книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

ства допустимых решений ( 2 . 2 ' ) ;

при

этом при решении на максимум

выпуклое множество

долине

быть

ограничено сверху, а при решении

на минимум - снизу.

Если

функция дели принимает экстремальные

значения более, чем в одной угловой

течке, то она достигает та­

кого же значения на всем

множестве,

являющейся выпуклей линейной

комбинацией этих угловых

точек.

Доказательство.

Для определенности

рассмотрим

случаи максимизации функции

"Н". Пусть Хр Z^,

. . . s

-

совокупность всех

угловых

точек вы­

пуклого множества

допустимых решений

( 2 . 2 ' ) .

Обозначим через Х0

точку, в которой функция цели принимает максимальное значение в

данном мноЕествѳ \ у • Тогда

[_ (

% ; -

M и для всех

XÊW

име­

ет место следующее

неравенство

[_

(.jQ)

^ U ( X . ) :

Приступим к доказательству

первой

части теоремы от против-

- ного,

то есть допустим,

что

функция

цели достигает

своего макси­

мума

не в угловой

точке.

При таком допущении точку

Х0

можно

пред­

ыого ыноаества

У/ ,

ю- есть

(2.10)

х 0

= <Ц. х х

+ hzh•+

••• * J ^ L X " L *

•••

+ < Ц Х ? '

где

• Ь

^

0 .и

S

<Ы

=

I .

Тогда'значение

функции

цели в точке Хв

будет

( 2 Л і )

L с ѵ

= Ь ч і - А

*JLi 2h *

•••

+ < Ц Х г

)

(2.12) L e V

=„_,-_. о - )

+j_/2- L о у

+ - + й

і

а г

) .

Если

функция цели

L (X)

принимает

в точке

XQ

максимальное

значение,

то,

считая L (Х',<)

наибольшим

значением

среди

і_ ( X' L )«

где 1=1;

2,

Z .

а к £ і,

. находим •>

(2.1 3) L ( J Ç > ^ j - , * L ( Хк ) + J_г* L. ( Х!к ) •+ . . . + j L r

Ц £ К ) =

= a , + J L , 2 +

+

J-? > L ( ) C K ) -

L ( X K ) .

то

есть

(2.14)

L ( X 0 )

- е | _ ( Х * )

или

(2.1b)

L ( X K )

^

U -

Мы пришли к противоречию. Следовательно,

точка

Х 0

монет

быть только лишь угловой точкой

выпуклого множества

решений W ,

то

есть

(2.16)

L

( Х ^ )

= L ( X K > = M <

Таким

образом

существует

по крайней

мере

одна угловая

точ­

ка y._Y . й

которой

функция

цели достигает

своего

максимума.

Докаяем

теперь вторую часть

теоремы.

Пусть

функция цели

L

( X

)

достигает

максимума

в точках

Хт_, Х^, ••• xj>

•* r i

- e

l - é z

"и пусть

(2.17)

L

( X ,

)

=

L O Ç )

= •••= L

CX.)

=М

Составим выпуклую линейную комбинацию этих угловых точек

(2.18) X =<цх, + і . - 2*^2 +

••• +

і-е

х е .

гдеЬ

à О И

_

"-I

тогда

L-I

L

(2.19)

L ( . x ) = і - с ц - х ; +

J - 2

X 2 + - - -

+

JUgXe

)

=

= ( J - i

+ i , 2 +

••• + i - e

>

* M

« м ~

Теорема для случая максимизации функции целя доказана.Анало­

гично

можно провести

доказательство

и для случая минимизации функ­

ции

цели.

- 22 -

Согласно этой теореме нахождение оптимального решения

(плана)

можно ограничить перео'ором лишь конечного числа угловых

точек (вершин) выпуклого

многогранника

допускаемых решении.

(

Теорема

3.

Для

того,чтобы точка

X = ( х р Х 2 ,

. . . ,х-,. , . 0 , 0 , . . . ,0) . ,

( 2 . 2 0 )

Xj

*

ï j

+ х 2 * l u

+ ...

+ х.:

*

I z

= в

и

( 2 . 2 1 )

х-.

*

0 ,

где

г

= 1

, 2 ,

,

с

)

Из этои теоремы вытекает, что число базисных решений (опор­

ных планов)

задачи

линейного

программирования

равно числу вершин

вует

и такая, в которой функция

цели достигает своего

оптимального

значения (или максимального, или минимального).

Длн получения оптимума нужно исследовать значения функции

цели лишь в вершинах выпуклого многогранника решений,

тоесть

только те опорные .планы, каждый

из которых определяется

системой

£

линейно-независимых лекторов.

В рассматриваемой системе

( 2 . 2 "

) из И векторов

содержится

не более С^ систем,каждая из которых

состоит

из ^ линейно-незави­

симых векгоров,го есть число опорных

планов не превышает G

В практических задачах значения

П и Z

таковые,что

яв­

Ö 3. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД

Графическим методом можно решать задачи

только в двумерном и

в трехмерном пространствах. Наиболее наглядным

является решение

Сформулируем

задачу для этого случая.

Необходимо

найти

экстремальное

(минимальное

или максимальное)

значение функции

цели

(3.1).

L ( X )

= сj Xj + с 2

х 2

при' следующих

ограничениях:

3JJXJ

+ 3j2^2

"== " I '

2

(3.2)

а ШІх І + a m2x 2

-

Из курса линейной алгебры известно, что множество решений

системы линейных неравенств с двумя неизвестными

(3.2) геометри­

чески представляют собой выпуклый многоугольник.

Из этого множества

рать

из них искомые.

Пример: найти

(3.3)

L

( X )

= 7Xj >

4 х 2 - - > т і П

при

следующих

ограничениях:

.

_

Х І

+ 2х2

k,

I

t3.4)

^ 3Xj * 2x2

^

6,

П

I

X-,

•=»

0.

Ш

чений

(3.4)

; решением

неравенства I Xj + 2

х 2 ^=

4 геометрически

будет

являться

одна

из

полуплоскостей, на которые

граничная пря­

мая х т

+ 2

х ?

= 4

разделяет координатную

плоскость.

Рис. 3.1

Для того, чтобы узнать точки какой полуплоскости удовлетворя­

ют неравенству

I

,

л него подставляем координаты любой

точки, ко­

ординатной плоскости. Если граничная прямая

не

проходит

через на­

чало координат,

то для проверки

удобнее всего

подставлять в

иссле­

дуемое неравенство координаты (0;0).

Еро-ерим, будут ли удовлетворять координаты начала координат

неравенству 1 :

0

+ 2 * О ,

4

Следовательно,

решением неравенства Т будет являться множест­

во точек

полуплоскости,

содержащей начало координат.

На рис.

3.1

полуплоскость решения неравенства Т отмечена стрелками.

Аналогично строим на графике граничные

прямые 3Xj + 2 х 2

= 6

и * 2 = 0

(уравнение

оси

Ох^) соответственно

для неравенств

И и _•,

к находим

искомые

полуплоскости

для каждого

из

этих

неравенств.

(3.4)

ѳделом. Такоиым л рассматриваемом примере будет треуголь­

ник

A B C (рис.3.2)

" X j

+

2 х 2

=

4

,

3Xj

+

2 х 2

=

6

,

2 х І = 2 или Xj = I .

•

•

цели (3.3) в этих

точках:

L a

«

7«

I

+

4

•

1,5

=

13",

с

7*

4

+

4

*

О

= 28

,

[_с

= Т 2 + 4 * О

=

14 .

Сравнивая полученные

значения,

делаем

вывод, что функция цели

'

-

•

Прямую из этого семейства

(3.1),

проходящую

через

начало

координат

(при L= 0),

будем называть начальной прямой

Предположим,

что решением системы ограничений

(3.2)

будет

являться выпуклый многоугольник

А Б С Д Е

и начальной

прямой

функции цели

(3.1)

будет

Ь 0

точке А.функция цели получает

минимальное

значение, то в точке Д

она принимает

максимальное значение.

Б соответствии с изложенным выше можно

сформулировать следую­

щий алгоритм для решения задач

графическим

способом в двумерном

пространстве.

1.

Строим многоугольник решений системы ограничений (3.2);

2.

Проводим начальную прямую и 0 из семейства прямых ( 3 . 1 ) ;

3.

Перемещаем начальную прямую параллельно

самой себе до тех

пор,пока она не займет

положения

опорных

прямых.

4.

Для отыскания искомых

оптимальных

значений подставляем в

( З Л )

координаты вершин многоугольника решений, через ко-

юрые проходят

опорные прямые.

Пример.

Найти

(3 . 5)

L

( X ) = І2х т + 6xp^md<

при следующих

ограничениях:

4£j + х 2

^ 12

, J .

(3.6)

х т

+ 2х.

10

,

Д

2? о

,

ж

Строим прямоугольник

системы ограничений

(3.6)

.

Получаем

многоугольник

О А Б С. Затем проводим начальную прямую

і_0

»

то есть

L 0 =

12Xj + 6х2

= 0. Это уравнение

прямой, проходя-

щей через начало координат. Для ее построения

необходимо

знать

координаты хотя бы еще одной точки. Придадим Xj какое-нибудь

произвольное значение,

например, X j = I ,

тогда

12*I

•

6х 2

=

0.

Откуда х 2

=-2.

Следовательно, начальная

прямая

L 0

проходит

через точки (0; 0) и ( I ; -2).

После построения

і_0

мы видим, что начальная прямая

совпа

I .

L• С

X ) =

IOXJ -

2 х 2

2.

L f

x

>

=

5xj

+

bx2

при

ограничениях:

при

ограничениях:

х І

2хс

I ,

2Xj + 7x2

?

29,

+

X 2 *

X I

H

4 2 *

7,

2xj

+

x 2

^

12,

7xT

+ 2x£ 20

?

29,

5 X j

-

x2

<z

2 '

x 2

i

12.

L С

X ) =

4Xj

+

6^

4.

L C

X )

=

6Xj

+

9x2

при

ограничениях:

при

ограничениях:

2Xj

+

Зх 2

-, I I ,

4х т

-

9x,

18,

1

,

2 _

-

з

,

xT

+

2x2

^ 12,

2Xj

+ 3x2

^

24,

2xT

x 2 3 ' -

. 2xL

+

l 2

* 9.

L ( X ) = 8xj +2x2

L (

X,)

=

Xj +

x2

при

ограничениях:

при

ограничениях:

3Xj

+

2x2

^30,

-2Xj +

x2

4,

4xT

+

x 2

^

4,

X

I

+

X 2

^

I

0 '

> I 2 ,

4xT

+ X 2

Xj - 2x2

^_ 4,

Xj

+

2x2

>

.6.

Xj

+

2x2

>

8.

7. L

(

X )

4

+2x.

L ( X ) =

при

ограничениях;

при

ограничениях:

Зх„

6,

2x.

-<

6,

xI

+

x 2

^10,

2xT

v 2

>$

0,

2Xj

+

3x2

^ 30,

Xj

+

x 2

^

15,

X T

" >

6.

Xj + 2x2

> £0.