книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие
.pdf- 1 9 0 -
будут выборками объема п. из соответствующих генеральных совокупностей ^ , i -= I , 2 , . . . , m . .
Осреднение показаний каждого прибора даст, очевидно, изучаемый ряд средних значений
Рассеивание (изменчивость) результатов измерения
одной и той же величины ^ в нашем случае может быть вы звано тремя причинами:
-случайной погрешностью измерений;
-наличием систематической приборной ошибки;
-влиянием оператора.
Аналогичная ситуация возникает, напршлер, при выполне
нии на автоматической линии некоторой операции обработки параллельно на нескольких станках. В этом случае ваяно для правильного построения последующей обработки знать, в ка кой мере однотипными являются средние размеры деталей, по лучаемые на параллельно работающих станках. Перечень подоб
ных задач можно продолжить неограниченно.
Практически в любом ряде испытаний тлеется один или
несколько факторов, вызывающих изменчивость средних значе
ний наблюдаемых случайных величин.
Выявление и количественная оценка влияния отдельных
факторов (источников) изменчивости на исследуемый признак
и является з а д а ч е й |
д и с п е р с и о н н о г о |
* |
|
а н а л и з а .
- 1 9 1 |
- |
Техника проведения дисперсионного анализа зависит от |
|
j |
* |
числа изучаемых' одновременно независимых источников измен-
чнвости. При постановке опытов необходимо проводить рандо
мизацию»
t
§ 8 - 2 . О д н о ф а к т о р н н и |
д и с п е р с и |
|
о н н ы й |
а н а л и з |
|
•* •
Вдовольно- общем виде задача однофакторного дисперси
онного анализа" ставится следупщим образом: пусть, да наблю
даем Ш НегаВИСИМЫХ плучмЯчит дрттдги
распределенных утцшрпмр. ^ р д 1 Л В е а * ш т 1 т математическими
ожиданиями inu*ПиЕ. |
n t ^ итявизаестной, но о д и н а- |
||
к о в о й для всех |
и - , |
I t 2 J l i . i |
. дисперсией 6 . |
Пусть над каждым переменным 1произвсдогтся серия из п.
наблюдений (для простоты мы ограничимся случаен равночис
ленных наблюдений). Дяннка—v - S серии пусть будут
Опираясь на эта статистические данные, т р е б у е т с я
пр о в е р и т ь
ра в е н с т в е д а н е й " . . . '
s f i i - r i B O » e s y |
( H Q ) о |
м а т е м а т и ч е с к и х |
о ж и - |
Если проверяемая гипотеза верна, то сопоставление средних
' ^ а ' * * * ' ^ т в к а х д о й с е Р ш не должно дать значимого
расхождения между ними; обратно, если такое расхождение обнаружено, то нулевую гипотезу следует отбросить.
- 1 9 Z -
Такую задачу для случая m = 2 мояно решать с помощью
критерия Стьюдента. Однако мы хотим сопоставить произволь но большое число средних. В этом случае используется про
цедура дисперсионного анализа5 связанная с применением F -критерия, Фишера.
Сформулированной математической постановке может сеют- 4
ветствовать, например, следующая практическая задача. Пусть при совместном анализе точности группы измерительных прибо ров нас интересует вопрос о том, можно ли считать их сис тематические ошибки одинаковыми^ Иначе говоря, мы хотим проверить влияние одного фактора-срибора на погрешность показания; При этом каждый i , -ый прибор является одним из
элементов единственного фактора (источника) изменчивости.
|
|
Пусть числоя приборов равно m |
и каждым из них произво |
||||
дится: п. замеров |
некоторой (одной |
и той же) |
физической в е |
||||
личины "У . |
|
|
|
|
|
||
|
|
Каждая серия из rv измерений представляет собой |
вы |
||||
борку объема л |
из генеральной совокупности |
показаний |
% , |
||||
I |
= |
I , 2 , . . . , |
m |
отдельного прибора.* Всего мы располагаем |
|||
т.п. |
измерениями, |
которые обозначим через |
ц. • , где |
i - |
|||
номер прибора, |
j |
- номер произведенного на нем измерения, |
|||||
t |
= 1 , 2 , . . . , - m ; |
j = 1 , 2 , . . . , л . |
|
|
|||
|
|
Таблица результатов измерений будет иметь следующий |
|||||
вид |
(см . табл . 8 . 1): |
|
|
|
|||
|
|
- |
m - |
|
|
|
Таблица 8 . 1 |
при-] |
|
и з м е р е н и я |
|
бора |
|
||
2 |
1 |
3 |
|
|
|
T |
т т — I |
3i% |
j |
tti>» , |
|
m. |
! i m a |
Среднее арифметическое из " u показаний |
t -го прибора |
7 i tifaW*-. » ( 8 Л )
Если систематические ошибки приборов не одинаковы, то,оче
видно, |
ш ДОЛИНЫ ояидать повышенного рассеивания выбороч |
||
ных средних |
|
|
|
Обозначим через |
Ц общее среднее арифметическое всех |
||
т . « а |
измерений |
так, |
что |
|
. |
т а |
|
(8.2) Совокупность наблюденных значений «j . образует выбор ку объемом иг к, из генеральной совокупности *У , имеющей
такке нормальное распределение с математическим ожиданием пг^ и дисперсией б 2 , , причем очевидно, что вычисленное с
«
|
—19*4- |
|
|
помощь» ( 8 . 2 ) значение |
явдае'гся |
оценкой |
математическо |
го свидания т.., до данный внборкя. |
|
|
|
С у щ н о с т ь дисперсионного |
анализа |
заключается в |
|
разложении дисозрежа васлвденной частичной |
совокупности |
||
на составлявшда, порождаемые независимыми факторами. Каж дая из этих ссставляюзрх дает оценку дисперсии в генераль ной совокупности.
Для выполнения эднофакторного дисперсионного анализ? надо сумму квадратов отклонений от общего среднего ^ раз ложить на составные части, одна ив которых соответствует источнику жзиенчивости, другая - влиянию случайных причин.
Нетрудно установить тождество
* - * J " ^ |
w r « |
- |
( 8 . 4 ) |
e-fi-4' |
i«hfуйсfl-Eivl)£ |
W i j - i J - |
|
u»» |
j»l |
* |
|
Ho. M.
так как представляет сумму отклонении ь -й серии от сред ней этой же серии и поэтому
S =0.
Поэтому, приняв во внимание, что
мы можем соотношение ( 8 . 4 ) записать в виде тождества ( 8 . 3 ) или в сокращенном виде
Оо*0.А+0^. |
(8 . 5) |
эсь сумма |
|
% к |
|
Q 0 - i r ( у ц - ^ ) г |
<8.«) |
представляет сумму квадратов отклонений всех наблюденных значений от их общего среднего я называется "о б щ з й"
или " п о л н о й " суммой квадратов. Сумма
а * - ч Е (иг*)»
1-1 |
(8 . 7) |
представляет собой взвешенную (о учетом числа замеров |
в |
каждой серии) сумму квадратов отклонений средних по груп
пам (сериям) |
, |
Z j ^ y m |
от |
общего |
среднего*^ |
н на |
||
зывается |
с у м м о й |
к в а д р а т о в |
" м е ж д у |
|||||
г р у п п а м и " |
|
и л и |
" р а с с е й |
в^а н я в' н |
п о |
|||
э л е м е н т а м " |
ф а к т о р а |
Ж , т . е . за счет |
иссле |
|||||
дуемого |
источника изменчивости, |
который мы обозначили ин |
||||||
дексом J l .
Суша |
|
v - t j * t V |
(8 . 8 ) |
является суммой квадратов отклонений наблюденных значений
и., о» средних соответотвувщей группы (серии) и назыБаэт-
ся с у м н о й |
i s |
а д |
р а т о в |
" в н у т р и |
т р у я п " ж » |
"fe |
е р |
в'й*. В силу тождества (8 . 5 ) в |
|
практических расчетах обычно вычисляются непосредственно только общая сумна u f t s сумме квадратов между группами Qj^. Суша же квадратов вчутрв групп получается вычитанием
в поэтому называется также " о с т а т о ч н о й |
с у м |
н о й к в а д р а * о в"; |
|
ТТрвшеттальво к напему нркмеру равенство (8 . 5 ) пока
зывав!, что "o&sae* рассаиванкв показаний приборов, изме ряемое cywoft G 0 » сковывается из двух компонент Q i A и
йь , хагшсгорвзукцвх раесевваше между приборам, то есть
различие в их схетешткческкх ошибках ( & д ) , и рассеива
ние "внутри* проборов* характеризующих одинаковую (по у с
ловии) для всех првборов вариацию под действием случайных
погрешностей, |
|
|
|
_ Сумма квадратов |
(З^я Q^, |
деленные на ооотзетот- |
|
вуиаие числа степеней свободы j0 = |
т.п. - I , j - ^ - т. - I и |
||
j K |
=» т(к~ I ) , дадут три несмещенных оценки дисперсии |
||
<Ьг |
в генеральной совокупности *У : |
|
|
|
191 — |
" |
(8.9) |
ж.- 4 1 |
( « . 1 0 ) |
•»Я^Щ' |
ten) |
яг wane оцеаок ваэоваетов общей оценкой двснэр-
свя, вторая - оцеавой дюоерсаж между хздшыая ж третья -
- остаточной оценкой двсперсаи л я оценкой дисперсии вну три грувв*
Число степеней свободы проверяется путем сложения тем
же способом, mat ж сумма квадратов ( 8 * 5 ) , то есть
Выполнение дисперсвояного авализа заключается в срав
нении оценки |
дисперсии, вызванной изучаемым фактором |
|
взненчивости А , |
ж остаточной оценка дисперсии |
, вме- |
зяаей место узе после того, как влияние фактора А, было устранено, т.е. обусловленной яокяочнтельно случайнами
погрешаостямж жамереаай. То есть, |
составляется F -огне— |
||
F - - & 4 |
' |
|
|
s * |
|
' |
• |
а, |
|
|
|
:< числитель в атой формуле учитывает систештическве рас хождения между матештхческвш ожиданиями m„ , х имеет тенденцию расти при возрастании этих расхождений. Тем са- *мвм. и F имеет тенденцию расти и становиться тем больше,
|
- 1 9 5 - |
|
чем больше отклонены |
от преднолагазмого |
равенства к а т с ш - |
тических ожиданий m u |
. Это обстоятельство учитывается пр-ч- |
|
видом проверки нуль-гипотезы. |
|
|
Боли нуль-гипотеза |
И ) о разонстве |
математических |
ожидатгё |
|
|
(в налем притлере сиотематичестаге ошибках приборов одинако
вы) верна, то, очевидно, оценки дисперсии S ^ n |
дочзэш |
различать^! глзяду собо": лшь случайно. Пои этол |
F -крцте- |
ршг Фашет.>>1 |
|
покаяет с большой вероятностью тшь несущ?*стверние рзл-хаж- дения меаду указанными оценками.
Веля не F |
-критерий |
обнаружит |
значимоо |
расхождение |
|
||||||||
между |
S \ и |
, то это |
будет |
укатывать |
на |
недопустимость |
|||||||
нулевой гипотезы. В таком случае |
мы имеем основание приз |
||||||||||||
нать материал |
неощюродкшд, |
то |
ость |
приходуй к выводу, |
|
что |
|||||||
источник изменчивости оказывает |
|
влияние на средние значе |
|||||||||||
ния случайных величин (у нас систематические погрешности |
|||||||||||||
приборов не одинаковы). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
П р а к т и ч е с к и |
|
однофакторный диеяерскопшь- |
|
||||||||||
звадиз |
выполняется Б следующей |
последовательности'. |
|
|
|||||||||
I . |
Результаты1 испытаний |
т^. |
/ г д е |
i |
- но;„ер серии |
(или |
|||||||
элемента фактора изменчивости Л ) , |
a j |
- |
номер |
замера |
в |
с е |
|||||||
рии, заносятся в соответстуюцие |
|
клетки |
таблицы |
8 . 1 . На |
о с - |
||||||||
- 1 9 9 -
нсвашш этих данных с помощью формул (8 . 1) и (8 . 2) вычис
ляются |
средние |
по строкам у , |
ь = 1 » 2 , . . , , ж., и общее |
среднее |
Ц . |
|
|
2 . Производится вычисление |
сумм квадратов & 0 , |
||
Q^c помощью удобных расчетных формул |
|||
_ |
<"**. я |
. т . п . |
.т.п. |
Сет формулы получены из исходных с помощью следующего'
преобразования:
Еаметим, что с помощью замены переменных1' |
|
|
* |
г - л |
(8.15) |
где Щ |
- блиЕайшее к общему среднему целое |
значение, со |
отношения |
(8.12) - (8.14) приобретают особенно простой вид, |
|||
так |
как в |
этом случае |
^ |
_ |
х ^ |
Очевидно, что при переходе от |
переменных t^j к перемен- |
||
нш |
у.* величины с у ш квадратов |
Q Q , О^и О^не |
изменятся. |
|