книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

Обозначим x j

количество товарной продукции j -го

2у

- прибыль

предприятия

от реализации

единицы изделия^

-го

вида :

OLJ

-

норму затрат ресурсов

t

-го

вида

на изготовление

еди­

ницы продукции

j -го

вида;

Xj

-

объем производства

изделий J

-го вида;

ét

-

наличие

ресурса

t

-го

вида.

Тогда можно

сформулировать,

например,

задачу дробно-линей­

изводства изделии

при

ограничениях

вида

(II . 2) - ( I I . 3 ) , то есть

( I I . Ъ ) Р =

Z)

Х)

. 100%

— m

a x

è

V

-

171

-

Для дробно-линейного программирования доказаны следующее

основные

теоремы:

1.

На любом прямолинейном отрезке,

принадлежа чем много­

граннику

Win

, образованному

ограничениями- ( I I . 2 ) :: ( I I . 3 ) ,

функция

цели

вида

( i l . I )

изменяется монотонно.

2.

Функция

цели ( I I . I )

может

достигать экстремума только

в вершине многогранника ѵ/ь > образованном ограничения и: ( I I . 2)

и ( I I . 3 ) . Если максимум

(минимум)

достигается в нескольких

крайних

точках,

то

он достигается

и во всех точках многогран­

ника решений Wri

,

являюькхся выпуклой

линейной комбинацией

ЭІІѴХ крайних точек.

вторая теорема дробно-линейного программирования позволяет,

как и в линейном

программировании,

отыскивать экстремум функции

нии. При этом

ограничения задачи

дробно-линейного программиро­

вания линейны.

Уті; два положения

позволил:: реаать задачу, дроб­

но-линейного программирования в

симплексных таблицах с двумя

Рассмотрим

задачу дрсбно-линейного программирования вида

( I I . I )

-

( I I . 3 ) .

Первоначальный план записан в таблице

( I I . I ) ,

где

C j . : - C j

,

и С-

- - - é : ,

Если среди свободных членов имеются

отрицательные,

то есть мы

имеем дело с псевдопланом, то

находим наименьшее

симплексное

отношение rvіП ß1-

« г Д е

ê; ^

О

и

üLL-Co

для

строк

с отри-

нательными членами. Тем самым находим генеральный элемент и

затем по

обычной симплексной

процедуре преобразовываем

таблицу

( I I . I ) ,

включая

и

коэффициенты

строкЦ(Х)ііЦ><) Пусть

план станет

-

172

-

Таблгца

I I . I

т—

Свебод-

!

1

1

i

1

-

j Базис­

І х 1

! Ч

JXrt»2 i « •*

X llr

L

. . .

I

X /ни

ные

ne

ные

» » о

• Л ' ] в!

і

реыеН-

члены

ii

i

!

!

Нп;!.'

i

1 J'i

1

i

j

,i

і

i

H

1—

. J

0

-

t.

а «

j a.,a

. . .

!i

i

- к о

!

i

о

j . .

. . . i 0

; (l 1 .

!

I

1

1

1" !•

- !

1

•••

i f t j . • • J ^г» j 0

0

0

—.

. . .

. . . ! . . . [ . . . [ . . • ! . . . ! . . . ! . . . i -

...

...

к

au »

. . .

!

0

I

i

! ^ J .

! "

•

... 1 . . .

L . l .

'

1

1

. . . !! 0

ООО

i . . .

1,.

i

.

' " 1 * * * j

1

, ,

.. ;

H

—

(Im,

• • •

Йго°

}

t

0

j o

! .. •

о

1 Л и «-m

С1

• \Cimn j

j LM)

О

U

j e *

-

І 4 | -

• І с '

й i

с

!I

о

!.. •

о•

—

i

0

-.f

a

о

Ci

...

ш. . a

i

и

r

1

. . .

j о

! LoO

1 °

hz

допустимым после

"К"-той

итерации

(пр«

всех

ê j_ С к)

П р,. g r o

M

fi

сзроках

L , (X)

и

І-л (X)

появятся

свободные

члены С^к)

и С ' к ' ,

і

об­

щем случае отличные от нуля. При этом значение функции цели будет

равно:

L С к )

Ш = L i 0 0 «

с ( к ,

( I I . 7 )

і- = 0 —

•У «*J

-

174

-

88- этого можно сделать вывод о том,

что

если I -й столбец сим­

плексной

таблицы

с положительным

d-

взять

за

ключевой, то

не

последующей

итерации

значение

функции

цели уменьшится.

Ö) Если

d •

=

0,

.

(к+і)

(X)

-

, (к)

„

= U, то

есть

то L

L

Ш

L(**l)

m

= L ( K ) (X)

Цлючелсй

столбец

с

oij,

= 0,

на

последующей итерации

значение

функции цели не

изменится.

*)

Вели

d;<0,

го

L ( к +

І ^ О 0

-'\JK)

№

>

0,

то есть

L ( K + I ) ( x )

>

L ( к ;

ex;

Следовательно,

если

столбец

с

отрицательным

dj

взять за

1.

Обычным путем составляем первую симплексную таблицу,

при этом для функции цели предусматриваем две

строки: в верхнюю

$аписываем

коэффициенты L

j (X), а

в нижнюю -

L 2 (X)» как и в

симплексном

методе коэффициенты при

L j ( X )

и

|_, 2

(X)

заносятся

в влѳтке с противоположными знаками.

2.

Если в

симплексной

таблице

записан

псевдоплан,

то есть

среди свободных

членов

есть отрицательные,

то

добиваемся,

-

175

-

гуобы симплексная таблица стала допустимой (псе

eL±

0).

Если

ілан становится допустимым после "к" итераций,

то в индексных

сроках

L. (X) и

L 2 ( X )

появятся

свободные члены

и

С ^ '

j общем случае

отличные

от

нуля; при

этом

всегда

будет

ot-

5иен от нуля по условию положительного

знаменателя в

многогран-

рѵке реиений W « .

Еіак,

первый

допустемыіі

пла^ получен, при

этом

Кп.7)

L ( K )

W

=

^ !

ß ~ . S ™ L -

3.

После

нахождения

допустимого плана вычисляем для каждого

столбца

таблицы значение

определителя

( I I . 9 )

!

с (к)

с <

(к)

I

к заносим

полученные

значения

в дополнительную

строку

таблицы,

в столбце свободных членов в этой строке записываем значение

функции

цели

по формуле

( I I . 7 ) .

4.

При решении

задачи

на максимум

за ключевой столбец выби­

раем гот,

в

котором

с(-'<0 .

Если

таких

столбцов

несколько,

ïo

S

за ключевой

выбираем

тог,

в

котором

dj.

имеет

наименьшее отри­

цательное

значение.

При решении задачи на минимум за ключевом столбец шбгфави

тот, в котором

сІ

>0-

Если

таких столбцев несколько,

то

за

клю-

челой выбираем тот, г котором

cL-

имеет наибольшее положитель-

ное значение.

5. По алгоритму метода последовательного

улучшения

плана

вычисляем симплексные отношения Ѳ и находим среди них

наименьшее.

ход к последующей

таблице осуществляется по алгоритму метода

последовательного

улучшения плана,

при этом

коэффициенты строк

L . j ( î ) и |_,2 Ш

преобразуются по

общему

правилу.

•

Зхг + 7Хр

( п . I D

L(x)

= _ і

1—

X I

+ x 2

при следующих

ограничениях

(II.12)

к (11.13) :

Xj

-

2x2

^

I ,

(I)

( I I . 12)

Xj

+

x 2

g.

4,

(П)

Xj

+

x 2

^

12,

(DD

5 Xj -

x 2

^

2,

(ІУ)•

(II.13)

X j ^

0

и

x 2

5t 0.

Решение.

Для заполнения первой симплексной таблицы систему ограни­

чений (II.12)

преобразуем к виду

( І І Л 4 ) :

-

178

-

X I

~ 2 x 2

+

x 3

=

I ,

+ X,,

=

-4.

2Xj

t

x 2

+

xL =

12,

-bxr

-

Дальнейшее

решение

приведено

ь таблице

( I I . 2 ) .

В третьей

таблице

табл.

( I I . 2 )

получено

иинимальное

значение

функции цели, так как все

e/j

неположительные.

При этом

L

(X)

=

4

при

X =(

Ар

х 2 ,

х 3

,

х 4 ,

х 5 ,

х ь )

=

(3;

I,- 0;

0;

5; 12);

в

пятой

таблице

-

максимальное

значение

L

(X) =

6,2

при

Х Х Х р х 2 ,

х 3 ,

х^,

хъ,

х ь )

=

(2;

8;

lb;

6;

0; 0),

так

как

все

dj

-

неотрицательные.

,

Дадим геометрическую интерпретацию решения, приведенного в

симплексной

таблице

( I I . 2 ) .

Системе ограничений (II.12)

и ( I I . Б

нат XjOx2

на рис. ( I I . 5).

Первоначальному псевдоплану соответ­

ствуют

координаты точки 0 (о;о),

псевдоплану,

записанному

вр

второй

таблице, координаты

точки

Е ( 4 ; о ) ;

ь

третьей таблице -

- допускаемое

решение, соответствующее минимальному значению

функции цели,

в вершине Д многоугольника

АВСД, в четвертой

таб­

-

179 -

Графический способ

решения

задач

дробно-линейного

программирования.

При й =2

рассмотрим на плоскости

Xjû ^ ФУН!Щ"Ю цели(ІІ.]5)

(11.15)

L (X)

= J-1

J—t

CJXJ +

^2

Х^

при

следующих

ограничениях (II.16)

и ( I I . 1 7 ) :

(11.16)

ц

h+<X:o

h

<=• & ' г д е

i . =i . 2, ... , m ;

t i

6

"

( I I . I ? )

Xj A G к Х 2 à G.

Предположив, что решену-ем системы ограничений (II.16) п

(II.17) будет

являться многоугольник /\RC'ÙE F ,

изображенный

на

рисунке ( І І . І )

Х 2