книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

-

140 -

I

Рассмотрим

случал,

когда c i параметра

зависят

только но —

эп;.п',!-:еаіы

ОУЫКЩІВ

цели.

n

На».іи

(S.IV)

L (X) = }SZ

( С ;

+ С,

t

) X: -» ma* (или min]

прк следующих ограничениях: •'

n

(?• IS) • 2 _

a ; .

х - ^ в .

,

где

i,

= 1 , 2 , . . . ,

m

,

(5.IS)

Xj

^

0

, где

j . = 1,2,...,

n

•

использование

теории двойственности

позволяет

ІІЭЫ

снести

чсследоаакйс

даі.кой

паралогричоско;. задач;;

к рассмотренному

ограничении,

го

есть

m

L

men («ли

ma л)

Ha.iï»

(?.20)

(У)

= }

. *і

у і,

прг. сле,лл.'.:•юадхюадх оггинлчеклнхогр:

(5.21)

4 _

а.^у

z

c } ' + ° j t

,

где j.

=

1,2,...,n

(9.22)

1 "'

У.

•>

0

,

где I

=

1,2,...,m

Проведя исследование задачи (9.20) - (9.22), определяем

отряженные

пары мезду X;

и У;

и находіы поведение

імраниг-

pa

t

n Для пряыои

задач;;

(9.IV) - (9.IS).

Однако

непосредственнее про с е.-.игле исследования

ирнией

задачи (9.IV) - (9.19) также представляет

ссОоп

определенный ин­

терес .

Пусть система

огра гачениѵі (З.ІЬ)

и (З . Іь)

совместна

и оп­

ределяет

ccöovi

выпуклый

многогранник

\ у п

• Коэффициенты

с.

,

с-

- а - : ;

и в -

известны и постоянны- а величина

является

переменным

параметром,

спессбиыі.: принимать

любые зна­

чения

на отрезке

f

,/31

; то есть

— /5

•>f 3 e

и

,5

- произвольные

дейстьытельные

числа.

-

m -

удовлетворяются все неравенства исследуемо»; системы.-

Обозначая

через

и Jj'

( J / ^ jj" ) граничные зна­

чения t £ [J»', j / J

.

получим

(9.2ь)

і

= max

с

- zjr_

)

I

c ' / V

>

c2 M

+ c2

M t г

О,

(S. 27)

c ; ( K )

t C }

W t j О,

Cn

+ Cn

t ^

o.

(9.28) m a x L

ç Z i

b 4 ^

m i n

/ _

ç ^ ' »

c;w*o v

t ; w /

~ L "

c ; ^ o

l

J

p

V

удовлетворяются

все неравенства исследуемой

системы.

-

143

-

Обозначая через J-

к

j ^ '

(

4. \? ) граничные значе­

ния t e (Ж, Ъ*]

• получки

(9.29)

(9.29)

j /

= т а *

С -

V

>0

» т и п

/ _

с і і * М

Следовательно, исследование системы неравенств (9.2Y) Сво­

дится

к определению

границ изменения параметра t по

ферыу-

лам (9.2S).

Таким образом, при исследовании задачи на минимум по форму­

лам (9.2е>)

и на

максимум

(пс формулш (9-29)

мы находим

границы

и

JJ' в

об neu случае

интервала изменения

параиетра

t , в

выпуклого

многогранника решений

W n

Сравниваем

полученный интервал

(

,

.J*"

) с

заданным от­

резком

, у5 ]

. Если задачу решали для

t

= L

,

то

незави­

симо от значения

JJ

левой

границей

первого

интервала

б у д е т е .

Если

> у5

, т о

весь

отрезок

попадает

внутрь интервала

(<і,' , j / )

и задача

решена

для

любого

^

<- ^ £ß

,

при этом оптимум

функции

цели

Р (X)

достигается

в одной и той же вершине.

Если

k"

с

ß

, то на

отрезке

[<^, J j ' j

функция

доли бу­

дет

иметь

оптимум в найденной вершине, а оставшийся

отрезок

ß \

требует дальнейшего

исследования.

Находим столбец,

по которому определено

значение

j j ' .пусть

—

144

-

таковым

оудет

являться

столбец S

, то есть L

= -

'

C S

( К )

при Cj-.1

>

0. Из формул

(S.20)

видно, что

£

есть

наи­

там

Ь[

(*\

И

При

t

•<£

все

неравенства

системы

(9.18)

удовлет­

воряются,

при этом

все

Д

î w

строго

отрицательны,

в том

числе

и коэффициент

. ,к)

'

£

(к)

t

- /

(к)

t

<

О.

= С

с $

При

увеличении

t

до граничного

значения

L"

будем

иметь

ч ( К )

' ( К )

- ,

( К )

Г '

( К )

C S

Итак,

Д*"^ = О» a

Другие

оценочные

коэффициенты

Л

с по-

5

~ , 0 0

дожительныыи

С •

останутся по-прежнему строго отрицательными

В столбцах

ке

с отрицательными

С-

увеличение

с

не мо-

жет

превратить

оценочные

коэффициенты

Гк)

-

„ ' ^

~„' (ѵ -\

л<^

'

С

+ С

<-

в неотрицательные

числа.

1

J-

x

Продолжаем увеличивать

| .

о При значении

t

t Ч У ' І Ь

боль­

шем

,

оценочный

коэффициент

Д^-*' сразу

становится

поло­

жительным,

при этом все остальные

оценочные

коэффициенты

Следовательно,

при

t чуть большем

JJ'

.решение,

записанное

в последней симплексной таблице, перестает отвечать признаку

оптимальности на аинимум, и для улучшения

решения

столбец §

t

содержащий пояснительный оценочный

коэффициент

ù

(

л | (

должен

быть

взят

за

ключевой.

* щ.

Если

в

g

-ком столбце

лее коэйфщиеягы

непоиог.ияел£ны,

so

генеральный

элемент

выбрать

нельзя,,

а это

ознэчае5\

что

функция

цели

яри

ѣ

>

l£

неограничена

мг следоватольньс

на

воек

145 -

оставшемся полуинтервале

(

Л

; у5

j задача решения не имеет,

этом

случае процесс исследования на этом заканчивается.

Если

среди коэффициентов S -того столбца есть положительные

оэффициеніы,

то решение

задачи продолжается. По алгоритму

метода

оследовательного

улучшения

плана

находятся ключевая строка

и ге -

еральный

элемент. Ь базис

входит

Xß

и выводится некоторая

временная

Хг

« Новый базис

определяет

оптимальное решение при

значениях

£

;

Далее процесс повторяется, отрезок

L J~,ß.] разбивается на

асти

де

J.

-

ѵѵ

и

.<

-y'"5

s в каждом из которых

определен

либо

|грезок, для которого

полученная ьершина оптимальна, либо

интѳр-

ал,

для которого

функция

цели не ограничена.

При значениях

t-

, граничных для соседних

отрезков,

то есть

J.

1»

4-

I "'

-А

/ ( П "

|ри

t

= À

,

Г = . л

,

. . . ,

Г

= . х

оптимальное ре-

атом случае

на основании второй основной теоремы линейного про-

раммирования

можно утверждать,

что это оптимальное

решение

будет

Іины.осзмгаться

и ьо всех

точках ребра, соединяющего эти смежные вер -

Пример.

Дана система

ограничений

f

2 Х І

+

2 ,2 Х 2

+ 2,мс3

+• 2х 4

4zz

ІОО,

jO.30K2.5Xj

+

Sx2

+

4х3

+ 5х^

^

150,

L

4х т

+

3 , 4 х 2

+ 4,2Х3

+ 4х 4

^

170,

I

(9.31)

х к

^

0,

где

х к = 1,2,3,4,

Для каждого

значения параметра

t £- ІЬ

;

203

найти

решение

задачи,

максимизирующее

функцию цели

(9.32) L ( X ) = (18- t

) х т

+ (18 - t ) x 2

+ (IV -

t

) х 3

t (20- t

)х^.

-

146 -

Решение.

Полное решение приведено в таблице

(9.3). Для получения

первого

базисного

решения и заполнения

первой

симплексной

таблиц

гг

системы неравенств

(9.30)

переходим

к системе

уравнений, вве­

дя

дополнительные

переменные Х^, Х6 , Ху. а каждой

симплексной

таблице для функции цели

отводим две строки, в первой из кото­

рых заносим коэффициенты

функции цели

при t

= ^

, а во второй

строке -

коэффициенты, соответствующие

L t

• Так, в первой сим­

плексной

таблице

(іабл.9.3)

в строке

|_о

записаны коэффициенты

функции

цели при і

= 0.

Решение приводится методом последовательного улучшения пла­

на. В четвертой

таблице

(табл.9.3) записано решение, соогветсну

ющее мансимуму

функции цели при Ь = 0,

то есть

(_0 (X) -

860

при Xj = 10, Х2

= 3 0

и

\

- 1 -

По

строке

[_;£ (X)

этой таблицы

находим интервал

измене­

ния параметра

1

,

при которых

значения

функции

цели

определи,

ется координатами

одной и той же вершины мяогогранника

решений,

для этого воспользуемся формулами (9.29).

Все

с ' -é 0,

поэтому

параметр

t

снизу

неограничен.

c>>o

cpo

По условию задачи исследованию подлежат значения

0^t<=Z(

Следовательно,^' = i,

s 0, а Г

= ІЗу • йри té

[ 0; I3f]

зна­

чение функции

цели будет

определяться

координатам одной и той к

вершины многогранника

решений.

Гбозначим

ее через

А(І0;30;0;7;

0#;0) .

При значении

t

чуть большем ІЗІ оценочный

коаффициент

д

^ s 4 - 0,3 t

становится

отрицательным,

при этом остальные

коэффициенты

д$

и âf

н а

начальной

стадии изменения

по-лреі

нему остаются

положительными.

(табл.9.3) получаем решение, соответствующее

максимуму

функции

цели в вершине В (25;

О;

О; 17,5;

15;

0; 0),

при

этом,

при

t =

13 j*

функция

цели

принимает

значение,

равное 233

£ •

Необходимо отметить при этом, что коэффициенты индексной

строки

при t

г ] ,

вычисляются по

строке

|_t

, путем

подста­

новки

вместо

t

соответствующего

значения

^

Вновь

пользуемся

формулами

(9.29)

1\

=

hi ах.

(

--7Г7Г }

=

із"Ѣ" '

Следовательно,

при

£іЗ

;

I6J

.оптимальное

значение

функции цели определяется координатами вершины В.

При значении

t

чуть

большем 16

оценочный

коэффициент

Д 7 = 4 - 0,25t

становится

отрицательный,

при этом

остальные

оценочные

коэффициенты

Л ^ и Л з н а

н а ч а л Ь Б ° й

мадии изменения

по-прекнему остаются положительными. В шестой

таблице (табл.9.3)

приведено

решение,

соответствующее

максимуму

функции цели в вер­

шине С (0;

0;

0;

30;

40;

0;

50)

при

І€

[

16;

20]

Итак,

в результате

решения мы выяснили,

что

при t£

(0;I3 ^ )

при té

(13 j - - ; 16)

максимум функции

цели определяется коорди­

натами вершины,В,

а

при

t £

(16; 20)

-

координатами вершины С.

При

ѣ = 13

£

максимум функции

цели находится в выпуклой

оболочке

вершины А и В,

то

есть