книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

решения допущена ошибка, которую нужно

устранить,прежде

чем продол­

жать

решение.

•

Рассмотрим

решение

задачи методом

последовательного

улучше­

ния плана

(оимшіѳкс-мѳтодом).

Задача.

Предприятием может производиться продукция четырех видов

Bp

Bg, B j , В^ из трех

видов сырья Ар

А 2 , A3. На планируемый

период предприятие располагает следующим количеством сырья:

вида

âj -

300,

вида

- 210 и вида

- 240 условных единиц. На

количество

сырья в условных

единицах

(табл.4.3)

Таблица

4.3

Виды про-'

Нормы затрат

сырья каждого вида на

единицу

~

і дукции

J

продукции соответствующего

вида

А2

%

H

3

I

2

В 2

4

4

5

В 3

2

3

2

в 4

3

2

4

Прибыль,

получаемая от

реализации

единицы продукции

Ві,

сос­

тавляет 9,

В 2

- 5, Вз

. 8 и B/j - 12 денежных единиц.

Требуется узнать,

сколько продукции каждого чада должно вы-

пуокать предприятие с

тем,чтобы получить максимальную прибыль

от

-

42 -

Гзх - + 4х 2

+ 2х3

+ Зх 4

+ х 5

= 300

,

(4.17)

<j

Xj + 4х22 + Зх33

*+ 2х44

+ х 6

=

210 ,

+ Ху

= 240 .

Экономический

смысл дополнительные

переменных

х^; х^, Ху -

возможное недоиспользование

сырья соответственно

видов

A j , A 2 , A 3 .

Функцию цели

(4.14) запишем

в виде

(4.18)

L

( X ) = 0 - (-9xj

-

- 8х3

- І 2 х 4 -

0°x5 -0*x6 -O*x? ),

Используя (4.17)

и (4.18), составим

симплексную

таблицу, сооі.

ветствующую

первому

базисному решению (табл.

4.5)

(

Таблица 4.5

—,

1

•

1

Столбец

Базисные[Свободные

X

X

X

X

X

X

контроль

переменчлѳв^ы

0

I

2

3

4

6

ных сумм

ные

1

7

-5

300

3

*

2

з

X

0

°

313

10 0

х 6

210

1

-

3

2

05

I

0

221

105

„

240

2

ѳ

0

0

I

254

60

- " 7

2

L

с*

0

-5

-8

-12,

Ü

0

0

34

-

]

Так как задача

решается

на максимум, то в оптимальном решении

По абсолютной

величине наибольший из них | - 12-j

Следовательно,

столбец,

содержащий переменную х 4 ,

будет являться

ключевым. Отмени

его

стрелкой,

которая

указывает,что

переменная

х 4

из свободных-долг

на .перейти в

базисные.

ь

Для нахождения ключевой строки

вычисляем

значения 8

и находш

наименьшее из них, то

есть

-,

f min. {WO; Ï 0 5 ; 60j

Ш 9

-

тП

f

3; f

- 60.

-

43

-

Эти

значения

записываем

в

столбце fß

. Так как наименьшее

значение

Ѳ

равно

60, то ключевой будеі

являться строка,

содержа­

щая базисную

переменную х^.

Обозначим строку,

содержащую

перемен­

ную ï y ,

которая показывает,

что

х^ должна

из

базисных переменных

перейти

в

свободные.

На пересечении ключевых рядов с переменными х^ и Ху

находится

лица

будет

иметь'вид

(табл.4.Ь)

Таблица 4.6

Базисные Свободные

i

1

(Столбец

перемен­

члены

x 4

Xy

контроль-

9 .

ные

1ных-сумм

Ч

[

i

ч

!

І

!

1

1

60

0,5[li25|

0,5j I

[ 0

J 0 0,25

63,5

L

( x j

i

' i

!

I

i

i

дена в

базисные

и строка,содержащая ее, является направляющей.

В ос -

сальных клетктах

столбца х^ мы должны накопить нули,

оперируя с

адв­

ентами

направляющей строки. Так, например, для получения нуля в этом

зтолбце

в строке

х^, умножим все элементы направляющей

строки

на

[~Ъ) и складываем с соответствующими элементами строки

предыду-

цей симплексной

таблицы (табл . 4 . 6) . Получим таблицу

(4.7)

Таблица 4.7

Базисные

Свободные!

X

X

X IX

[Столбец

X

[Контроль- n

перемен­

члены

J - -

2

3

4

7

'ных сумм

ü

ные

1

5

6

Ч

120

1,5

0,25 0,5|

0

I

І 0

-0,75{

122,5

!

*

1

П

»

Т

•

!

1

-5

t

!

i

і

—ъ

60

1г

0,5

I

0 j

0

{

î

ч

0,5

1,25

,0,25;

63,5

{

L ( I )

Ii

Ï

Î

1

1

i

60°(-3)+300=I20;

0,K(-3)+3=I,5;

1,25* (-3)+4=0,25;

0,5*(-3)+2 «0,5;

Г(-3)+3

sO ;

0'(-3)+I=I ;

'63»5*(-3)+3I3=Ï22,5

0*(-3)+0-0 .

1

Находим сумму

свободного

члена

и всех

коэффициентов

при перемен­

ных сумм, следовательно,

все элементы строки х^ вычислены правильно

и записаны в таблице (4.7)

Для исключения нулей s остальных клетках столбца х^ умножаем

направляющую строку последовательно на (-2)

и на 12 и суммируем ре ­

зультаты соответственно

с элементами с троки xf e и L ( X ) первоначаль­

ной симплексной

таблицы

(табл.4.5). Второе

базисное решение помещено.

в таблице (4.8).

Анализируем

полученное второе базисное

решение. Ь индексной

строке имеются два отрицательных числа (-3)

и (-2), поэтому план не

-

46 -

б)

если в ключевом

столбце

исходной

симплексной

таблицы,

имеются нули, то строки, содержащие их;

В последующую

симплекс­

ную таблицу

также

переписываются без

изменения.

Таблица

4.9

Базисные

Свобод-t

{

1

g

CKC|

переменные

ные

i

x

L x

X 4

j 4

JX6

| X 7

І

члены

|

|

3C0

3

j

4

j

2

3

;

I

j

о

;

0

r 3 D

'

100!

Ч

!

210

!

I

U

3

•

2

0

І

I

j

0 .

221

105

таб.

©

о

j

о

!

i

254

60

•

240

2

it

5

2

L

С *

}

0

-9

-5

-8

-I2T

0

j

0

J

0

-34

-

1

120

^ Ц ) J0,25 0,5.

J 0

І

І

0

1-0,75

I22.5J

80

<•

j

90

JO

| і , 5 -

2

j 0

J O !

I

i-0,5

94

_

х 6

П

х 5

г

i

l

j

I

.!

0

j

0

j

0,25

63,5

120

таб.

х р

j

60

JO,5 - I.25J0.5

L

( X )j

720

i-3

10

|-2

[ 0

!

0

j

Ö ! 3

72Й

-

x f -

j

80

I

I

F F

. o l - i .

8lf_

240

x 6 —

j

90

0

I

t-

I

94

45

4

-

(2)

!

о

j

о

1

2~

ТО f\

Хц.

j

20

0

i - f

+

h

J

, .

о

I

22^-

60

L

С x

)

960

0

T

~2~

-I f

1

0

2

0

I - f

973

x ï

65

I

-

I _

-

5

66

•

<

6

Т Г

x7~*

\

4-5

{. 0

i

І

о

û

JE.

-+

47

-ІУ

5

[

2

(таб.

x 4

!

5

о

!

i

7

7

f

0

i

*

1

12

t

i

L e

x

;

1005

0

j l *

0

1

0

4

1020

r

j

H

!

1

2

ных переменных оказывается меньше числа

уравнений-ограничений

исследуемой

задачи.

Вырождение может наступить и при переходе

от одной симплекс­

ной таблицы к другой. При этом в анализируемой

симплексной табли­

це должно быть несколько, не менее двух,

наименьших одинаковых

значений ©

• Б этих случаях генеральный

элемент может быть выбран

зацикливание. При зацикливании

одни и теже

опорные

планы повторя­

ются периодически и оптимальное

решение может быть не получено.

Возможность преодоления этого затруднения рассмотрим на сле­

дующем

примере.

Найти (4.19)

|_,

( X ) = 2Xj + х 2

+ Зх3 + х 4

+ гх^-гт^х

.

при следующих

ограничениях:

2Xj

+ 2 х 3

+ 2х^

4.

ІЬ,

(4.20)

* З х

2

+3х3

+ Зх^ +3х5

^

24,

Х І +

2 х 2

+

*3

+ х 5

I Z f *

(4.21)

х^

s

0,

где j ,

= 1,2,3,4,5.

После перехода

от системы

ограничений-неравенств (^.20>

к

переменными х ь

и Ху

получаем два наименьшие одинаковые симплекс­

ные отношения

0 =

8 .

-

49

-

Таблица 4.12

Базисные

Свобод­

1

1

1

Іх

*

-1

скс

X

X

X

X

|x

X

Ѳ

перемен­

ные

I

2

3

* 1 5

b

V

1

ные

члены

.. _t

8

Ч

16

2

0

2

- 0

j

1

25

8

2

I

1 о

1 0

I

24

0

3

d>

3

j 3

0

I

0

37

8 .

табл.

- 3 — ч

14

I

2

X

0

I

0

0

"I

20

14

!

0 -2

- I f-3

- I

-2

0

0

0

-9

-

Т с Г Т

1

о

! @ -2

0

0 -2

I

2

0

0

3

8

i

I

I

I"

I

i

о

;

j2±\

-

П

! 0

0

3

i i j i 5 о і - і ! о

о

7^

6

табл.

х 8

6

U - I

!

0

I

1

3

-

L( X )

24

j-2

j 2t| 0.

j

2

J I

0

j

28

0

i - l

I

1I

1

I

1

- I

1

1

1 I i - I ! 0 j 0

2

~3

°

i

- f -

*

-1

i

I

I

8

j i

0

1

0

8

; о

; i

-j i

j i

3

12 3

6 j 0 j 2 j 0

1

I

6

табл.

х 8

о

8 Г

24

• 0 j Ü ii 0

I

T

0

2 6 J

-

6

I

I

0

- I

0

0

1

I

" Л

TV

2

0

- I

"I

2

0

1

1

- I

з |

табл.

_ х 3

a

л

чГ

6

.0

2

0

- I

I

i

0

I

2.

L ( X )

3.0

0

2

0

I

0

i

i

I

3 * f

2