книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие
.pdf- S U -
ïC свободным члена:.! системы ограничений добавляются много
члены, зависящие от £ |
, где £ -очень |
малая величина, |
не |
||
сравнимая с |
остальными |
коэффициентами |
система. Эти многочлены |
||
сгставляют.я |
так, чтс коэффициенты у |
£ |
равны коэффициентам |
||
при соответствующих переменных ограничения-, а- степень £ |
рав |
||||
на номеру индекса соответствующей переменной. |
|
||||
Для иллюстрации метода рассмотрим решение задачи (4.19) • (4.21) приведенное к симплексных таблицах (4.13).
Задача решается методой последовательного улучшения плана, причем в оптимальном решении значение £ не учиты- • взется.
f*.3 оптимальной симплексной таблицы (4.13.) имеем: •
Xj = 6, Xj = 2, х 5 = 6 и L =30.
Нѳобходимс отметить, что при решении практических задач зацикливание происходит редко.
fn aSln и на. 4. S. 3
|ß. л. Сво6~о2ные. |
члены |
|
|
ІЗ+Ä-*- |
+ £ 6 |
I f |
I© |
|
+ £ '
0 - 9
о
о
• M
6 +5£~
L
|
|
0:0 |
|
|
|
|
О |
|
|
'—*• |
|
i i s i |
+«-" |
+«* |
|
|
|||
|
'о іі |
iL. |
|
|
|
|
|
|
ВЫПУКЛОСТЬ МШЕСТВА ПЛАНОВ ПРИ РЕШЕНИИ В СИМПЛЕКСНЫХ ТАБЛИЦАХ
При решении практических экономико-математических задач и
симплексных таблиц для вариантного планирования представляет со бой интерес возможность получения множества оптимальных планов, равноценных по значению функции цали.
Впервые вопрос о нахождении нескольких оптимальных планов бнл рассмотрен венгерским математиком Б.Крекб. Однако, принцип
еозмокносіи получения |
нескольких оптимальных |
планов им был рас |
смотрен недостаточно |
точно. |
е |
В дальнейшем нами было сформулировано следующее правило, позволяющее'определять возможность наличия других оптимальных
пл авов. ПРАВИЛО.
Если в оптимальной симплексной таблице имеется столбец ,со
держащий не менее двух коэффициентов,отличных от нуля,причем ХОТЕ
бы один из этих коэффициентов положителен, а в клетке индексной
строки, входящей s рассматриваемый столбец, находится нуль, то ! данный столбец ігсіжет быть взят за ключевой при отыскании второго! оптимального решения с точки зрения одного и того же критерия оптимальности функции цели. Дальнейший переход ко второму равно
ценному оптимальному решению осуществляется^тривиально, то есть находится ключевая строка, генеральный элемент и т . д .
Согласно наложенному яышѳ правилу при отыскании возноаностя
получения инозѳства оптимальных планов, равноценных по значению функции цели, анализу необходимо подвергать лишь столбцы симплек сной таблицы, соответствующие свободным переменным, что полное ты еоотвѳтсавуат алгоритму метода последовательного улучаѳшя плана
я признаку оптимальности.
|
Задача. |
|
|
|
Сельскохозяйственное предприятие.может |
производить |
товар |
ные |
культуры Bp В 2 , ftj, В^ и В^, используя |
в различных |
сочета |
ниях |
ограниченные производственные ресурсы &j, Л 2 , £3 и |
. |
|
|
Требуется максимизировать чистый доход |
предприятия, |
если |
данные о технологических коэффициентах, о наличии ограничиваю щих производственных ресурсов и величине чистого дохода,получавмого от реализации весовой единицы продукта 8^ в
единицах, даны в таблице (4.14).
Виды
производственных
ресурсов
h !
h
Чистый доход,полу чаемый от реали зации весовой ѳди ницы с/х культуры
Таблица
Норма расхода прои:ІВОД ственных ресурс:сш А|_ для пр<зизводства весовеэй единицы се;іьскохозяйст-
іэенных культу]з Ві-
В І |
I В 2 |
В 3 |
|
В4- |
|
Б 5 |
|
3 |
I |
|
2,5 |
|
2 |
1 |
2 |
'2*5 |
f. |
I |
|
3 |
3 |
I |
2 |
! |
2 |
i |
I |
4 |
2 |
2 |
|
8 |
і |
2 |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
1 • |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
10 |
9 |
7 |
|
|
•1 |
|
|
9 |
j |
8 |
|||
|
|
|
|
Наличие
производ
ственных
ресуроозз
é 3500 3500 '
42500
^3000
max •
Если обозначить через Х ; количество товарной культуры В'
(в весовых единицах), необходимое для производства по оптималь
ному плану, то получим следующую систему ограничений (4.22) и
функцию цели |
(4.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Sj + Зх 2 |
|
+ ,ж3 |
+ 2,5х 44+ |
•2х5 |
5 |
^ |
3500 , |
|||||
(4.22) I Xj + 2 х 2 +2,5X3+ |
х |
4 |
+ Зх^ |
^ |
3050 |
, |
||||||
" |
' 2 |
+ |
2 |
*3 • |
|
2Г,, |
|
к |
5 |
^ |
2500 |
, |
|
|
|
|
|
|
^ |
|
|
||||
4Xj + 2х2 |
|
+ 2X3 |
* |
8хл |
|
•»• 2хс |
|
зосо . |
||||
где все Х; & |
0, а |
; = |
1,2,3,4,5. |
|
|
|||
(4,23) L ( X ) = ІОх: + 9х 2 |
+ 7х3 + 9х 4 + &х5 w |
r»10ï |
||||||
Решение |
задачи |
приведено |
в "симплексных |
таблицах (4.15) |
||||
по оптимальному плану сельскохозяйственное |
предприятие должно |
|||||||
производить |
культуры Bp |
В 2 , |
|
соответственно |
в количествах |
|||
50, 1000, 400. |
При этом |
будет получен максимальный чистый доход |
||||||
на сумму І230С денежных единиц. |
|
|
|
|||||
Однако, |
решение |
задачи может |
быть продолжено для получе |
|||||
ния второго |
оптимального |
решения, |
так как в столбце свободной |
|||||
переменной х^ в индексной строке |
стоит нуль, а остальные коэф |
|||||||
фициенты этого |
столбца отличны от нуля, причем три из них поло |
|||||||
жительны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбирая столбец х^ за ключевой, находим ключевую строку, генеральный элеиент и т.д. второе оптимальное решение приведено
б симплексных таблицах (4.16).
V Согласно второму оптимальному решению сельскохозяйствен
ное предприятие может производить культуры В 2 > В^ и В^ соответ ственно в количествах 960 , 420 и 80. При этом будет получен
тот же самый максимальный |
чистый доход на сумму 12300 денея- |
||
ных единиц. |
|
|
|
В первом оптимальном |
плане величина |
недоиспользованного |
|
ресурса |
(дополнительная'переменная |
Xg) равна 550 едини |
|
цам, а во втором - 540 единицам.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
(4.15) |
Базисные !СЕОООДНЫѲТ |
х" Т |
X |
! |
X ! |
X ! |
• X |
X |
! |
X |
X |
X |
. СКС |
||
переменныеі |
члены t |
I ! |
2 ! |
3, |
|
5 |
6 |
! |
7 |
8 |
9 |
|
||
|
х 6 |
3500 • |
2 |
3 |
|
I |
2,5 |
2 |
I |
|
0 |
0 |
0 |
3511,5 |
|
х ? |
3050 |
I |
2 |
|
2,5 |
I |
3 |
и |
|
I |
0 |
0 |
3000,5 |
|
х 8 |
2500 |
3 |
1 |
|
2 |
2 |
I |
0 |
|
0 |
I |
0 |
2510 |
~— |
х 9 |
3000 |
© , |
2 |
|
2 |
3 |
2 |
0 |
|
0 |
0 |
I |
3014 |
L Cl) |
0 |
-iet -9 |
|
» 7 |
-9 |
-8 |
0 |
|
0 |
о |
0 |
-43 |
||
|
х бЦ |
2000 |
0 |
© |
|
0 |
I |
I |
I |
|
Ü |
0 |
-0,5 |
2004,5 |
|
х 7 |
2300 |
0 |
1.5 |
|
0,25 |
2,5 |
0 |
|
I |
0 |
-0,25 |
2306 |
|
|
250 |
0 |
-0,5 |
0,5 |
-0,25 |
-ü,b |
0 |
|
0 |
I |
-ТГГ7"5~" 2*9,5 |
|||
|
х 8 |
|
||||||||||||
- ~ |
х т |
750 |
I |
0,5 |
0,5 |
0,75 |
0,5 |
0 |
|
0 |
0 |
0_,2E _ 753,5 |
||
L (X) |
7500 |
о , |
Г4 |
* |
- 2 |
-1,5. |
-3 |
0 |
~ ö — |
"Ü" |
|
"7492" |
||
|
|
|
|
0 |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
|
0 |
с |
-0,25 |
[002,25 |
||
— |
х 2 |
1000 |
0 |
I |
|
|
||||||||
- — х ? |
3Û0 |
Û |
û |
|
CD |
-0,5 |
1,75 |
-0,75 |
|
I |
о. |
О.Е5 |
803,625 |
|
|
х 8 |
750 |
0 |
0 |
|
0,5 |
0 |
-0,25 |
С 25 |
|
0 |
I |
-0,875 |
750,025 |
|
ХТ |
250 |
• I |
Û |
|
Û.5 |
0,5 |
0,25 |
-0,25 |
|
0 |
0 |
0,375 |
252,375 |
И Х ) |
II500 |
0 |
0 |
|
- 2 f |
0,5 |
- I |
2 |
|
0 |
0 |
1.5 |
II50I |
|
|
х 2 |
ЯООО |
0 |
I |
|
0 |
0,5 |
0,5 |
0,5 |
|
0 |
0 |
-0,25 |
1002,25 |
|
|
|
"40T,8Î25 |
|||||||||||
-** х 3 |
400 |
0 |
0 |
|
0 |
-0,25 |
0,875 |
-0,375 |
|
'0,5 |
0 |
0,06 |
||
|
|
|
||||||||||||
|
ХР, |
350 |
0 |
0 |
|
0 |
0,125 |
0,0875 |
0,4375" =0727Г" |
|
',-£,90625 549,71875 |
|||
|
х т |
50 |
I |
0 |
|
0 |
0, 62F |
-0,1875 -0,0625 -0,25 |
0 |
0,34375 51,46875 |
||||
' L ( i ) |
12300 |
0 |
0 |
G |
U |
0,7b |
I 2b |
"I |
0 |
1,625 |
12304,625 |
|||
! Ѳ
!
1750
3050
833,(3)
750
1000 •
I •053,(3)^
1500
'""Too-"
—^т^. 1
. .500 500
-
|
1 |
- |
U l • |
1 |
|
|
\п |
Базисные
переменные
х 2
Y
Лз
х8
L(X)
•х 2
хз
—х 4
1_(Х)
Свободные |
|
|
членн |
1 |
! |
|
( - - т
1000 |
0 |
ІІ |
400 |
0 |
0 |
550 |
0 |
0 |
50 |
I |
0 |
12300 |
о . |
0 |
960 |
-0,8 |
т |
420 |
0,4 |
0 |
540 |
-0,2 |
0 |
80 |
1,6 |
0 |
12300 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица (4,16) |
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
i |
h |
|
|
|
.Столбец |
|
х |
з |
Х |
4 ! |
Ч |
\ |
*6 |
; х е |
Х |
9 |
Ѳ |
|||
|
|
|
! |
|
контрольных |
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
суш |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
||
0 |
|
0,5 |
0,5 |
|
0,5 |
0 |
0 |
-0,25 |
1002,25 |
2000 |
|||
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-• |
|
|
-0,25 |
0,875 |
|
-0,375 |
|
0,5 |
0 |
0,0625 |
401,8125 |
||||
0 |
|
0,125 |
0,6875 |
0,4375 |
-0,25 |
I |
-0.S0625 |
549,71875 • |
4400 |
||||
0 |
|
|
|
-0,1875 -0,0625 -0,25 |
0 |
0,34375 |
51,46875 |
- S C |
|||||
0 |
|
0 |
0,75 |
|
1,25 |
|
I |
0 |
1,625 |
12304,625 |
- |
||
0 |
|
0 |
0,65 |
|
0,55 |
|
0,2 |
0 |
-0,525 |
961,075 |
|
||
I |
|
0 |
0,8 |
|
- С , 4 |
|
0,4 |
0' |
0,2 |
422,4 |
|
||
0 |
|
0 |
-0,65 |
|
0,45 |
|
-0.2 |
I |
-0,975 |
533,425 |
|
||
0 |
|
I |
-0,3 |
|
. - о д |
|
-0,4 |
0 |
0,55 |
82,35 |
|
||
с. |
|
0 |
0,75 |
|
1,25 |
|
I |
0 |
1,625 |
12304,625 |
|
||
|
|
|
- 57 |
- |
|
|
|
Из основных теорем линейного программирования известно, что |
|||||||
-если функция цели достигает своего |
оптимального значения хотя бы |
||||||
в двух |
крайних точках |
многогранника |
решений, то тогда она имеет |
||||
ют же оптимум во всех |
точках |
многогранника |
решений, являющихся |
||||
выпуклой линейной |
комбинацией этих |
крайних |
точек. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Ï 0) |
а второе - через |
Х^2 ^. Тогда |
будем |
иметь |
следующее: |
|||
: X W= |
( х р х£', xf, |
х ^ х ^ Х ' , |
х^", xg",^'") |
* |
(50;І000;4С0;0;О;0; |
||
:0; 550;0)
;х(2>. (х£, х'1>, ^\ |
х ^ , х £ ' х ^ |
х ^ х%) = (0,-960;420;80;0;0;0; |
||||||
I |
540 ;0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим из Х ^ |
и Х ^ |
выпуклую линейную |
комбинации |
||||
где |
j _ > 0 и |
5г |
0. |
a |
J - i |
* J - 2 = |
1 |
( 4 , 2 5 ) |
|
Придавая <Ц |
и ^ |
любые произвольные |
значения,удовлетворяющие |
||||
условиям (4.25),.получим выпуклое множество равноценных по значе нию функции цели оптимальных планов.
Например, придадим |
значения |
JL,, |
ъ^,п |
соответственно 0,2 и 0,8 |
||||
Гогда |
JL, ' Х ^ = |
(ІО;200;80;0;0;0;0;ІІО;0) |
|
|||||
|
J L , 2 |
' X ( 2 ) = |
(0;768;336;Ь4;0;0;0;432#) |
|
||||
из условия |
(4.24) |
получим |
|
|
|
|
||
С4.26) |
X = |
(І0;9ь8;4іь;ь4;0;0;0;542;0) |
|
|||||
Данная выпуклая линейная комбинация двух оптимальных планов |
||||||||
указывает |
на возможность производства |
предприятием не трвх,а уже |
||||||
четырех культур Bp В 2 , В^ и В^ соответственно в |
количествах |
|||||||
[0,9ь8,416 |
и Ь4 весовых"единиц. Величина |
чистой |
прибыли по-прежнему |
|||||
[2300 денежных единиц. |
|
|
|
|
|
|||
Придавая |
и |
различные |
значения,сельскохозяйственное |
|||||
ірѳдприягие из выпуклого множества планов может выбрать любой |
||||||||
іариант, наиболее |
учитывающий потребности |
хозяйства. |
||||||
f-зпо |
|
|
|
|
|
|
|
с ' |
j
(
-58 -
Уп р а ж н е н и я
№I . Найти максимум функции цели
(I)L. ( X ) = 8хх + 8х2 + 7х3 + ІОх^
при следующих ограничениях: |
|
|
||||||
2 |
X j |
+ |
І , 7 х 2 |
+ |
2,Іх 3 |
+ 2xk -= |
125, |
|
(2) <2,5 |
Xj |
+ |
3 |
х 2 |
+ |
4х3 |
+ 5х^ |
210, |
|
£j |
+ |
І , І Х 2 |
+ |
І , З Х 3 |
+ |
70, |
|
(3) |
х к |
^ |
0, |
где к = 1,2,3,4 |
|
|||
№2. Найти максимум функции цели
*(I) • L (XJ = I.40XJ + І60х2 + І30х3
при следующих ограничениях:
(2) |
\ |
2 Xj + Зх 2 + 2,6 х 3 |
І |
|
2900, |
|
|
||||||
|
|
4 Xj + 5х2 |
+. 3 х3 |
|
^ |
ЗЬОО, |
|
|
|||||
|
|
2,4 Xj + 4х 2 |
+ 2 х 3 |
|
< |
2600, |
|
|
|||||
|
|
8,4 |
Xj + 4х 2 |
+ 2 х 3 |
|
.1 |
27-50, |
|
|
||||
(3) |
х к |
О, где к = 1,2,3. |
|
|
|
|
|
||||||
№ 3. |
Найти максимум |
функции |
цели |
|
|
||||||||
CD |
L |
(X) = бх-j- + |
5,2х2 |
+ |
5\бх3 + 5,8х4 |
|
|||||||
|
при |
следующих |
ограничениях: |
|
|
|
|||||||
|
Г |
5Х-,- t |
4,5 |
х 2 + 4 |
х 3 |
+ 3,5 X 4 |
 |
6000, |
|||||
(2) |
S 2 |
' t a |
I |
+ |
I ' I b |
х 2 + 2 ' 9 2 |
х 3 + |
3 |
, 6 8 х 4 ^ |
4 8 |
0 0 ' |
||
|
\ 2 . 5 X j |
+ 3,0 |
х 2 +2,3 5 х 3 |
+ 2,25 х 4 |
^ |
3600, |
|||||||
(3) |
|
х к |
^ |
|
0,уде |
к= 1,2,3,4. |
|
|
|
||||
-59 -
Э5. МЕТОД ИСКУССТВЕННОГО
Существуют различные методы нахождения первоначального опорного плана задач линейного программирования. Ь тех случаях, когда в системе ограничений задачи помимо неравенства типа ""^ 11
имеются неравенства противоположного смысла " Ä " или строгие равенства "=", получение первого базисного решения упрощается с введением^кусстненных переменных.
Для простоты изложения рассмотрим систему только из трех ограничений (5.1) :
|
Требуется найти |
такое неотрицательное решение х^ ^ OjXp^O |
|||
и х 3 г |
0, |
при котором |
функции |
цели |
(5.2) получает экстремальное |
значение. |
|
|
|
|
|
(5.2) |
L |
С X ) = с 0 |
+ CJ-XJ |
+ с 2 х 2 |
+ с 3 х 3 |
От смешанной системы ограничений (5.2) переходим к системе уравнений-ограничений (5.3), вводя дополнительные переменные в
І а З І х І + «32*2 + а 33х 3 |
- * 5 B J 3 ' |
|
||
Без дополнительных преобразований система ограничений (5.3) |
||||
не позволяет |
получить исходное |
базисное решение, |
так как в тре |
|
тьем уравнении дополнительная |
переменная х^ имеет |
отрицательный |
||
коэффициент, |
равный (-!•)> а во втором уравнении нет вообще неот |
|||
рицательной |
переменной, входящей |
только в одно это уравнение. |
||