книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие
.pdf-100 -
матрицы тарифов (стоимостей), соответствующие занятым клеткам опор ного плана, исследуемого на оптимальность.
Можно показать, что полученная система уравнений всегда сов
местна, кроме.того, в составленной системе числа линейно-независи
мых уравнений на'одно меньше числа уравнений, следовательно, она является линейно-зависимой и имеет множество решений. Рассмотрим
какое-либо ее конкретное решение, для чего одной из оценок придади
произвольное числовое значение. Пусть, например, U, |
= |
0. |
В этом |
|
случае остальные оценки ^ И ^ , |
И и т^, У.,, |
. . . |
ѵп |
в систе |
не уравнений будут определены однозначно. |
|
|
|
|
Итак1, оценки матрицы косвенных |
стоимостей |
и Vj, |
вычисля |
|
ются только по занятым клеткам из указанного решения системы урав нений по формулам:
(8.6) И- + Tj. = CL j, ,
при чем одной из оценок в начале расчета придается произвольное
числовое значение, |
например, |
И, |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
4-. Анализируется признак оптимальности МРМ. |
|
|
|
|||||||
Если обозначить нерез |
оценку |
свободной'клетки, |
находящейся |
|||||||
на пересечении строки с номером |
і |
и |
столбца |
с номером |
, то |
|||||
аычисления производяіся по следующей формуле. |
|
|
|
|
|
|||||
(8.7;) |
Z i j , = |
( |
\ |
+ |
/ j , ) - |
й |
- |
• |
|
|
ЕСЛИ для всех |
свободных |
клеток |
оценки |
2 |
• • |
4= |
0, |
то полу- |
||
ценный опорный., план |
оптимален. |
|
В случае выполнения признака оптимальности задача решена. |
|
|
Ісли же хотя бы одна |
из оценок свободных клеток - ^ [ j , ^ |
г о |
признак оптимальности не выполняется и исходное опорное решение подлежит улучшению.
5. Для перехода к новому базисному решению находится свобод-
-101 -
ная клетка с наибольшей положительной оценкой. |
|
|
|||
Если таких |
клеток несколько, то лучше выбрать |
т;; |
лъ них, у коюроі. |
||
тариф C[j_ |
является наименьшим. Для этол клетки |
строят |
прямоуголь |
||
ный контур, |
то есть замкнутый-многоугольник, |
состояний |
из горизон |
||
тальных и вертикальных прямых отрезков, |
одной |
из |
вершин |
которого |
|
является свободная клетка, а остальные |
вершины расположены в заня- |
||||
іых клетках. Отрезки контура могут проходить через занятые клетки, которые не являются вершинами многоугольника, но в кавдоы контуре
рассматриваются только его |
вершины. |
|
|
|
|
Для перераспределения |
поставок пс анализируемому контуру в |
||||
свободную клетку записывается поставка + &, |
а в остальных |
клетках, |
|||
принадлежащих |
вершинам контура, знаки |
Ѳ |
чередуются. |
|
|
Так как в |
любом прямоугольном замкнутом |
контуре число |
вершин |
||
всегда четное, то расстановка знаков у Ь не зависит от выбора нап
равления, |
то есть |
эти |
знаки можно чередовать |
как пс часовой, так |
и против |
часовой |
стрелки. |
|
|
Вершины контура, |
в которых поставка при |
перераспределении гру |
||
зов увеличивается (+ Ь), буде^ называть положительными, а в кото
рых объ--а грузов уменьшается (- |
Ѳ) |
- отрицательными. |
Из объема поставок, которые |
в |
клетках контура с отрицательными |
вершинами, выбирается наименьшее число, тем самым определяется чис ленное значение Ь.
Поставка, равная Ö, прибавляется к поставкам, стоящий в клет ках контура с положительными вершинами, и вычитается из клеток кон тура с отрицательными вершинами.
В результате этого перераспределения находится второе опорное
решение, |
которое отличается от исходного величиной поставок в вер |
|
шинах рассматриваемого контура, а поставки, находящиеся |
в занятых |
|
клетках, |
не принадлежащих контуру, переносятся в новое |
базисное ре |
шение без изменений. |
|
|
- |
102 |
- |
|
|
|
|
Полученное решение анализируется по третьему и четвертому |
||||||
пунктам алгоритма. Процесс |
вычислении повторяется до выполнения при^ |
|||||
знака оптимальности.• |
|
|
|
|
|
|
ПРИМЕЧАНИЕ. Ъ связи с |
тем, |
что |
помимо рассматриваемой |
транс |
||
портной задачи, модифицированным распределительным методом |
можно ре |
|||||
шить и другие типы, экономических |
задач, в том числе и задачи, в ко |
|||||
торых функцию цели нужно максимизировать, |
необходимо сформулировать |
|||||
признак оптимальности при решении задач максимизации. |
|
|
||||
Оценка свободных клеток находится по формуле |
|
|
||||
Жіу= (Ч + |
Ч ) |
- C L> |
|
|
|
|
Если для всех свободных клеток |
оценки |
г& 0, |
то |
в полу- |
||
ченном опорном решении функция цели достигла максимального |
значения, |
|||||
В случае если среди оценок |
Z i j |
есть |
отрицательные, |
то |
признак |
|
максимизации функции цели не выполняется и исходное опорное решение подлежит улучшению. При этом для улучшения решения, для построения прямоугольного контура, из свободных клеток выбирается клетка с оірі цательной оценкой, наибольшей по абсолютной величине.
Остальные пункты алгоритма МРМ для случа.я максимизации применя ются без изменения.
Для пояснения алгоритма МРИ рассмотрим дальнейшее решение тран спортной задачи, для которой в таблице (8.3) получено исходное опор ное решение методом "северо-западного угла". Для этого окаймляем
таблицу (8.3) |
строкой и столбцом |
МРМ и получаем таблицу (8.4). |
|||
Переходим к третьему пункту алгоритма и вычисляем оценки матри |
|||||
цы косвенных стоимостей |
UL и |
, используя тарифы Су. только в за |
|||
нятых клетках. |
Придадим |
значение, |
равное нулю. |
Тогда по занятык |
|
клеткам составляв» следующую систему |
уравнений ( |
) : |
|||
I
I
\ B-
. Il;» 0 |
A I |
Потребность |
j |
в грузах |
j |
|
- |
103 |
- |
||
|
- •• |
|
i |
|
|
, |
= |
|
1 V 2 |
= |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
! b 2 |
|
|
|
с |
|
f |
|
|
95 |
• |
( |
t |
|
|
i |
|
|
|||
|
|
|
1120 |
|
|
|
U L | |
i |
H l 2 |
||
|
|
|
|
|
|
t lib
i
95i 120 1
|
|
|
|
Таблица |
8.4 |
||
Y 3 |
= |
\ |
= |
! |
|
V |
Налич ие |
|
грузов y |
||||||
B 3 |
|
4 |
|
1 к |
|
отправи |
|
|
|
! |
йЬ |
телей |
|||
120 |
|I2 |
|
ei"ii1 |
|
'19 |
335 |
|
|
14 |
175 |
ko |
1 |
|
I n |
270 |
|
|
|
"1 |
1 |
0 |
||
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
I B |
|
Ііз_ |
|
|
195 |
|
|
|
|
|
JI951 |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
205 |
|
175 |
|
1205 |
8 0 0 /8O0 |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Таблица 8.5
|
|
|
(ѴХ=ІІ 1 |
|
! I |
= |
° |
A i (§pL^-| |
|
и9 |
- |
г\ |
Ар ! |
1 |
|
|
! |
1 |
|
|
|
|
||
..'ft
Ѵ 2 = І5 |
jY3 = |
12 [ |
V 4 = 8 |
i |
Y5= 9 |
Наличие |
|
|
|
|
|
|
грузов |
в 2 |
1 в 3 |
j |
в 4 |
j |
в 5 |
-y потре |
бителей |
||||||
120 |
і Л 2 0 ) Ѵ |
|
i |
,|I5_ |
' 335 |
|
|
|
|
Jxo |
i |
| l l |
|
|
|
|
|
270 |
||
|
|
|
|
|
|
|
ІІ5 |
|
ІІ8 |
£ [ З І І | І 7 |
195 |
||
|
|
|
|
fl951 . ^ |
||
Потребность |
95 |
1 20 |
205 |
175 |
j |
|
в грузах |
- 205 |
8 0 Р / 8O0 |
||||
|
|
|
|
|
|
і
- 104 -
Таблица 8.6
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 8.7 |
|
|
|
|
|
|
\ = |
I I j T 2 = |
I 5| Y 3 = 12 jv 4 |
= 17J Y 5 |
= 18 |
jНаличие |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е. |
[грузов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î у |
поіре- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
j бителей |
|
и, = о |
|
! |
1С |
Щ |
Щ |
Щ |
щ |
щ |
|
|
|
î |
|
120 |
! |
205 |
|
|
|
335 |
|||
i |
|
|
|
|
|
||||||
- I |
|
! |
65 |
Щ |
till |
|
|
-8 |
j |
270 |
|
|
|
|
195 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
llZi |
|
|
|
|
i |
95 |
|
120 |
|
|
|
|
І8С0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L = |
|
І П О + I5°I20 + 12*205 + 1С 175 + 11*95 + IC8 5 |
+ |
|
|
||||||
+ |
|
17*110 = |
9885. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
И І + Y I = С.п , |
û |
yL= I I , |
^ = I I , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
= С- |
|
и + Уу. |
15 |
, |
r2 |
= |
15 |
, |
|
||
|
|
|
|
12, |
(j |
* У; |
|
|
|
|
|
|
|
||
h |
+ Y |
3 |
|
|
12 |
, |
r |
= 12 |
, |
|
|||||
|
|
'13' |
|
|
-3= |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
= С23' |
< И,+ 12= |
14 |
, |
<| K2 |
= |
2 |
, |
|
|||
и 2 |
+ |
|
\ = С24' |
2 + |
\ = |
10 |
, |
\ |
= |
8 , |
|
||||
и2 |
+ ѵ 5 |
= С25' |
2 + ѵ 5 = |
И |
, |
^ |
= 1С , |
|
|||||||
% + |
Ѵ 5 |
°ЗЬ, |
3 |
+ 9 |
17 |
|
|
|
|
|
|
||||
И |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Найденные |
значения |
И|. |
и v>_ |
записаны для большей ясности |
||||||||||
в отдельной |
таблице |
(8.5). |
При практическом решении эти вычисле |
||||||||||||
ния производятся сразу в таблице |
(8.4). |
|
|
|
|
||||||||||
|
Переходим |
к четвертому пункту |
алгоритма |
и для проверки |
выпол |
||||||||||
нения признака |
оптимальности |
при решении на минимум |
находим |
оцен- |
|||||||||||
ци |
У'- |
свободных |
клеток, |
пользуясь таблицей (8.5), |
|
по формуле |
|||||
|
І 4 |
= 0 + 8 - 1 8 = - 10 л' 0, 2 З І |
= 8 + I I - 10 |
|
> о, |
||||||
|
2 1Ъ = D + 9 - 19 = - Ю-£ О, Z „32= 8 + 15 - 15 8 > О, |
||||||||||
|
"Н 2 І |
= 2 +11 ~ |
8 * |
5 > 0, |
2 |
33 = |
8 + 1 2 " 1 8 |
= |
2 |
П ' |
|
|
2 22 = 2 + І 5 " 1 2 |
= |
5 > 0 , ^ 3 4 = 8 + 8 - В = ? > 0 . |
||||||||
|
Итак, шесть свободных клеток имеют положительные оценки. Из |
||||||||||
них наибольшая оценка |
31 |
= |
9. |
|
|
|
|
|
|||
|
Построим для этой |
свободной |
клетки |
прямоугольный |
|
контур. Пп- |
|||||
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
строение |
его производим |
в самой |
матрице.- |
Однако для пояснения |
|||||||
это |
построение сделано |
в отдельной таблице (8.6), |
причем вершины |
||||||||
контура, |
находящиеся в занятых клетках обведены кружочками. В |
||||||||||
свободную клетку записываем |
"плюс" |
Ѳ, а в остальных |
вершинах |
||||||||
Н-5Н0
106 -
контура знаки чередуем. Наименьшее значение Ѳ, а в остальных вер шинах контора раано 85. Проводим перераспределение поставок, и второе допустимое решение записываем в таблицу (8.7). и этой же матрице вычисляем:
И І + Y i |
|
C I I ' |
Ü |
|
|
|
I I , |
||
И І + Y2 - c I 2 , |
0 t Y 2 = 15* |
||||||||
l ' I |
+ |
Y3 |
- ^13* |
0 |
+ |
Y3 |
» |
12, |
|
|
+ |
Y I |
= |
hv |
< % • |
I I |
= |
10, |
|
ь |
+ |
Y 5 |
|
C35, |
- I |
+ |
Y 5 |
= |
17, |
h |
+ |
Y 5 |
= |
°25' |
h |
+ |
18 |
= |
I I , |
и2 |
|
\ |
|
C 2 f |
|
+ |
\ |
= |
10, |
Затем находим оценки свободных клеток:
= 0 + 17 |
- 18 = - I - О |
^ 2 3 |
|
J І 5 = 0 + 18 - 19 = - I z О |
|||
Z 3 2 |
|||
|
|
||
Z 21 = -7+ I I - 8 = -Л ^ О |
Z33 |
||
2 ^ = -7+ 15 |
- 12 = -4- ^ О |
||
Z 3 4 |
|||
|
|
||
Y I = I I .
Y2 - 15, Y3 = ?2.
< h = - I ,
Y 5 = IS,
h= -7, = 17.
-7 |
f |
12 |
- |
14 |
- 9 ^ 0 |
- I |
+ |
15 |
- |
15 |
- I ^ 0 |
- I |
+ +1 |
- |
18 |
- 7 ^ 0 |
|
- I |
+ |
17 |
- |
13 |
3 ;> 0, |
|
Так как имеется свободная клетка |
с положительной оцен |
кой, |
то план не является оптимальным и для его улучшения в таб |
|
лице |
(8.7) построен контур. Наименьшее |
значение Ѳ в клетках кон |
тура |
с отрицательными вершинами равно |
110. |
Результат перераспределения поставок, то есть третье опор ное решение, имеется в таблице 8.8).
- 107 -'
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица (8.8) |
|
|
|||
И: ^ - і ] |
i |
1 |
I I |
V |
ІЬ ! ѵ |
з = |
12 |
У,.= І4ІУ - І5 -Наличие |
||||||
^ \ |
Ё |
|
|
|
|
i |
|
"Г |
|
j |
! |
|
||
—« |
Б і |
|
в, |
|
h |
|
\ |
|
5 |
! грузов |
||||
|
А |
|
|
и |
i |
|
|
|прави- |
||||||
|
|
|
|
с |
1I |
|
|
|
|
|
ітел ей |
|||
i j - q |
|
h |
ю |
120 |
; |
205 |
|
|
|
|
і |
335 |
||
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
|||
Щ- -4 |
|
А2 |
|
|
|
Elf |
|
|
ІІО |
Щ |
|
|||
|
|
|
|
|
i |
|
|
Ь5 |
205 |
! |
270 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
Ііз, |
|І7І1 |
|
|
И = - I |
|
h |
(іо |
|
|
щ |
|
|
m |
|
|
|||
|
85 |
|
|
|
i |
|
|
n o |
|
|
! |
195 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
205 |
||||||
ность в |
|
|
95 |
|
|
|
205 |
|
|
|
ГЧ*° |
|||
|
|
120 1 |
|
|
|
|||||||||
Потреб |
|
|
|
|
|
- I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iІ800 \ |
||
грѵзах |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
L 3 = I L I O + 15.120 + 12.205 + 10.65 + П .205 + 10.85 + 13.ПО = |
||||||||||||||
= 9555 |
(ден.ед.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Для третьего опорного решения находим оценки |
И; и У: |
|
. Ре- |
|||||||||||
зулыаты |
помещены в таблице |
(8.8). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При вычислении оценок свободных клеток получаем, что все они |
||||||||||||||
положительны и,следовательно, |
полученный план |
является |
оптимальным, |
|||||||||||
то есть затраты на перевозку |
всего |
обьема грузов |
будут |
наименьшими |
||||||||||
и равными 9555 ден.ед. Закрепление |
получателей |
за отправителями с |
||||||||||||
соответствующими объемами поставок берется из оптимальной таблицы (8.8).
МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ
Рассмотренный выше модифицированный распределительный метод был предложен в 1951 году американским ученым Дж.Данцигом. Однако еще в 1940 году советским ученым Л.В.Канторовичем был разработан метод для решения транспортной задачи, основные идеи которого, а также сам термин "ПОТЕНЦИАЛ", были'опубликованы в 1942 году. Сам
- 108 - метод был опубликован Л.ь.Канторовичем совместно с М.Х.Гавуриным
в сетевой постановке, однако все идеи и вычислительные приемы
легко перекосятся |
на матричную |
постановку задачи, |
что |
и было впО' |
|||||
следствии сделано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С формальной |
точки зрения |
метод |
потенциала |
отличается от MPI |
|||||
только формулами для вычисления потенциалов |
|
и |
Ч- по |
занятым |
|||||
клеткам : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.8) |
-И- |
+ У- |
= |
С : • |
|
|
|
|
|
|
I |
у |
|
lï |
|
|
|
|
|
и оценок свободных |
клеток |
(8.9) |
Ъ\ |
\ = (-И |
+ |
|
У- ) |
- |
С • • . |
Б остальном алгоритм метода потенциалов |
полностью |
совпадает |
|||||||
с алгоритмом МРМ, поэтому для решения распремслктеььных |
задач |
||||||||
можно применять любой из этих методов. |
|
|
|
|
|
||||
ВіЖВДЕІШ К СПГСГЬИ ЕГО УСТРАНЕНИЯ |
|
|
|
|
|
||||
При решении распределительных задач встречаются |
случаи,когда |
||||||||
в каком-либо из базисных |
решений числе занятых |
клеток |
меньше, чек |
||||||
(П+ Л - I . Такой план называется вырожденным. Вырождение может
наступить как при составлении первого опорного решения, так и в
процессе перехода от одного базиса к последующему. Вырождение мо
жет |
наступить |
в том случае, когда суммарный объем потребностей |
у нескольких |
получателей (не у всех) равен суммарному объему гру |
|
зов |
отдельных |
поставщиков. |
При составлении первого опорного плана методом "северо-запад ного угла'" вырождение может <">ыть устранено двумя способами.
Первый способ заключается в перестановке местами отдельных
параллельных рядов матрицы задачи с целью нарушения рассмотренно го віив Овладев. Так, в таблице (8.9) объем потребности в пунктах
- 109 -
Bj и B2 равен сбьеыу грузов у поставщика А^. Для устраі:снѵ.н вы-
рокдения достаточно изменять местами столбец ts-j- ce столбцом
или В^, можно также поменять местами любые стреки.
При втором способе в клетки матрицы дглолнктельнс записыва
ются нуль-псставки с такиъі расчетом, чтобы общее числе занятых клеток стало равньк tr> +п - I .
При этом нуль-нсставк:: нуянс записывать в такие кльгкѵ., чтги'ы
получилась непрерывная локаная цепочка, проходящая только через
занятые |
клетки. |
Ь таолице |
CS.S) |
число |
закнтых іс.еток должно рав |
||||||||
няться шести, длп устранения вырождзнкя в этом случае |
нуль-пос |
||||||||||||
тавку можно поместить лкио в клетку Aj |
ь^, |
либо |
в клетку |
Л? |
а^. |
||||||||
'Ал этих |
сягбодкьк клвго;: нуль-вес іавку |
по-е«ааеи |
а клетку с луч |
||||||||||
шим таришом, |
то |
есть, |
л АВАКСЫ |
случае, |
в клитку |
А2 ß 2 - |
а |
таоли |
|||||
це (8.10) чи,сло занятых клеток равно шести, следовательно, |
вырож |
||||||||||||
дение устранено и дальнейшее решение не представляет |
затр^дкениіі. |
||||||||||||
При получении |
оптимального |
решенкл нуль-поставки |
не |
учитываются. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
6. S, |
|||
|
|
|
h |
ii |
|
• |
B 3 |
|
|
|
j |
Наличие |
|
} |
|
і |
i |
|
|
* |
|
|
: грузов |
||||
|
|
l i y j |
|
|
|
|
|
Щ ЬС |
|||||
|
|
Іj |
20 |
i |
30 |
|
|
: |
|
||||
|
Ai |
|
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
г |
|
|
|
|
|||
|
h |
1 |
|
[10| |
|
1 1 |
I |
i i |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
16 |
|
! |
|
ьС |
|||||
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ii |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
m |
20 |
IV ; |
|
|
||
|
|
|
|
i d |
|
1 8 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! |
% |
! |
|
i |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Потребность! |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2C |
i |
30 |
|
42 |
|
38 |
|
j |
|
130 |
|||
ji в грузах |
ij |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
j |
130 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|