книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

-

10

-

Обе часIи второго

уравнения системы. (1.2') разделим на(-5),

a затем,

умножив обе части

эюго уравнения сначала на (-2), по­

том на 3,

исключаем

и

з

первого и третьего уравнений преобра­

зованной сисіѳмы. Тогда

будем имеіь:

[

- ^ -

х 3

(1.3)

х- -

7

т .

7

5

=

2

,

= 2

»

(1.4')

L2

=

7

,

Отлет:

=

?

,

*3

=

4 .

=

4 .

При практическом

решении системы

линейных уравнений методом

образования выполнять над строками

расширенной матрицы. Столбец

свободных членов для удобства

будем

отделять вертикальной чертой.

Как только исходная' матрица системы превратится

и единичную,.так

столбец Свободных членов превратится в величины,

представляющие

собой решение

системы.

Пример 2.

Рѳиигь систему линейных уравнений:

£j + 2 х 2

+ 3 Xj

= 5,

Xj + 3 х 2

+ 4 Xj + 3

=

12,

2 X j + 5 *2 + 8 x3

+ 3 x^

=

13,

3 Xj * 2 x2

- 5 x3

3 X/,

=

3.

/ I

2

3

I

5

I

3

8

3

Г2

2

5

3

13

I 3

2

-5

-3

н а ( - І ) ,

(-2) и

(-3) и прибавляем соответственно к элементам

второй,

третьей

и четвертой строк:

ч

2

I

3

3

2

5

3

2

-3

\ 3

Умножаем элементы второй строки матрицы последовательно

на (-2),

(-1)

и 4

и прибавляем

соответственно

к элементам первой,

третьей

и четвертой строк:

I

0

I

-3

9

0

I

I

2

7

0

0

I

- I

-4

0

0 -10

2

16

Умножаем элементы третьей

строки

матрицы последовательно на

(-І)і (-1) и

10 и прибавляем

соответственно к

элементам первой,

второй

и четвертой

строк:

Ii

О

-2

5

I

3

I I

О

о

- I

-4

О

о

-8

-24

Разделим элементы

четвертой

строки на (-8), затем

полученные

значения этой строки умножим последовательно на 2,(-3)

и I и при­

бавляем соответственно

к аліѳменіам первой,второй и третьей строк:

I

0

0

0

I

0

I

0

0

2

0

0

I

0

- I

0

0

0

I

3

-

12

-

Мы приходим, следовательно, к системе:

Xj

=

I

,

*Х 2

»

2

,

Решение

системы уравнении

найдено.

Упражнения.

_

Решить

системы линейных

уравнений

методом Жордана-Гаусса

I .

Х І +

x 2 t 2x3

! 9 ,

X I

2 ,

2x'j

-

x 2

- 3x3

=

-8,

Oiaet :<

x 2

= -3

,

+ 2x2

+ x 3

7

Ь -

. х з

= 5 .

2.

X I + 3x2

- 3x3

- 2x4

= 2,

' X I

I

,

V 2XX

-

x 2

+

x 3

+

2x4

=-I,

Ответу

x 2

= 2

,

3Xj

+

2x2

2x3

*

3x4

=-5,

x 3

= 3

,

^ x l - x 2 + x 3

= 0.

- 2.

3.

- x 2

x 3 -

x 4

= I ,

' X I

= 0

,

<

2 X I - x 2

- 3x4

= 2,

x 2

= 2 ,

I

-

3

f

=-3,

Омег:4

2

= 2

,

3 x

x

+

x

x

+

- *t

2x2

- 2x3

+ bx4

=-b.

x 4

- 3

-Ik -

Определение

3.

Множество называется замкнутым, если оно содержит лее слои

граничные ючки.

"

Определение

k.

будем называть выпуклой,если

выполняются

следующие дна

условия:

I .

Вое коэффициенты*^), эюй коибинации

неотрицательны,т.е.

к ?

о

и=і.2...,п).

2.

Сумма .всех коэффициентов L_гLA r•

•

•

• •

»

•

(

»

„ *

Определение

5.

Точка X, входящая в выпуклое замкнутое множество

W

,

на­

зывается

угловой

(крайней) тонкой этого множества, если

ее

нель-

зя представить в

.виде X = ', •

Хт + (1-1)

х ? ,

где

0 <

U <

I , а

*l6W

и

х 2 £ ѵ Ѵ

•

Угловая (крайняя) точка

не может лежать

внутри

отрезка,со­

единяющего любые две точки выпуклого множества.

Определение

6.

Замкнутое выпуклое множество, имеющее конечное число углр^-

вых точек,

называется выпуклым многогранником,

вершины его

явля­

ются угловыми точками.

Рассмотрим следующие теоремы о выпуклых множествах:

Теорема I .

Любая внутренняя точка отрезка, соединяюдего две

т"очки выпук­

лого множества,является выпуклой линейной

комбинацией

этих

точек.

- 15

-

Теорема 2.

(обратная)

Любая точка, которую можно представить в Виде выпуклой ли­

нейной комбинации дяух точек

выпуклого множества, лежит на отрез

кѳ, соединяющем

эти точки.

Теорема

3.

Любая точка выпуклого

замкнутого

ограниченного мноаесгва

является выпуклой линейной

комбинацией

его

угловых

точек.

Согласно этой теореме,

точка

А явля­

ется выпуклой линейной

комбинацией

вершин многоугольника Aj А2 A3 А^.что

в векторной форме записывается следу­

ющим образом : а

й.Ч^с.\+ь; а

а ч ,

Теорема

4. (обратная).

Любая точка, которую MOSHO представить

в виде выпуклой ли­

17

a I I

3 I2

3 2І

322

32П

матрица системы

ограничений (2.2) ;

\ a m l

am2 /

mn

X =

В =

in

В и X

-

матрицы

- столбцы.

Общую задачу линейного программирования можно записать л

векторной

форме :

найти

(2.1'')

L (I) = с •

х —-> max ( и л и (ПІП )

при

следующих

ограничениях:

(2.2, ; )

х2^2

(2.3")

О

(j. =1,2,... . Л ) , где

и С = ( c I t

c 2 ,

,

C j , , . . . , С Q )

-лекторы,

а

' I I A

'12

\

а 2І

а22

и Б

есть

также

лекторы.

.

Определение

I .

Решением системы (2.2)

или эквивалентных

ограничений (2.2')

и (2-2'0 на-зылаегся любой

набор из ц чисел

ХрХ^,• • •

I удовлетворяющий однолремеино

леем уралвениям сис-

тѳыы.

Определение

2.

.Всякое неотрицательное, решение системы(2«2)

или эклилалентных ограничении (2-2'')

и" (2.2'")

назылается допусти

мым решением.

Гос. публичаг.я

!.

научно-таки;;-.'оская

библиотека

СС С,°

I

ЭКЗЕМЛЯЯР

І

ЧИТАЛЬЬОГО

я д п д

Определение 3.

Базисным (опорным) решением называется такое

допустимое решение

или вектор X = (Xj,X £ ,•• . , х п

) , когда

векторы

I j ,

в ограничении (2.2'*) при положительных

xj.

линейно-незави­

симы-

Если число линейно-независимых лекторов п

(2.2; - ) равно 1 ,

где

? £ г п

» то. из определения опорного решения

(опорного

плана)

следует,

что число

его положительных координат

не более,

z

Не ограничивая

общности рассуждений,

можно считать,

что в

ограничении (2.2'') положительными являются первые z

компонентов,

тогда X = (х т X,

Xh .. 0,0, ... , 0 ), представляет

собой

базис-

ное

решение, или опорный план.

ние (план), при котором функция

цели [_ (X) достигает

экстремума.-

Определение 7.

Функционал

U ( X ) называется линейным,

если

при(2.4)

1

= а.и

+ в,ѵ

выполняется (2.Ь)ЦК)-0-Ь{и)*е UvJ

для всех вещественных чисел

"а" и "в" и всех векторов

£ и ѵ •

Основные

теоремы линейного

программирования

Рассмотрим

задачу-линейного

программирования в матричной

форме

вида (2.1') -

(2.3').

•

-

19

-

Теорема

I .

Множество всех

решений

(планов)

задачи линейного програм­

мирования

является выпуклым.

Доказательство.

•Множество всех

решений

системы ограничений

АХ = В обозначим

через

W

. Из этого

множества

решений выберем любые

X p X g , . . Д ^

(2.6),

где X . É W J

Х~2 £ Ѵ У , , . . . | X n é w

•

Составим из значений

(2.6)

выпуклую линейную

комбинацию (2.7)

(2.7)

L ^ j + J ^ 2 Х2 + . . .

+ f L X

L +

lo

Х П

= Х '

где

все

0

<•= .^- é

I

и

Z

Ь

- 1 .

и докажем,

что оначтакже принадлежит множеству W •

Действительно,

значения

Хр

Xg,

,

являясь

решени­

ями

системы АХ = В,

удовлетворяют

ему и,

следовательно,

это можно

записать

в виде (2.8).

(2.8)

A Xj- = В,

А%2 = В,

. . . ,

AXn =

В

Покажем, что выпуклая линейная комбинация

(2.7)

также удов­

летворяет

решению системы АХ = В. Для этого, подставляя

выраже­

ние

л из

(2.7) в

(2 . 2 1 ),

получим (2.9)

АХ = A (J...X + І - 2 Х 2 + ' - '

+U

X n

)

=,L( A 1г

+JL2 .AX2 + . . .

+ ^ А Х П

= J . . B +^2-В

+і-п-&>

= (.L+.J-2 +

) ß

= ß

Тем

самым теорема

доказана.

Так как выпуклое множество задачи

линейного программирования

определяется конечной системой

линейных ограничений

(2.2) и

(2.3),

то оно может быть или выпуклым многогранником,

или выпуклой

много­

гранной

областью,

уходящей в бесконечность, или пустым

множеством,

то

есть

множеством,

не имеющим решения. В первом случае

задача