книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

аналогична. С ростом числа факторов

увеличивается дробность

I реплик и усложняется система смешивания. Табл.1.6

г л -

дюстрирует рост

дробности реплик с

увеличением числа

фак­

торов до 1 5 . Можно рассматривать и построение

дробных

пла­

нов для числа факторов

от 16 до "31 (при

этом

необходимо

ставить 32 опыта) и т.д. Однако для

решения столь СЛОЕНЫХ

задач рекомендуется применять методы отбора факторов,

на­

пример метод случайного

баланса. Эти метода мы рассмотрел

ниже в глав*; У.

§ 1 - 7 . С и м п л е к с н ы е

п л а н ы

$йргда для исследователя представляет интерес получе­

ние линейного уравнения по планам, содержащим ашшцу?.*

т о ­

чек (количество точек равно числу коэффициентов). Такие .

планы называют

н а с ы щ е н : н и м и .

Дадим сейчас

г е о -

мет^ическуи интерпретацию насыщенным ортогональный планам

первого порядка.

Пусть ft, обозначает матрицу, задающую координаты

экс­

риментов

=

+ I . Соответствующая матрица независишх

переменных X

имеет вид X — J I M

(где I - столбец

из еди­

ниц, присоединекннй к матрице

)

и удовлетворяет

уравне-

i f " Х Т Х - Е ,

(1 . 8)

где Е -

единичная матрица, а

индекс „ т " означает

1ранс-

понироьаний.^

в верш!;аах

- £)-ыгрного правильного оишлексц, с г к -

п л е к с о м

называется выпуклая фигура в многомерном

пространстве,

число вершин которое превышает размерное?;

стему

векторов.

Обозначим С-у» строку

матрицы

X

чере?. 2 * .

тогда

скалярное

произведение,

'

+

* ,

:' С,

если

и я

• ,

( I * ,

х * . | -

-

; X .

есл7

\, =

- .

Обозначим

и -ув

строку

матрицы

?- через

х *

,

а угол иея-

ду векторам,

соединяющими I -о

и j -в

экспериментальна? ТО­

ЧКЕ с яа*алом координат, обозначим через

О и

. Так как [мат­

рицы

X

и

Я/

связаны зависимостью

X

=|IIR.II

, то

скаляг-

ныз произведения

соответствующих

строк

матрип

X

Е г-

связаны

соотнсшекиямЕ

ч х 1 » * j /

' ~ v х г i * i -

для всех Л

,

j . Отсюда следует,

чте

/

+

i'

-

I »

если

ь /

'• ,

L

J

- \ Х -

I ,

если-

o

=

i .

Скалярный квадрат ( X *

, X * )

представляет собой

квадрат

расстояния

l

-ой

экспериментальной точки от начала коот—

динат

и равен Jf-1,

чте

есть

величина постоянная,

Зрг

- 4 2

-

•j = •' скалярное

произведение

раскрывается по ••Формуле

; х * ,

x 7 ) - ( J M c o * 8 : i

и равно

-Г.

Отсюда вытекает,'

что

COS

С;

1

3

для зсех

I

и i ,

I

£

j , т . е .

токе

является постоянной

ве-

личиной.

Следовательно,

ортогональный 'план первого порядка

с

числом точек J f = К + I

образован верпп?нзш правильного

(Jf - I)-мерного

симплекса. Назовем

такпз планы с и м п ­

л е к с н ы м и

п л а н а м и .

3 § 3-2 мы убедигея,

Рассмотрим два

примера. Пусть Я = 2 . Маздо проверить,-

что матрица

4

-'/з а

.а

t

V3" а

а

f

0

- г а

ющей условиям ( 1 - 3 . I )

- ( 1 - 3 . 3 ) , т . е . сна удовлетворяет

матричному уравнению

ССТХ= Е . Ирг

этот.: ь^трикз R/,

эа -

дающая собственно плаяированге

- V F a

a J

a

a I

I0

- z a l

определяет вершины 1,2,3 равностороннего треугольника

(см.

р и с . 1 . 3 ) .

,

-

Рис.1.4

З А Д А Ч И

х )

I . I .

Пусть процесс

определяется

четырьмя

факторами.

Основной уровень и интервал изменения выбраны следующим

збшзоьк^

^ 1

» х 1

! X s

!

'3

30

1.5

15

Интервал

изменения . . .

. 2

10

-L

10

Запашите -в кодированном масштабе

условия следующего

опыта: 2с, = 2*,0;

х 2

= 2 0 ;

X j = 1,25;

2 4 = 1 5 .

I . 2 .

Пусть

необходимо выбрать патурешшку 2 4 " " 1 . Ка­

кие

полуреплики,

по вашему

?лнению, обладаютбольшей раз-

х )

См.также

задачи н

главе

П S № 2 . 3 ; . 2 . 4 .

-

4 5 -

решающей

способностью?

Полурошыки,

заданные

определяющими

контрастами

1 - x , * l x J

х 4

,

1 = - х , х г х 4 х ^ ,

или полуреплики,

заданные

генерирующими

соотношениями

х,,—

х ,

х 2

,

х 4 - . - , г , х г .

1 . 3 . Перечислите

все

возмокные

варианты выбора

пла­

на

2 5 " 1 .

I .

4 .

Пусть

имеются

три-четверть-реплики, заданные

следующими генерирующими

соотношениями:

1)

ССц — — X t X j

>

^5

= ~ х , Х^Х^ ',

2) Х± - - X, X j . ,

X j = х , х г xi

*,

3) х „ =

i , х 5

,

x f

=

х , х г 1 ь

Какую из

| реплик

следует

избрать для дополнения ~ реп­

лики,

заданной определяющими контрастами

I

= х 1

х . и-и

к

I

=

х,хггъх5?

I .

Пусть

вы построили

полурешшку

2^"'*'

с

опреде­

ляющим

контрастом

I

=

x , i a

X j * i ,

f можно ли

оценить

независимо коэффициенты' б 1 а

и

?

5-3

I .

6.

Составьте

четверть-решшку

2

, приравняв

х 4 = г 2 з о 3 и

X j i c c , ! ^

Определите

для

этой

реплики

обобщающий определяющий

контраст. Запишите систему смеши-

ьанля

эффектов.

-•

.1

К О М М Е Н Т А Р И И -

Вопросы,

рассмотренные

в настоящей главе, получили

достаточно, полное

освещение

в литературе. Детальное об-

и Н.А.Черновой [ 2 5 } , Ф.С.Новика [ 2 7 ] , Л.П.Рузииова [32] ,

Ч.Хикса [ 4 0 ] , Д.Финни [ 3 8 ] . Желавшим познакомиться

с

не-

регулярными дробными репликами мо;шс порекомендовать

ста­

тью З.Г.Горского и В.З.Бродского [ Ю ] . Основч симплекс

-

§ 2 - 1 . В ы ч и с л е н и е

к - о э ф ф г ц и е в -

i о в

р е г р е с с и и

ранстве при

планировании эксперимента.

Пусть у

нао имеется

результатов

наблюдений над ве ­

личиной ^ ,

зависящей

от к

независимых

переменных (факто­

ров) X , , о с г , . . . , х^ .

Положим, что результаты наблюдений

лиз:*-

:

IV

Результаты наблюдений ^ , ^ - • • • » ^ представля­

наблюдения над

величиной

'^,/прз

некотором определенном

•наборе

значение

x , u

, х г и > . . . »

х ^ ,

то

получил

дисперсию

<DZ(J \,

которая

не

будет

отличаться

от

дисперсии

6г /цД,

значьчий независимых переменных

й ^ , г 2 ,

3 . Независимые переменные х 1

, x z , . . . , х^изг.теряютгя.

ределении ц,.

-'

4 . Переменные

х , , х г , . . . , х^должны быть линейно не ­

чтобы перейти от у к новой случайной величине z

= j {ij),

распределенной приближенно нормально. Например,

многие

нормальным законом,

перейдя от случайной величины \j к слу­

чайной величине г =

I K I J .

Если, в

этом случае удается найти фуякгцюнаяьную зависимость

б г

- %р (i^), то оказывается возможным предложить