книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

Перейдем к рассмотрению второй теоремы двойственности.

Определение

I .

m

Ограничения

(6.3)

х .

> 0

и

(6.5)

а--

У • >

с ;

Т~

при

фиксированном

J-

-

',

:ТГ

1*

L

-

г

значении

индекса

и ограничения

(6.2)

7

a., x , ^

в-

и (6.6)

У-

0

при фиксированном

зна-

чѳнии индекса [ будем называть парами двойственных условий

взаимно-сопряжѳнных задач

(6.1)

-

(6.3)

и (6.4)

-

(6.6).

свободное,

а другое закрепленное.

Следствие

I .

Если в

паре двойственных условий

ограничение

(б.2)-свободное

г.

то

есть

}.._.

а :

х*

^

' в . ,

то

условие (6.6) -

закрепленное,

то

есть

У*

=

0.

і

'

Экономически это означает, что в оптимальном плане недоис­

пользованный ресурс имеет нулевую оценку.

Следствие

2.

ч

Если в паре двойственных условий

ограничение (6.2)-закреплен-

ное,

то

есть

/"_

а,--

х.к

= в.

,

то условие ,(б.ь)

-

св'обод-

ное,

то

есть

>/-'

-'

/

і-

-

•

У.*

-, 0.

Экономически это означает, что в оптимальном плане лимитиру­

ющий ресурс

получает

положительную

оценку.

Экономически

ато

означает,

что

в

оптимально!.; плапс

лимити­

рующий ресурс получает положительную оценку.

Следствие

3-

то

Если в паре действенных условий ограничение

(6.3)-свободное,

есть

X . * >

0,

то

ограничение

(6.5)

- закреплекное.тс

есть

11-.ѴЮ

У

î

Следствие

4.

Если

в.паре

двойственных

условий ограничение (6.3) -

закреп­

ленное,

то

есть

х^

= 0,

то

ограничение (6.5) свободное,

то

есть

./ .

а;.

У '

ч

с:

-

85

-

Вводим дополнительные переменные

и х^,

которые и прини-

маем за

базисные:

(7.5)

f- xj

-

4 Х 2 + Xj

=

-

12 ,

l - 2 X j -

x2

+ Х „

Используя условия (7 . Ï),

(7.3) и (7.5), составляем исходную

симплексную таблицу

(7.1)

Таблица

7.1

jБазисные

Свободные

j

. X

I

x 2

x 3

x 4

с к с

переменные

члены

Г

'

і

-

12

i

-

I

О

I

0

-16

1

-

6 î1 - 2

-

I

ô

I

\ - 8

1 ( X )

. 0 1 -10

-12

0

0

-22

Ѳ

3

-

-

-

В таблице 7.1

в индексной

строка все коэффициенты неполо­

і п і п ( 4 £ * I r J 2 - = т Ш ( і о ; 3 )

= з .

Примечание

I .

Псевдоплан

соответс твует точке

пересечения

ft

независи­

мых гиперплоскостей, из которых

m

гиперплоскостей

отвечает

условиям

2 _

а^?

= в-^

,

где

,

=

1,2, . . .

,.щ

» а

Л-ІЯ

соответствую/свободным-переменным.

В общем случае

точка

X,

соответствующая

псевдоплану,

лежит вне выпуклого

многогранного

множества

W

условий-ограничений

задачи.

Таким образом, в методе

ПУО приближение

к оптимальному

плану осуществляется не изнутри многогранного

множества ѵ /

,

как в методе последовательного улучшения плана, а извне.

Примечание

2.

Если-в исходной системе ограничений имеются и уравнения

вида

а

Х І +

a L2 х 2 +

**« +

а 'ш х л

=

*1

'

то каждое

такое

уравнение .можно представить в виде двух

неранев>

ств

противоположного смысла:

I

а і І х І + а

[ 2Х2 +

+ " а ІПХ 1 ^ B t •

a-^Xj.t

а . 2Х2 + . . .

+ a - n х„

>

в.: ,

и при решении задачи линейного

программирования методами

ПУО пре­

образовать

их к виду :

1

а і Д х І

+ а

L2X2 +

*** +

a'i.n X f l

-

в і -

-a.^jXj

— а^ 2^2.

• *•

^іП

^

с '

а затем уже ввести дополнительные переменные.

'

Такой

прием позволяет избежать

введения в задачу

искусствен­

ных переменных',

но при этом происходит

возрастание

числа

ограни­

чений

задачи

линейного

программирования..

Примечание

3.

Для приведения системы

уравнений к системе

неравенств

суще­

ствует

и другой

путь. Предположим,

что система ограничений

задана

в" виде

(7.ь).

-

88 -

(7,6)

a I I * I * A I 2 X 2

ІП n

a m I X j + a^Xg + . . . + amxn

=

um •

Тогда ІІЫ кожей запенить

каждое

уравнение

неравенством со

знаком

11

—

а сумму уравнений записать, с противоположным

знаком

"

^

"« Тогда

система

уравнений

(7.6)

может быть замене­

на системой

неравенств

(7.7)

а 2 І х І * a2.2?2 +

••• + а 2П Х л -

в 2

<

(7.7)

a^X j + в(п^г

+

. . . + a m n

хп^

в*п ,

,

t1

m

m

«n

( I I a Т ) х Т + ( j : аі 2 >х 2 +

— . +

С 2 Z а і п

в.

Использование этого

приема позволяет избежать

введения.в

основных

форы.

I .

Задача

линейного программирования, заданная в произволь­

ной форме, записывается в виде (7.8)

- ( 7 . I I )

(7.8)

L

С» -

А- ° Л

(пик (или

rrùn )

при следующих ограничениях:

(7.9)

а?

t

»

где.!

1,2,

к

4= в

(7.10)

^

а.^

х^. = в-

;

где і

=

к+І,

к+2,

(7.11)

7 X | è O

. г д е ;

=

1,2,

. . . , П

,,

Ул

*

*

(7.13)

21

а

; ,

х-

^

в-

,

где ^ =

1,2,

. . . , т

;-./

У

^

ь

(7.14)

Xj, .^-

Ü,

где] ,

=1,2, . . . , n

3.

Задача

линейного программирования,

заданная в каноничес­

кой форме,

записывается

в виде

(7.15)

-

(У.17)

и

(7.15)

І

(X) =

1_.

с. х- —' ma»

(или пил)

(7-Іь)

2_.

а-,

х-

=

в.

,

где I

-=

1,2,

(7.17)

Xj_

^

0

,

где ^

=

1,2, . . . . п

Задача линейного программирования в симметричной форме записи

вида

(7.12)

-

(7.14)

может быть приведена к канонической форме

вида

(7.18)

-

(7.20)

путем добавления дополнительных переменных

у.

^

0,

где

I - 1,2,

. . . , т

, то

есть

(7.18)

L

(X) =

я

с. х;—> те м

(или т^п

)

2—

_h_

У1

*.

1

(7.19)

2 _

а -

Х | +

=

г Д е

і,

= 1.2,

(7.20)

Г

х^

À

0,

где j,

=1,2,

. . . , П

Точно также задача линейного программирования в каноничес­

кой форме записи вида (7.15) - (7.17) может быть

приведена к сим­

метричной форме в виде

(7,21) -

(7-24);

h

(7-21)

L

(X) =

Z I

с-

х- -^» max (

или mm)

(7.22)

>_ а-г

X.

^

g

, где

l = 1,2, ... , ^

(7.23)

-

I=f(

V

a u )

х Л ^ - ^ 6 ,

(7.24)

Xj_

^

0,

где j , = 1,2,

При этом система ограничений (7.22) - (7.23)

эквивалентна

системе

ограничений

вида

(7.7).