книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

Таблица

13.3

Виды

{

Цена единицы

Вес единиНЕ

грузов

1

груза і,

-го

груза ; -го

1.

вида

вида

I

!

I

!

*

"

2

t

в

3

і

i

-

5

j

Î8

4

1

4

1

26

5

Решение будем записывать в таблице

(13» 4). Для заполнения

строк

и

(х^ )

используем формулы

г.-« p^j

И

Q . ( X ; ) » С; X ,

*

С; [ Ж ]

'

? І

Ь

»•

"

t

К Pj,j

Для решения задача используем рекуррентное соотношение (D . I3) .

Если загружать судно только предметами первого типа, та

следовательно,

максимальная стоимость груза

при ѵѴ = 12, межes

быть равна 48 денежным единицам.

При загрузке

судна предметами только первых двух типов шшЗояь-

п а

ценность груза будег:

-

213

-

аналогично вычисляются

\-zW>

f., ( У , . . . .

fÄ

(12). Таким

образом, при загрузке

судна предметами только первых двух типов

наибольшая ценность их при ѵѴ = 12 составляет 52

ден.ед.,при

Г

12 -

3.4 1

п

^

"

г

I

î

Г

°-

На следующем этапе определяем оптимальную стратегию в случае

загрузки

судна

предметами

только первых

трех

видов

по рекуррент­

ной формуле:

(13.14) f 5 fW) - ;5f4 Ä 1

- Ъ

Ы-Ъх2)}

и результаты вычислений заносим в соответствующие клетки строк

|\(ѵѵ) и *з

таблицы (13.4). При этом

| 3

(12) =

54

ден . ед . ,

при x-j = 3, %2 - О и Xj = 0.

Затем приступаем к выполнению вычислений

(13.15)

f„

{^Ч

* U («•

Pi X ' ) }

и

заполняются

сяроки

|(

(ѵѵ)

и х^ таблицы

( D . 4 ) .

Таким образом; задача

решена. Наибольшая

ценность груза

(12) = ьО при х^ = 2.

Для двух

предметов

четвертого вида

потре­

буется

водоизмещение

2 .

5 = 1С весовых

единиц. Оставшееся

водо­

измещение

12-10 = 2 аес.ед. мы должны использовать

для загрузки

предметами остальных

видов. По таблице (13.4)

для W = 2 находим,

что

(2)

= 8,

при Xj = 0,

следовательно,

при оптимальной

стратегии

в данной

задаче

предметы третьего

вида

на судно

загру­

жать нельзя. Далее находим, что fi(2) = 8,

при х-> = 0,а

f,

(2)=8,

при Xj s

2. Следовательно,

ври оптимальной

стратегии

Хр= 2,

х 2 =0,

х 3

= 0 и х^ = 2,. то есть

судно

нужно загрузить двумя

предметами

первого

вида

и Дд.умя

предметами четвертого

вида. При этом ценность

загруженных предметов

4 . 2

+ 2 ь .

2 = ьО ден.ед.

Оптимальная

стратегия

при W= 12 отмечена

в таблице

(13.4) кружочками.

Решение,

приведенное

в таблице

(13.4),

позволяет

определять

- 214 -

оптимальную стратегию

и в тех случаях, когда

грузоподъемность ко­

рабля будет составлять не только 12,

но и I I , 10, 9, . . .

весовых

единиц.

Например, при w

= 9 из таблицы (13.4)

находим, что

^ (9)=44,

при х^ = I . Вес одного

предмета четвертого вида равен

5 вѳсоьык

единицам. Оставшаяся часть грузоподъемности

9 - Ь = 4 дес.ед. может

быть использована для загрузки предметами первых трех видов. По

этой же таблице находим, что

,*•) (4) = 18, при х^ = I . Так как

Pj = 4,

то грузоподъемность использована полностью. Оптимальная

стратегия: х^ = 0, х 2 = О, х^ = I , зц = I .

При W = V находим, что

} ч (7)

= 34 при х^ = I . Тогда

fi (2)

= 8 при Xj = 0, следовательно, нужно

находить

fi (2).

По таблице (13.4) значение

(2) = -8, при

= 0.

Тогда

нахо­

дим

(2), при этом Xj _ 2.

В этом

случае

оптимальная

стратегия

Xj = 2,

= 0, х 3 = 0 и х-4 = I .

Аналогично определяется

оптимальная стратегия

при любом до­

пустимом значении W .

Б тех случаях, когда значение w

достаточно

велико, пользо­

ением допустимых

значений

грузоподъемности w

на ряд отрезков,

в которых

fj. (w)

= c û n i t

. Методику решения

задач таким спосо­

бом рассмотрим на следующем примере.

Пример

2.

Пусть

водоизмещение судна w = .4? весовым

единицам. Данные

о ьидах грузов,цене и весе

единицы груза приведены ь таблице

(ІЗ . Ь) .

- 215 -

Таблица

13.5

t

Ьиды

î

Цена

единицы

j

Вес единицы

грузо*,

!

груза -

с.

і

груза

- р ,

І

I

23

i

10

1

2

32

j

14

3V

J

Іъ

1

3

Из рекуррентной

формула

(13.13)

лидно,

что для вычисления

fui*') ВДзюо иметь

^(vv - ji,

x,.J

> поэтому

будем находить после­

довательно

значения

£ (w), f^(w)

'•J f3 (w)

Для нахождения

максимальной стоимости

груза,

если

вся грузопсд-

емность

w

(0 ^

w

s

4?) расходуется только на перевоаку

предметов

первого типа,

то есть

f,

(w j

,

находим

Составляем

таблицу(ІЗ.ь)

для значений

|>ДѵѴ) при Xj = 0,1,2,3,4.

ность может использоваться ь следующих замкнутых

промежутках

0 - 9, 10 - 19, 20 - 29,

30 - 29, 40 - 47.

Таблица 13,ь

!

о -

9

с

0

!

ю -

19

23

I

J

20 -

29

4Ь

2

j

3 0 -

39

о9

3

{

40 -

47

92

4

Далее

находим f* (w) по формуле

' Л 2 >

f.. j » : m их

У j

С х 2 ) , f,

^ / - ; \ X,) J

° - Л 2 -

— I »•

'

J

-

216

-

где <jz

(хг)

= с ^ г .

Находки

пии

х^[~Ѵг\=

3'

1

0

е с І

Ь

» для рассматриваемого примера

х^

=

0,1,2»3.

Используя

значения

при

0 £

W -È

47, записанные в

іаблице(ІЗ.б),

приступаем

к заполнению

таблицы

(13.7),

определяя

оптимальную

стратегию

при загрузке

судна

предметами

только первы

дь-ух видов. В этом случае грузоподьемность разбивается

на отрезке

(0-9, 10-13,

14-19,

20-23,

24-27, 28-29,

30-33, 34-37,

38-39,

40-41, 42-43, 44-47), в которых fa (w)

принимает

одни

и те же

численные

значения. Для каждого из этих

отрезков

находим суммы

С 2Х 2 +

Ь

^w

-»2^2)

П Р К в с е

х

допустимых

целочисленных значе­

ниях

Наибольшее значение, so есть f2 (wj,

для каждого из рассматривае-

мых отрезков

заносим л таблицу

(13.7).

Таблица

13.7

W

{

/ 2 ( w j

j

х 2

0-9

i

0

0

10-13

23

І

0

14-19

32

I

20-23

4b

о

1

24-27

55

I

28-29

Ь4

2

30-33

69

0

34-37

78

I

38-39

87

j

2

40-41

92

0

42-43

96

3

44-47

101

I

Для рассматриваемого примера рекуррентное соотношение (13.12)

примет вид: f 2

W r

w o x ^

| 3 2

X

t +

j»

J

,

При значениях

0

£

w

£

Э

max х 2 =4Ï4~] =

°*

П 0 Э І 0 1 , у

f 2 (9)

= 3

2

• 0

+ f

i

(9 -

14 .

0)

»

0,

при атом

= С. Значения

-

217 -

(, (9) и X j , равные

нулю,

находим

из таблицы

(13.6)

При значениях

ІО =• w

в

m<.i*x2

= [ р ~ | -

0,

поэтому

j \ z (I3)

= 32

. О *

f,

(13 - 14 . О ) =

fi (13) = 23, при этом

х 2 = О. Значения

f,

(13)

= 23 и x-j- = I

находим

также из

таб­

лицы

(13. ь).

(191

При значениях 14 S ѵѴ -а 19

гшдх2

=vj% = I , to

есть x-2 может

принимать

значения

0 и I . Вычисляем

f„ (19)

при допустимых

значениях

х 2

:

I

32.0 +

(19-14*0)

=0

+

f,

(19) =

0 + 23,при х 2

= О,

I

32 Л +

(I9 - I4 . I)

=32

+

f,

(5)

= 32 +

0 при * 2

= I .

Следовательно,

fA

(19)

= 32,

при х 2

= I

и X j = 0.

При значениях 20 é

w

-

23

гпилХ2 =

j| Ц |

= I , то есть

х 2 может принимать

значения

0 и I . Вычисляем

f., (23; при допус­

тимых

значениях

х 2 :

!

32.0 +

jl. (23-14.0)

= 0 +

f,

(23) = О + 46 =

4ь,при

Х£

= О,

[

31.1 +

(23-I4.I)

=32 +

f,

(9)

=32 +

0 = 32,при

х 2

= I .

Следовательно,

(23)

= 46,

при х ? = 0 и Xj- = 2.

Вычисляя аналогично

значения

f2 (w;

в остальных промежутках

и заполняя

соответствующие

строки

таблицы

(13.7),

находим и

fz(V7):

при 44 ^

\Ѵ

47

maxx 2

=

= 5 » 5 0

e c

ï b

х 2

=

0,1,2,3.

32'0 •+ } t

(47-14*0) = 0+1;

(47)

= О + 92 = 92,

при Х 2

= О,

<

32*1 *

f.

(47-14*I) =32 t (,

(33)

=32 + Ь9 =101,

при Х£

= I ,

32*2 +

f,

(47-14*2)

=fc>4 + f,

(19)

=64 + 23 = 87, при х 2

= 2,

32*3

t

(t, (47-14.3)

=9b + f,(

5)

=9b +

0 = 96,

при x 2

= 3.

Следовательно,

fa

(47) = 101 при x 2

=

I и Xj = 3.

Таким

образом,

оптимальная

стратегия

при загрузке судна пред­

метами только

первых Двух типов: Xj = з и х^ = I . Действительно,

при х-, = I , на долю предметов первого

типа остается грузоподъем­

ность, равная 33 вес.ед.(47-14*1)-Из

таблицы

( В , ь )

fj (33)

= Ь9

при X j = 3.

- 218 -

Переходим к отысканию оптимальной стратегии при загрузке

судна

предметами трех видов по рекуррентному соотношению:

( 13. 14)

^ (vv)

= ^ m eu ( | 9 . ( N ) r}z{«-

К x,) j

,

где

| 3 { Х з ) =

c 3 x 3 .

При заполнении корабля предметами всех трех ^идов грузоподь-

емноегь разбивается на отрезки (0-9, 10-13, 14-15,

Іь-І9,

20-23,

24-25,'2b-2Y, 28-29, 30-31, 32-33,

34-35, Зь-ЗѴ,

38-39,

4 0 - « ,

42-43, 44-45, 4ь-4У), и которых

iwj

принимает

одни и

те же

численные значения. Для каждого из зтих

отрезков

находим суммы

с3*3 *

С ^

~ Рзх 3^ п р

и " с

е х

Д°п Ус г имых целочислен­

ных значениях i L . Наибольшее значение,

то есть f-) (w;

, для каж­

дого

из рассматриваемых

отрезков заносим

и таблицу(13.8)

Таблица 13.8

W

h M

*3

!

0-9

0

0

i

10-13

23

0

i

н

14-15

32

0

•f

Ib-I9

37

I

1

1

20-23

4b

0

-

і

!

24-25

55

0

1

2b-27

60

I

1

28-29

64

0

]

i

30-31

b9

I1• •

,

I

i

32-33

74

2

1

34-35

78

!

0

!

Зь-ЗУ

83

i

1

38-39

87

0

40-41

92

i

ï

42-43

97

2

44-45

101

1

0

1 4ь-4Ѵ

IOb

2 или I

Для рассматриваемого примера рекуррентное соотношение (13.14)

примет вид: ІЛЫ)-

шох^ J3 ?X 3 - t -

f - (W - І С л 3 ) | >

Так, например, при 4ь ^ w « 47

ци.».х3 = | - j £ ~|= 2 ' 10

есгь

х 3 = 0,1,2.

Вычисляем

(47) при допусгимых

значениях х 3 :

[37'0 1-

?й (47-ІЬ'О)

= 0 + h (47)

= О + ІОІ = ІОІ.при Х3 = О,

І З Ѵ І

+

^ ( 4 7 - І ь * І )

=ЗУ + f 2 (3I)

=37 +

ь9 = ІОЬ.при х3 = I ,

[37.2 +

^ ( 4 7 - І Ь ' 2 )

=74 + ^(15)

= 74+

32 = 106,при

х3 = 2.

Следовательно,

(47) = 106 либо при х 3 = J , либо при х 3

= 2.

Таким образом, в рассматриваемом

примере допустимы Две опти­

мальные стратегии:

а)

(Xj; Х 2 ; Х 3 ) =

( 3 ; 0 ; І ) ,

б)

( X j ; х 2 ; х 3 ) = (0*1,2).

-

?2С -

Задача

о размещении

Задана

потребность в определенном продукте в территориальном

разрезе. Известны

пункты»^

которых можно построить предприятия,

выпускающие

данный

продукт.

Подсчитаны затраты на строительство и

рат, требующихся на строительство

и эксплуатацию

всех запланиро­

ванных объектов.

Решение аіой задачи может быть сведено к задаче по распределе­

нию ресурсов типа ( І З . і ' ) - (13.4'') .дополненной

условием

целочис-

ленности, налагаемым на переменные х^

Ц-

1,2,

• • • » " ) »

эконо­

мический смысл которого в данной

задаче

-

количество предприятий,

необходимое для строительства в і

-том пункте.

Для удобства расчетов будем считать, что планируется строи­

тельство предприятий одинаковой мощности.

Пример.

Б четырех областях необходимо построить восемь промышленных

таким образом, чтобы обеспечить суммарные

минимальные затраты на

их

строительство

и эксплуатацию. При атом

значения

(х^ ) при­

ведены в таблице

(13.9).

Таблица 13.9

О

I

2

i

І

4

I

5

1

ь

r

—

(X)

3

7

i

8

1

28

25

49

97

144

г.

121

73

ІЬ8

194

И

28

«

50

74

96

121

143

Іь9

196

й , (X)

т

\>

(ху

28

22

47

42

95

120

145

170

195

i

!

а„

(X)

28

2ь

48

?^

98

122

І4Ь

ІЬ9

194