книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие
.pdfМИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАЗАХСКОЙ ССР
КАЗАХСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
'имени В.И.ЛЕНИНА
В.М. ТОВАР
МА Т Е М А Т И Ч Е С К ОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
Учебно-методическим Советом рекомендовано в качестве учебного пособия для студентов всех эконо-. мических специальностей.
4ЛМА-ЛТА - 1973
Гос. Pj':') 'ч-л.я |
|
|||
к ѵчно-•..fi |
; |
!• |
кая |
— e t - |
С \У::Ч»7С: I ; |
|
'.": |
CP |
|
: |
;./:P |
|
||
4HTÄji..-,,OfO |
ЗАЛА |
|
В В Е Д Е Н И Е
Раздел математики, разрабатывающий іаорию и численные ме-
юды решения 11 -мерных экстремальных задач с ограничениями, то есть задач на оіыскание экстремума функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных, получил название "МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ".
Съое название математическое программирование получило от входящего в него линейного программирования, первые наследова
на по которому (основные задачи и приложения, критерий опти мальности, геометрическая интерпретация, нѳюды нахождения оп
тимального решения и экономическая трактовка.результатов мате матического анализа) были проведены в 30-е годы профессором Ленинградского университета Л.Б.Канторовичем.
Сам іермян "линейное программирование" появился в 1951 году а работах американских математиков Дж.Данцига и Т.Купмѳса.
Возникновение и развитие математического |
программирования |
ч |
|
связано с потребностями в нем в экономических |
исследованиях. |
В решениях ХХІУ съезда КПСС указывается |
на необходимость |
широкого применения экономико-математических методов и совре менной вычислительной техники в планировании и управлении на родным хозяйством.
Математические методы и, в частности, математическое про граммирование находят все большее применение в экономической работе. Главное внимание экономистов должно быть направлено на использование материальных, трудовых и финансовых ресурсов, природных богатств с наибольшим экономическим эффектом, на устранение всех ненужных затрат и потерь.
-k -
Вполне понятно, чго к достижению одной и той se цели, при наличии определенных ресурсен, можно идти различными путями. До применения эконсмико-математических методов наиболее рацио нальный из путей оо'ычно выбирался или на основе опыта, или, а лучшем случае, при помощи сравнения нескольких .вариантов. При этом выбранный .вариант зачастую являлся далеко не наилучшим.
К.Маркс говорил, что наука только тогда достигает совер шенства, когда ей удается пользоваться математикой. Широкое раз витие экономической жизни общества и экономической науки вызва ло, в слою очередь, и появление новых методов в математике, с
ПОМОІІІЫО которых можно решать многие проблемы, поставленные эко номикой.
ьксноыикс-ыатекатические методы и электронно-вычислитель ная техника позволяют выбрать наиболее рациональный (оптималь ный) план эффективного использования ресурсов в зависимости от поставленной цели (критерия оптимальности).
Математическое программирование занимается исследованием задач, в которых из множества возможных решений требуется выб рать наилучшее или, иначе говоря, оптимальное.
Программированием эта отрасль математики называется потому, что она дает в каждом конкретном случае "программу действий" для получения оптимального решения или, иначе говоря, оптимального плана. Поэтому эту отрасль часто также называют "математичес- • ким планированием", оптимальным планированием" или "оптималь ным программированием".
Знание методов математического программирования поможет экономистам вскрывать внутренние резервы производства и эконо мить ірудоьые, материальные и денежные ресурсы, так как опт.ими-
- 5 - мизапия плановых решений к внедрение их Е производство созда
ют условия для получения экономил как при дополнительных ЕЛО - жениях, так и за счет наилучшего использования имеющихся ресурсов.
Настоящий курс по математическому программированию сос тавлен на основе лекций, прочитанных автором Е течение послед них десяти лет .для студэнтоЕ экономических и инженерно-эконо мических специальностей различных форм обучения Алма-Атинско- го института народного хозяйства.
Для облегчения понимания существа некоторых положений в книге опущены некоторые подробные и громоздкие математические доказательства. Рассмотрение всех тем сопровождается конкрет ными числовыми примерами. В конце многих тем приводятся упр?жкония, которые рекомендуются выполнить читателю для закрепления теоретического материала и Еыработки необ ходимых практических навкков.
Данное издание рекомендуется для студентов экономи ческих м инкенерно-экоіюмичоских специальностей ЕНСШИХ
учебных заведений," а такие и для самостоятельного изучения основ математического программирования.
Аетор Быралает сбою признательность заведующему кафед рой высшей математики АИНХ доценту Л.А.ЕрколаеЕу, доценту Э.И.ХмелвЕСкому и ст.преподаЕателят/. Н.М.Аноровол и Н.С.БухтияроЕОй— прочитавши!'-; рукопись данной работы и данник ряд полезных замечаний и советов. •
- 6 -
3 I . МЕТОД ІОРДАНА-ГАУССА-
Метод Іордана-Гаусса - это метод полного исключения неиз вестных, применяемый при решении систем линейных уранпений. Определение I .
Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:
а) перестановка местами любых двух уравнений; б) умножение обеих частей одного из уравнений на'любое неравное
нули число;
а) прибавление к обеим частям одного уравнения соотвѳтс:и ..•ювдх частей другого, умноженных на любое число.
Злеыентарныѳ преобразования переводят исходную систему урав нений в эквивалентную систему.
Определение 2.
Сисіемы уравнений называются эквивалентными, если каждое •
решение первой системы уравнений является решением второй сисіе-г
мы уравнении |
и наоборот. |
|
|
|
||
Рассмотрим |
систему линейных уравнений: |
|||||
[ а І І х І + |
а І 2 х 2 + |
а І З х З + |
••• + |
а і п x n = |
-"і ' |
|
а 2 І х І + |
а 22х 2 + |
а 23х 3 + |
• + |
а 2Пх,1 = |
*2 |
|
( I . I ) |
а32*2 + |
а 33х 3 4 |
. т |
аЗП Х П = *3 |
||
J a 3 I x I + |
||||||
З п і х і + |
аа&г |
* а п З х з + |
••• + |
а и п х п |
*п * |
Для определенности предположим, что a-^j- ф о, так ка. в про тивном случае мы можем среди коэффициентов при Xj а 2 і > а з і ' " ^ i наши хотя бы один,неравный нулю, и это уравнение записать первым.
|
|
|
|
- 7 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
Разделил первое |
уравнение системы |
(І . І ) на а-рпслучим: |
||||||||
(1.2) |
х- + a'I 2 x2 |
+ a j 3 x 3 + |
. . . + aj n x |
» |
n'j |
, |
|
|
|
||
|
|
a-L |
и |
в'т |
jst |
|
|
|
• |
i = 1,2, ... , il- |
|
где |
aft |
ч |
= _ ± _ , при этом |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
а П |
|
|
а П |
|
|
|
|
|
|
|
Далее преобразуем сисіѳму ( І . І ) , |
исключая |
неизвестную xj из |
||||||||
всех |
уравнений, |
кроме |
первого. Для этого обе части уравнѳния(1.2) |
||||||||
умножим на (- |
) и |
сложим с соответствующими |
частями |
второго |
|||||||
уравнения, |
затем |
обе части |
уравнения |
(1.2) |
умножим на (- а-^) и |
||||||
сложим с соответствующими частями третьего |
уравнения и т . д . |
||||||||||
|
Исключив неизвестную х- из всех |
уравнений |
системы |
( І . І ) , |
кроме первого, получим систему (1.3), эквивалентную исходной сис теме:
Х І + а І 2 х 2 + |
а І З х З + |
+ а І і Г х п |
а 2 2 х 2 |
+ а ^ з + |
|
( Ï . 3 )
где
а 32Х 2 + |
ff33x3 |
||
а П2х 2 + |
а І73х З |
||
а'22 = а£2 " а 2 І |
* а |
І 2 |
|
' I I |
|
|
|
а ПІ • a IÏ) |
и |
||
_ _ _ _ _ _ _ |
|
+ |
+ a 3 f 1 хп |
= в 3 , |
|
+ |
+ |
аПЛ Х П = |
а'п |
|
a 23 = |
a23> |
J 2I * a I 3 |
|
|
||
|
|
|
' I I |
_ 2 |
= в |
*2I |
* * I |
2 |
|
ä I I
a 3 I |
* »I |
^ ______ |
B 3 - B 3 - |
|
|
ä |
I I |
|
Разделим теперь второе уравнение системы (1.3) на а ^ , полагая его неравным нулю:
|
x 2 |
+ |
323х з |
+ |
|
.. + a2ЛА П |
|
|
|
|
|
|||
|
Преобразуем |
теперь |
систему |
(1.3), исключил неизвестную |
т |
|||||||||
всех |
уравнений, кроме |
второго. |
Для этого |
умножим обе части |
урав |
|||||||||
нения |
(1.4) |
на ( - а ^ и |
сложим с |
соответствующими частями |
первого |
|||||||||
уравнения, |
затем |
умножим (1.4) |
на ( - а^ ) и сложим с соответствую |
|||||||||||
щими частями третьего уравнения и т.д. |
|
|
|
|
|
|||||||||
исключив |
неизвестную |
из всех |
уравнений |
системы |
(1.3),кроме |
|||||||||
второго, получим |
систему |
|
(1.5), |
эквивалентную |
исходной |
системе: |
||||||||
|
|
Х І |
+ |
а І З х З |
+ ... + а ІЛ х |
n = |
|
|
|
|
|
|||
(1.5) |
|
xz |
+ |
а 23х 3 |
+ ... + а2П х |
Л = а2 |
» |
|
|
|
||||
|
< |
|
+ а33х3 + ... |
аЗП х |
il = |
ч |
|
|
|
|
||||
|
|
|
в 3 |
, |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
а ЛЗх З + ... + а/1Л Х П = |
•г- |
|
|
|
||||||
|
Условимся не записывать в яваом-виде выражения новых коэффи |
|||||||||||||
циентов а^ ив-* ( |
1= 1,2,.. |
.m |
и |
У = |
І і 2 , . . . , П ' ) |
через |
||||||||
коэффициенты системы (І . І ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Разделив |
третье уравнение |
системы (І,Ь) на äj-j, считая его |
||||||||||||
неравным нулю, исключим х^ аналогичным образом из всех |
уравнений |
системы (1.5), кроме третьего. Продолжая последовательно исключе
ние |
неизвестных |
х^ из всех уравнений, кроме четвертого, х^ из |
|
всех |
уравнений, |
кроме |
пятого, и т . д . , придем к системе ( І . ь ) , эк |
вивалентной исходной |
системе (І . І ) |
||
(І.ь) |
|
= вА") |
|
|
— В£ , |
= h3W ,
= в!») .
а
Как иидно, система (І.ь) |
представляет |
ссоой решение исход |
||
ной системы линейных ураон«ві*« |
( I . D |
|
|
|
іѵіожет случиться, ч\; |
'.ік |
выполнении |
элементарных преобразо |
|
ваний над системой ' І . І ) |
в ліийаалентной |
ей |
системе появится |
уравнение, лее коэффициенты левой части которого раины нулю. При этом монет встретиться два случая:,,
а) если и свободный член этого уравнения равен нулю, то оно удовлетворяется при любых значениях неизвестных, и поэтому, от брасывая это уравнение, получим систему, эквивалентную исходной системе;
б) если свободный член этого уравнения отличен от нуля, то
оно не удовлетворяется ни при каких |
значениях неизвестных, а по |
||||||||
этому полученная |
система |
уравнений, |
тан ае как и исходная систе |
||||||
ма, будут |
несовместными. |
|
|
|
|
||||
Пример I . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решить систему |
линейных |
уравнений: |
|||||||
( І . Г ) |
I х і |
+ |
2X2 |
~ |
5 х 3 |
= |
* |
' |
|
< 2Xj |
- |
х 2 |
- |
х 3 |
= |
I , |
|
||
, |
J 2Xj |
+ |
х 2 |
- |
|
х 3 |
= |
7 . |
|
Решение.
Исключим неизвестную'Xj из .второго и третьего уравнений. Для этого умножим обе части первого уравнения иа (-2) и сложим
с соответствующими частями сначала второго,затем третьего уравне ний:
(121 { Xj + |
2 х 2 |
- |
Зх3 |
= |
Ч,- |
- |
5х 2 |
+ 7х3 |
= |
-7, |
|
- |
З х 2 |
+ |
5>х5 |
в |
- I . |
2-ЛЮ |
|
|
|
|
|