процесса ;

С ^

- аддитивная

случайная

помеха,

имеющая нормальный закон распределения с

нулевым средним

и дисперсией 6*{сУ; К - номер замера (наблюдения).

Условимся

называть регулярную

составляющую "§ ^

м о ­

д е л ь ю

процесса.

Чаще всего модель процесса представляют в виде по­

линома порядка

я. :

'

5

k

Н

i\

(юл)

Кроме полиномиальных возможны и другие виды моделей,

например,

экспоненциальные

или тригонометрические.

Задача прогнозирования состоит в предсказании значе­

ния

ц.

, отстоящего на

ж. шагов от последнего наблю-

денного значения

. Эта

задача

включает несколько

эта­

пов.

1 . Выбор интервала дискретности наблюдений

и интер­

вале

наблюдения

Т .

2 . Выбор модели процесса, т . е . определение характера

изменения регулярной

составляющей Tg ,

3 . Вычисление оценок коэффициентов модели по значени­

ям

1^, ,

наблюденным на интервале

Т с

дискретностью

A " t

(эта процедура называется сглаживанием).

4 . Использование полученной модели для предсказания

значения

ц,.

5 . Оценка точности предсказания.

Подробное

рассмотрение

задачи

прогнозирования

начнём с

§ 1 0 - 2 . М е т о д

э к с п о н е н ц и а л ь н о г о

с г л а ж и в а н и я

Пусть

имеется ряд

значений

^

vj,^ , наблю­

денных на

интервале

времени Т

с интервалом дискретно­

сти д"Ь ,

так что

Т

=* ( - hl - A)

д"Ь.

Искомая модель

задана

в виде полинома

степени

п,;

коэффициенты которого а о ,

о ^ , . . . , а Л

неизвестны.

Для получения

опенок

неизвестных

коэффициентов

естественно брать взвешенные значения наблюдений

i j ^ ,

К = 4 , 2 . , 3 , . . . ,

J f .

, причем веса

t J ^ убывают

соот­

О п е р а т о р

п р о с т о г о

э к с п о н е н ­

ц и а л ь н о г о

с г л а ж и в а н и я

Предположим,

что моделью процесса можне считать пос­

тоянную величину

§

= а,

. Так как" наблюдения включают в

* ь !

я

= т ы * —

( 1 0 - г )

•

Отсюда видно, что для внчисления скользящего

среднего

необходимо сохранять

большое количество информация ( J f - I

. Подставив в выражение

( 1 0 . 2 )

вместо действительно из­

меренного значения ^ ^

величину

^ , получим

Из этой формула следует, что для

вычисления

С ^ ( ^

)

требуется

сохранение только

величины. Ц ^ .

Величину

( ^ ) , вычисленную

по формуле

( 1 0 . 3 ) ,

называют сглаженным значением текущего наблюдения

^ .

Коэффициент —у

обозначают

через

оС

и называют

постоян-

ной сглаживания. Процедура

вычисления

по формуле (10 . 3) на­

зывается

с г л а ж и в а н и е м .

Сглаженное

значение

и ,

выраженное через

oL , имеет

вид:

щ е

^ ^ ( . ^ J -

отека среднего

значения ^

, вы­

численная на основании нового измеренного значения ;

C ^ f « j j

-

предадущая ооэнка

^ .

Если вместо аредндущей сглаженной величины

и о д с т а А

ей выражение через еще более ранние величины, то

получим

C k l V ) - ^ i l

* ( < - ^ [ ^ * t < - ^ ) C 1

b

. i l

( i i ) ] -

ы

i

к.

i - f l 4

7 * " *

-

7

»

(10.5)

Отсюда видно,

что функция

( ^ я в л я е т с я

линейной комби-