книги из ГПНТБ / Кориков А.М. Математические методы планирования эксперимента учеб. пособие

Минимум функции

(6 . 17)

найдем, приравнивая нулю частные про-

изводнке

от этой

квадратичной"формы,

взятые по переменный

j b * ,

|Ь*

. Легко видеть, что последнее из нор­

мальных уравнений для оценки параметров

J5* ,

1 - 1,2, ... , К,

будет таким

1=1

i " 1

Отсюда

£ К( ^ 0

4 i

t - t

и, следовательно,

дисперсия параметра

jb£

(а

значит и

fa

)

будет зависеть от координат точек

плана следующим обравом:

Пз определения функции

^ £

( £

)

я условия её ортогональ­

ности функциям f j ( x )

(

j <к

)

(си.формулн (6.13) г

(6.14)

следует,

что

(6.19)

а значит,

чтобы минимизировать дисперсию коэффициента

fa

,

нужно i-эксимизировать

правую часть

уравнения (6 . 19) . Таким

- п г -

С

J " 1

( 6 . 2 0 )

max

min. J[|K (x) - £

c, ft (S)]2 | (dx) .

Обратим внимание на то, что задача построения оптимально­

го

плана

*

совпадает

о задачей нахоздения оптимальной стра-

тегии в

следующей игре двух лиц с нулевой суммой:

Пусть множество X

будет

пространством чистых

стратегий

игрока I

^ пространство

о в

{ с , , сг,...,

с -

п

р

о с т -

р а н о т в о

ч и с т ы х

с т р а т е г и й

и г р о к а П,

а

функция

j

-

t

-

функция выигрыша.

Обозначим через

множество всех непрерывных

планов,

оно будет пространством смешанных стратегий игрока I . Функция

выигрыша ОС (

х ,

t

)

выпукла

по "с

; из

теории

игр

известно,

что в этом случае

существует

оптимальная

чистая

стратегия иг-

рока П.

4

Ъ

Итак, можно сформулировать следующую задачу теории игр:

найти такие стратегии

и

с

, что

*

км

к-1

т е х

m i n . J

[

j K (

x

)

- j ^

Cj £

(x)J

^ ( d x ) .

§ 6 - 5 . К р а т к и й

о б з о р

р а б о т

п о *2$ -оп-

т и м а л ь н ы м

п л а н а м

При изложении §§ 6 . 1 -

6 . 4 , мы использовали

обзор Т.И.Го-

ликогой и Н.Г.7Лшсешиной

[ в ]

, а так же работу [l7J

. Методика

построения S i -оптимальных

планов и каталог

таких планов

есть

в работе И.Н.Вучкова и Г.К.Круга [7]

. Здесь

мн приведем

крат­

кий обзор работ по с 2). -оптимальным планам, следуя

разделу

пос­

вященному

этим планам,

написанному Т.И.Голиковой

в книге ~[з2] .

Если

рассматривать

класс непрерывных планов,

то справедли­

ва следующая

т е о р е м а :

План

-оптимален тогда и только

тогда, когда

он G - оп­

тимален , и тогда и только тогда, когда

приведенное

к одному

статье

J47] . Сформулированная теорема значительно облегчает

задачу

построения непрерывных ^

-оптимальных планов. В рабо­

тах [ 4 5 , 4 6 , 4 8 , 50 ] непрерывные ^ -оптимальные планы постро­

ены для

полиномиальной регрессии при ограничениях на отрезке ;

для полиномиальной регрессии первого и второго порядка при

ограничениях на гиперкубе и К

-мерном шаре ; для тригонометри­

asffis^sw, в ? т « ю заранее яеиззестен. Поэтому чаете

приходит­

ся ©жчаишювтыу! членами разложения, Функции в ряд

ТеДлора,

нмевщвш 'невысокие степени. В связи с этим особое

значение

бой

к -мерный параллелепипед. Изменением масштаба (кодирова-

ние)

его можно свести к гиперкубу

не во

всей

области возможного изменения переменных, а в выб­

ранной для

эксперимента некоторой

её части. В этом случае об­

ласть

планирования можно задавать в виде шара

* 1 ~г

г

' -

- n

s -

- о к т а л ь н ы е планы первого

порядка при ограничениях на

кубе мокко задать в ввде полного

факторного эксперимента 2 * " .

& -оптагдальнкки планами

первого

порядка являются также неко­

торые дробные регулярные

реплики полного факторного экспери­

симплексов доляно

принадлежать множеству вершин куба. Такие

планы построены для

числа факторов Я. , удовлетворяющего у с ­

ловию: К + I

кратно

четырем

[25] .

Планы первого

порядка,

-оптимадьннв при ограничениях

ка кубе, также

-оптимальны на шаре, в который вшвоан этот./

одинаково.

-то­

плены первого порядка-оптимальные

на кубе и шаре, я в ­

ляется в то ке

время ортогональными и ротатабелыпгаж.

Непрерывные

&

-оптимальные планы для регрессии второго

порядка при ограничениях на кубе построены в работах Кифера

[48] и Коно [ s o ] .

Плака Кифера для к§ 5-содержат

точки,

расположенные в вер­

шинах куба, средних

ребер и центрах

его двумерных граней. Пла­

ны

Коно [49] для меньшего числа точек (

к ^ 9) содержат вер­

шит

куба, середины ребер и центральную точку. Доля наблюдений,-

приходящаяся ка каздое из множеств точек данного вида (nv ),

приводится в табл. 61{Плана Кифера)

и в табл. 6 . 2 (планы'Коно).

Число

I

яины iro =

2*- j

середины ребер )

центры двуызр-

i

j

граней

к

• i

!

0,6666

[

0,3333

j

0,0

2

i

0,5832

0,3206

i

0,С962

3

!

0,5758

0,2274

!

0,1968

4

i

0,5928

0,1228

!

0,2844

5

!

0,6170

j

0,02548

•

0,3580

Таблица

6.2

-оптимальные

планы на ку*е, полученнсе

Коно

Число

Г

Доля наблюдений

для множества точек

на кус\,-

факте—

т

-

•

~*

середины

ребер

ров

центр

вершины

к*

1

т = 2. К.

ж = к- 2

I

0,3333

0,6666

0 , 0

2

0,09619

0,5832

0,3206

3

0,06547

0,5X03

0,4242

4

0,04738

0-,4506

0,5021

5

0,03675

0,4021

0,5622

6

0,02710

0.3G23

0,6097

7

0.02160

0,3297

0,6786

Несимметричные планы (НП) содержат насаждения в некоторых

точках,

входящих в Э

-оптимальный план. Кроме

того, заслужи-

-

П Й -

нн. Доля наблюдений, равная

1

Ъ.

,

значения дисперсии для

-оптимальных планов только вблизи

границы области.

§ 7 - 1 . П о с т а н о в к а

з а д а ч и

I . Функция

у « у

(*,,

х г

, х

к ; 0,, 8t ,..., B j - y f o S )

известна, требуется определить или уточнить неизвестные

параметры

Вл

, 8г ,

. . . ,

6^.