книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие
.pdf№9. |
Найти минимум функции |
цели |
|
|
|||||||
|
( і ; |
L |
(X ) |
= |
|
2Xj + |
ixz |
|
|
||
|
при следующих |
|
ограничениях: |
|
|
||||||
|
|
2Xj |
- |
|
х 2 |
|
О, |
|
|
||
|
(2) |
< |
X I |
+ |
|
х |
2 |
. |
15, |
|
|
|
H |
- |
2 |
х |
2 |
і |
6. |
|
|
||
|
|
|
Х І |
- |
2 |
х |
2 |
=. |
10, |
|
|
|
(3) |
|
|
=à |
|
0 |
|
и Х£ |
0. |
|
|
te 10. |
Найти максимум функции |
цели |
|
|
|||||||
|
|
|
L |
С X ) = 2Xj |
+ %2 |
|
|
||||
|
при выполнении ограничений задачи te 9 |
|
|||||||||
te I I . |
Б зад шах |
№ |
5, |
7 и 9 |
найти |
вторые варианты |
оптималь |
||||
|
ных решений и для каждой из |
задач составить |
выпуклое |
||||||||
|
мнокество |
оптимальных |
планов. |
|
|||||||
- 7 1 -
S 6. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ В ЛИНЕЙНОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
Определение двойственной задачи. Экономическая интерпретация двойственной задачи и ее оптимального плана (вектора оценок)
Теория двойственности является основой теории линейного про
граммирования. Общепринятой является следующая экономическая ин
терпретация |
взаимно-двойственных |
задач, |
опубликованная,например, |
||||||||
л (15); |
Основная |
задача линейного |
программирования |
может |
быть |
||||||
истолкована |
как |
следующая |
задача |
хозяйственного |
планирования. |
||||||
В хозяйстве |
имеются |
ресурсы |
B j ^ , |
|
в 1 П |
) |
которые |
можно |
|||
использовать для выпуска продукции. Надо |
определить |
объем |
произ |
||||||||
водства продукции каадого вида х^ |
, где.^, = |
1,2, |
|
|
n . |
||||||
При этом общая стоимость продукции |
(ь . І) |
должна |
быть: |
||||||||
(6.1)' |
' L |
(X ) |
= Е : с р |
X. ^ |
Т А Х |
|
|
|
|
|
|
максимальной, а расход ресурсов не должен превышать их наличия(6.2)
(Ь'2) |
Х _ |
a-- |
x f |
д |
в; |
, |
где |
j, = |
I»2, |
, а |
с |
- цена |
||
единицы |
продукции |
; |
-го вида, а- |
• |
- норма |
затрат ресурса і |
-го |
|||||||
вида на производство-единицы продукции |
-, -го вида. Коэффициенты |
|||||||||||||
a.j_ целиком |
определяются технологией производства в j, |
-той |
от |
|||||||||||
расли и поэтому называются такгіе |
|
технологическими. |
|
|
||||||||||
Все переменные |
по своему экономическому смыслу неотрицательны: |
|||||||||||||
( 6 . 3 ) |
|
х - |
л |
0 |
где |
• |
г |
|
1,2, . . . |
, n . |
|
|
||
По этим не исходным данным можно сформулировать другую эко |
||||||||||||||
номическую |
задачу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Некоторая организация решила закупить все ресурсы, которыми |
||||||||||||||
располагает |
хозяйство. |
При этом |
необходимо |
установить |
оптимальные |
|||||||||
цены, |
у. |
(І |
= |
1,2, |
|
|
m ) , |
исходя |
из |
следующих условий: |
||||
1) |
общую стоимость ресурсов покупающая организация стремит |
|
ся минимизировать; |
|
|
2) |
однако, за |
кавдый вид ресурсов хозяйству надо уплатить не |
менее той суммы, которую оно может получить при его переработке в готовую продукцию. Б противном случае хозяйству выгоднее не прода вать ресурсы, а организовать собственное производство.
Общая стоимость |
ресурсов |
(6.4) |
будет |
равна сумме парных |
про |
||||||||||||
изведений |
объемов |
В : |
на искомые |
цены |
У- |
: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.4) |
|
L ( У ) » |
И |
^і. yL |
|
—> |
тип |
|
|
|
|
||||||
По второму требованию стоимость всех |
ресурсов, идущих |
на из |
|||||||||||||||
готовление |
единицы |
продукции |
у -го вида |
будет равна: |
|
|
|||||||||||
|
|
3-г • |
Ут |
+ |
З о ' У<* |
+ . . . |
+ |
Зггу |
Ут |
» |
|
|
|
||||
|
|
ху |
|
А |
|
Су |
і~ |
|
|
|
|
J- |
|
|
|
|
|
и она должна быть не менее-сюимости |
единицы |
эток |
продукции С, то |
||||||||||||||
есть (6.5) |
Ц |
|
а^ |
^ |
с. |
, |
где у |
= |
1,2, |
п . |
|
|
|||||
По экономическому смыслу цены не могут быть отрицательны,!.е. |
|||||||||||||||||
(6.6) |
У- |
^ 0, |
где |
[ |
= 1,2, |
. . . , п ь |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проведем сравнение функции цели и систем |
ограничений первой |
||||||||||||||||
задачи |
(6.1) - (6.4) |
и второй |
(6.4) |
- |
|
(6.6) |
|
|
|
|
|||||||
1. |
Функции |
цели |
одной |
задачи |
максимизируется, |
а другой |
- |
мини |
|||||||||
мизируется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. Число переменных одной задачи равно числу |
неравенств |
другой |
|||||||||||||||
3. |
Обозначим через Am«i |
и An*™ |
|
матрицы коэффициентов |
систем |
||||||||||||
ограничений (6.2) |
и |
(6.5): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
tau |
|
|
а І 2 |
. . . a І п |
|
|
|
/ a I I a 2I ' * * a m l ' |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a I 2 |
a 22 " * |
a 'fi 2 • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a I n |
a 2 n . . . |
amn |
|
Тогда |
можно записать An<m = |
&mxn |
» 1 0 |
е С 1 ь |
матрицы коэффи |
||||||||||||
циентов системы ограничений получаются одна из другой транспониро ванием.
-73 -
4.Неравенства систем ограничений (6.2) и 6.5) имеют проти воположный смысл,а неотрицательность переменных (6.3) и (6.6) сохраняется.
5.Свободные члены системы ограничений одной задачи превра щаются в коэффициенты функции цели другой, а коэффициенты функ ции цели одной - в свободные члены системы ограничений другой задачи.
Задачи линейного программирования,обладающие указанными выше свойствами,называются язаимно-двойственными. Задачу (6.1) - (6.3) называют обычно прямой (или основной),а задачу (6.4) - (6.6) - двойственной (или сопряженной).
Счисто математической точки зрения за прямую может быть при
нята |
любая из задач |
двойственной, пары. |
|
|
|
|||
|
С экономической |
стороны решение прямой задачи дает |
оптималь |
|||||
ный план выпуска продукции, |
а решение двойственной задачи - |
опти |
||||||
мальную систему условных оценок используемых ресурсов, |
академик |
|||||||
Л.В.Канторович назвал их "объективно обусловленными оценками |
|
|||||||
(0.0.0.)". |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДВОЙСТВЕННОСТИ |
|
|
|
||||
|
Теорема I . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если одна из задач двойственной |
пары (6.1) |
г- (6.3) |
и (6.4) - |
||||
(6.6) |
имеет оптимальное |
решение, то |
и другая его |
имеет, |
причем |
|||
экстремальные значения их функции цели совпадают, то есть |
|
|||||||
|
iriüxL ( |
I ) |
= |
hiLnL(y) |
|
|
|
|
|
Для иллюстрации теоремы рассмотрим решения следующей взаим |
|||||||
но-двойственной пары задач. |
|
|
|
|
|
|||
|
Прямая задача. Производится два |
вида изделий А^и А^,ва |
изго |
|||||
товление которых надо использовать два типа технологического |
обо |
|||||||
рудования Bj и В^і на производство единицы изделия А^ оборудование
Ю-ЗПО
-74 -
Бт используется I час, а оборудование В2 - 4 часа. На производство
единицы изделия А2 оборудование Вт используется 2 часа, а оборудо вание В 2 - I час.
На изготовление изделий Ат и А2*.оборудование Bj может исполь зоваться 1С часов, а оборудование В 2 - 12 часов в сутки. Оптовая цена предприятия составляет за единицу изделия Ат - 12 рублей, за единицу изделия А2 - 10 рублей.
Нужно определить, сколько единиц изделий А-г и А2 ( х т и х 2 ) должно изготовлять предприятие, чтобы максимизировать валовый вы
пуск |
продукции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим технологическую матрицу для решения задачи (таблица |
|||||||||
(6.1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
Ь.І |
|
т |
Виды |
- т |
• - • - |
і |
|
. . . |
п |
|
- |
|
! |
|
|
Единицы |
Нормы затрат времени |
рабо - |
Располагае- |
||||
оборудования |
|
|
измере- |
МЫЙ ФОНД |
||||||
|
|
|
1 ни я |
ты оборудования |
на производ |
станочного |
||||
|
|
|
! |
|
ство единицы i изделия |
|
времени |
|||
|
|
|
|
АТ |
j |
А2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
1 |
|
|
1 |
|
I |
|
|
é |
ю |
|
! |
*т |
|
j |
станко- |
I |
j |
2 |
|
||
|
|
|
тI |
час |
|
|
|
|
- |
12 |
|
|
|
I |
станко- |
|
|
|
|
||
|
|
|
! |
час |
|
|
|
|
|
|
|0птовая цена |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i предприятия |
|
I шт |
12 |
|
|
|
•г • I Л |
|||
Іза |
единицу |
|
|
|
|
|||||
і изделия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем задачу в математической форме. |
|
|
|
||||||
|
Найти (ь . І) |
|
L (X) = |
І2хт + бх 2 |
—^ |
г?ых |
|
|
|
|
при следующих |
ограничениях: |
|
|
|
|
|
||||
(6.2) |
X. |
t |
2х2 |
Ю, |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Х£ |
+ |
Х 2 |
12. |
|
|
|
|
|
(6.3) |
U и х - |
0. |
- 75 -
Двойственная задача может быть сформулирована следующим обра
зом. |
|
|
|
|
|
|
Найти |
оценки |
одного станко-часа работы |
групп |
оборудования |
||
B j , |
( y j |
и У 2 ) , |
если |
стоимость фонда станочного |
времени,необхо |
|
димого |
на |
изготовление |
единицы продукции Aj |
и А2 > |
которое нужно |
|
минимизировать, должна быть не меньше оптовой цены единицы про
дукции. Данные |
о задаче |
приведены в |
таблице |
(Ь.І) |
|
Запишем двойственную задачу в математической ферме. |
|||||
Найти |
(6.4) |
L |
(У) = І 0 у і |
+ І 2 у 2 |
nun |
при следующих ограничениях: |
|
|
|||
(6.5) |
Ух |
+4У2 |
^ 12, |
|
|
|
2yj |
+ У2 |
6, |
|
|
(6.6) У-j- ^ О и У2 =І О.
В таблицах (6.2) и (6.3) приведено решение соответственно прямой и двойственной задач.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
|
6,2 |
1 |
1 |
|
|
|
г |
|
1 |
|
I |
|
|
|
Базисные'Свобод- |
|
х |
|
|
х з |
і |
х 4 |
1 |
с к с |
j |
9 |
|
перемен-іные |
|
|
|
|
||||||||
ные |
ічлены |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
I |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
*3 |
|
|
I |
2 |
i |
j |
о |
! |
14 |
1 |
10 |
|
|
|
|
j |
0 |
! |
|
j |
|
||||
|
|
|
© t |
i |
! |
i |
! |
18 |
j |
3 |
||
L (X) |
0 |
|
> |
- |
0 |
|
0 |
|
-18 |
|
- |
|
j |
s—1 |
! |
|
|
|
|||||||
|
7 |
- I 2 ' |
|
i |
|
|
|
|
|
|
||
|
! |
-er |
( Ш |
|
i |
-0,25 |
I |
9 ) 5 |
|
4 |
||
-Лі |
3 |
|
i |
L 0,251 |
|
|
0,25 |
|
12 |
|||
|
о |
|
|
|
||||||||
L(X) |
36 |
|
0 |
• u |
|
о |
|
3 |
|
36 |
|
- |
— x 2 |
4 |
|
о |
I |
|
4/7 |
|
-1/7 |
5 |
3/7 |
|
|
4 |
2 |
|
I |
0 |
-1/7 |
|
2/7 |
Ъ1/! |
|
|
||
L ( » |
48 |
|
0 |
0 |
I 5 / ? 2 V ? |
52 2 /7 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
6.3 |
|
|
|||
Базис |
Свобод |
|
|
|
J 2 |
|
y |
|
J 4 |
|
CKC |
|
Ѳ |
|
|||
ные |
пере |
ные |
|
|
|
|
J 3 |
|
|
|
|
||||||
менные |
члены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
r |
|
|
0 |
|
|
16 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- I |
i |
|
|
|
|
||||
Hz |
|
|
|
|
|
I |
, |
о |
- I |
|
|
8 |
|
6 |
• |
||
L |
(У) |
|
І8м |
ЗМ-ІО |
5М-І21 - |
-M |
|
-M |
24M-22 |
|
_ |
- |
|||||
|
3 |
|
|
|
I |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
- |
|||
- |
h |
|
0,25 |
|
|
-0,25 |
|
|
|
|
12 |
||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
0,25 |
- I |
|
|
|
|
|
|
|||
« - |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
||||
L |
(У ) |
ЗМ+36 j'l,75M-7 |
° |
|
0.25H-: -M |
4M+26 |
|
|
|||||||||
|
У ? |
'г |
V |
|
|
|
|
|
- 2 / 7 |
X /7 |
3 3 / 7 |
|
|
|
|||
- |
|
I |
|
I |
|
|
С |
|
|
|
|
2 |
2 / 7 |
|
|
|
|
|
|
5 /7 |
|
|
|
1/7 |
|
|
|
|
|||||||
L |
(y) ; |
|
48 ; |
° |
|
1 |
|
|
-2 |
|
1 |
42 |
|
|
|
|
|
|
Из эіих таблиц видно, что |
WnxL(X) = |
mi.nL (У) |
- |
48. |
|
|
||||||||||
|
Установим сопряженные при переменных прямой и двойственной |
|
|||||||||||||||
задач. При решении в исходную систему |
ограничений |
прямой задачи |
|
||||||||||||||
были введены дополнительные |
переменные х^ и х^, |
а двойственной |
|
||||||||||||||
задачи - |
( - у 3 ) и ( - у^) . |
Запишем |
теперь переменные х^и у^в виде |
|
|||||||||||||
двух |
строк. В первом ряду располагаем |
переменные х^ |
.начиная |
с |
|
||||||||||||
дополнительнас (они же базисные), |
а затем |
основные |
(свободные) |
|
|||||||||||||
переменные. Под ними в порядке |
номеров |
располагаем |
переменные у- . |
||||||||||||||
|
|
|
х 3 |
' *4 |
' |
|
х 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уj |
» У2 |
' |
У3' У4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, найдены |
сопряженные пары |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
( | х з | , |
І У І ! ) , |
( |
|
i , | У 2 |
I) , ( i x j ; , ; У 3 |
i ) и ( jx2 i, |
jy4 i) |
||||||||||
|
Из сравнения |
таблиц |
(6.2) и (6.3) |
видно,что |
для анализа до |
|
|||||||||||
статочно решения одной из взаимно-двойственных задач. Оптимальный план прямой задачи дает обвем производства изделий вида Лт и А,
- 77 -
соответственно в количестве двух и четырех единиц. Оптимальный план двойственной задачи показывает оценки ресурсов,в данном
случае |
оценки |
станко-часов работы оборудования Bj |
и В 2 , |
соответ |
|||||
ственно |
I-*/? и |
2V7 |
руб. Однако,используя эквивалентность сопря |
||||||
женных |
пар,мы |
можем найти значения оценок ресурсов и в таблице |
|||||||
(6.2) |
в |
индексной строке столбцов свободных переменных соответ |
|||||||
ственно |
х^ и х^. Анализ таблицы (6.3) |
позволяет найти и |
оптималь |
||||||
ный план производства продукции также в |
индексной |
строке в столб |
|||||||
цах свободных |
переменных соответственно |
У^ и У^. |
|
|
|||||
Следствие.I. |
|
|
|
|
|
|
|||
Для |
разрешимости одной |
из задач |
двойственной |
пары |
(Ь . І) - (б . З) |
||||
и (6Л) |
- (6.6) необходимо |
и достаточно, |
чтобы каждая из этих з а |
||||||
дач имела хотя бы один план. |
|
|
|
|
|||||
Следствие |
2- |
|
|
|
|
|
|
||
Для |
iDro, |
чтобы |
одна из задач двойственной пары ияела планы, |
||||||
а множество планов другой задачи было пусто, необходима и доста
точна неограниченность |
функции цели |
первой задачи |
на |
множестве |
|||||||
ее |
планов. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для оптимальности |
планов X* |
( х р х | , |
. . . |
, х* |
) |
и |
||||
У* |
(У? У?, |
|
У*, |
) |
задач (6.1) |
- |
(6.3) |
и (ЬЛ) |
- |
(6.6) соот- |
|
ветстьенно |
необходимо |
и достаточно |
выполнения |
равенства |
|||||||
|
~ |
|
С |
X* |
= У 2 1 В . |
|
у: * |
|
|
|
|
|
При исследовании |
задач двойственной пары можно встретиться |
|||||||||
с |
одним из |
трех |
взаимно исключающих друг |
друга случаев. |
|||||||
1)Обе задачи имеют планы;
2)планы имеются только у одной задачи;
3)для каждой задачи двойственной пары множество планов пусто.
На каждый из этих случаев приведены примеры.
|
|
|
|
|
|
78 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
I . |
|
|
|
|
|
Прямая |
задача |
|
|
Двойственная |
задача |
|||||
[ |
Xj |
t |
2х 2 |
^ |
10, |
|
У І |
т |
Ѵ2 |
— |
12, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
J4 |
Xj |
т |
х 2 |
s |
12, |
|
2Ут |
+ |
у. |
^ |
6, |
|
Xj |
^ |
0 |
и х2 _х |
0 |
^ |
â |
0 |
и У2 |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
L |
( |
X ) |
= I2XJ |
+ bxz->mti* |
|
L ( |
X ) |
= 1СУІ + І2У2 - |
||
|
Каядая |
из |
этих |
задач имеет планы, |
например, |
(0,0) - допусти |
|||||
мый слан прямой задачи, а (0;Ь) - допустимый план двойственной
задачи
|
Рис. |
6.1 |
|
|
|
|
Рис.6.2 |
|
||
Координаты вершин А и а |
соответствуют |
оптимуму |
|
|||||||
|
|
|
L ( |
) = |
L |
(Уд) = |
48. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример |
2- |
|
|
|
|
|
|
Прямая |
задача |
|
|
Двойственная |
задача |
||||
*І |
- |
2 х 2 |
éz |
10, |
|
|
|
^ |
12, |
|
-kXj |
+ |
х 2 |
|
12 |
|
-2УТ |
+ У2 |
=> |
6, |
|
ï j |
s 0 и i 2 |
^ О |
|
|
О и У2 ^ |
|
||||
L ( |
X ) = |
I2XJ |
t 6x2 - 'ГПОХ |
1 |
(У) |
= ЮУт + |
І2У2 —>гліп |
|||
|
|
- |
79 - |
Вектор (0;0) |
является пганом прямой задачи, а двойственная |
||
не имеет |
ни одного плана. Так, умножая первое неравенство двой |
||
ственней |
задачи |
на два |
и складывая его со вторим* получим |
é- 4-2/7, что противоречит условию неотрипательностч пере
менной У2 ;> 0.
|
J |
// |
|
/ . I I |
I . I I I 1 1 11 i11 ч*** |
f.. |
|
' > а |
|||
/-} 0 |
1С |
Р ю . 6.3 |
Рис. 6.4 |
На рисунке (ь.З) видно, что множеством планов прямой задачи
является незамкнутый многоугольник, на котором функция цели нѳ-
ограничена. |
|
Из рисѵ-чка (6.4) |
видно, что |
множество |
планов |
двой |
||||
ственной задачи лусто. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Пример 3. |
|
|
|
|
|
|
|
Прямая |
|
задача |
Двойственная |
задача |
|
|||||
xi |
- х 2 |
|
2 , |
|
|
|
|
3, |
|
|
- X j + х 2 |
|
- 5 , |
- У-;- + У2 |
|
^ 2, |
|
|
|||
X j |
-s 0 |
и |
х 2 >. 0. |
|
0 |
и .У2 |
vj. |
О |
|
|
L |
(X) |
= |
3Xj+2x2 - müx |
L (У) |
= |
2УІ |
= |
5У2 - ^ |
™ ^ |
|