книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

- 1 5 0 -

}

. A •

( I -

Ju ) В =Ь С Ю ; 30; 0; 7;

0;

0;

0) *

( I - J *

)>

'(25;0;0;I7,5;

15; 0; 0) = (25-15Д. ; 3

0 ;

0;

17,5

- I0.5JL;

15 - I5ck; 0; 0)

= (X x ; X £ ; X 3 ; Х^; Ц;

X 6 ;

при 0 ^ і , ^

I

При

t =16

максимум функции

цели находится в выпуклой обо!

лочке вершины В и С, го

есть

Л .В + (

I -

А

)

С = А

. (25;0;0;

17,5^15;-0;

0) + ( І - А )

(0;

0; 0;

30;

40; 0; 50) = (25 А ; 0; 0;

30 - І2 . 5 . Х ;

40-25.Х;

0;

50 - 5ОА)=

(Х г ; Х 2 ; Х 3 ; \ ; Ц;

Х& ; Ху) при 0 <

і.

каждой

задачи.

Пример I .

2

X j + 3 Х 2

+ 2,6 х 3

é

2900 + 5 t

у

(I)

4

X j •

5 Х 2

+ 3

х 3

^

3500 + 5 t

,

2,4

X j + 4 х 2

+ 2

Х 3

^

2600 + 4 t

,

8,4

X j + 4 х 2

t 2

X j

<£

2750 + 3 ѣ

,

где

t

€

(-60; 60].

(2)

=

+

I 6 x 2 + Ш

3

~~* m d x

Пример 2

2*1 +

7 x 2 .

5

29 •

4 t

,

(I)

*l*

x 2

^

7Xj + 2x2

=z

29 + 3 t

,

-é.

12 + 2 t

,

где'

t e

( - 5; 5) .

(2)

L(2)'=

2Xj. +

m

l

n

Пример 3

3Xj + 2X2

4,

30 + 4 t

,

-

4Xj +

X 2

Ä

4 + i

,

(I)

<

4Xj +

x 2

?

12+ 3

t

,

- X j

S-

6 + 2 t

,

ГД®

te

( 0; 30) .

-

152

-

(г)

I

(X)

*

3xj

+

x 2

—>

rmn

Пример

4

2

Xj

+

1,7

x 2

+

2,1

x3

+

2

хч

^

125

+

b t

,

CD) h , 5 * l

+

3

x 2

+ 4

x3

t

5

x 4

^

210+

I O t ,

Xj

+

1,1

x 2

*

1,3

x3

+

Хц.

^

70

-

t

,

где

t £

(

-

2»

10 )

(2)

L

С »

-

8Xj +

8х2

+

7х3

+

І0Х4

max

Пример

5

4

Xj

-

9х 2

Ä

18,

-

Xj

•<

х 2

^

3,

CD

2

Xj

+

ЗХ2

^

24,

2

Xj

+

х 2

•?

9.

(2)

L СХ)

= СЗ + t )Xj

+ (4

+

2 t

) х 2 -

mux

где

t 6

Cd5

)

Пример fa

Xj

-

4X2

0,

(I.)

2

Xj

+

3x2

:>

I I ,

Xj

+

2X2

^

12,

2

Xj

-

x 2

г

- I ,

(2)

L

<X>

*

(5

+ 2 t )

Xj +

(3

+ t

)

x 2 - ^

lT»-n

где

t

e

(0;

6)

Дискретное программирование - один из наиболее молодых,

перспективных и бурно развивающихся разделов

математического

программирования. Методами дискретного программирования могут

быть решены такие задачи, как, например, задачи планирования

перевозок, задачи

размещения и специализации

производства,задачи

теории расписаний,

задачи

о наилучшем распределении памяти ЭВМ

и т . д .

Наиболее изученными

задачами этого класса является целочис­

тельные

требования неотрицательности.

Запишем общую задачу целочисленного линейного программиро­

вания

п

Найти (10.1) I

(X) = 1_ С

X,—» mùx

(или

rnwi

)

при следующих ограничениях:

1

(10.2)

TZ

х^ é

Ü-L

,

где

L = 1,2,

m

,

(10.3)

x j , è

о

,

где y

= 1,2,

n ,

(10.4)

х^

- целое

,

где

j_

= 1,2,

. . . . n,

( n,

n ]

В том случае, когда условия целочисленности наложены на

все

переменные, мы имеем дело с полностью целочисленной задачей

линейного программирования, при этом

Й = п когда не требова­

ния

целочисленности наложены на отдельные переменные - с частич­

н о

целочисленной задачей линейного программирования, при этом

я,

^ п .

Если в системе ограничений (10.2)

среди коэффициентов ил

-

156

-

Определение.

Каждое число X моино единственным способом разложить на

два слагаемых

(10.5)

X =[

X ]

+ <{ X } ,

где £ X J - наибольшее

целое

число,

непревосходящее

^

, а

{ х }

-

дробная часть

числа

X

,

удовлетворяющая

условию

Например,

£ 5 , 6 ]

= 5 ,

.(

Ъ,ьу

= 0 , 6 ,

[ - 4 , 3 ]

=

- 5 ,

< - 4 , 3 }

=

0,7 .

Рассмотрим

алгоритм Гомори для решения полностью целочис­

ленной

задачи линейного

программирования,

то есть задачи

( 1 0 . I ) -

- ( 1 0 . 4 ) .

Этот

алгоритм

основан

на теореме, позволяющей

"отсекать

оптимальный нецелочисленный оперный план задачи линейного про­

граммирования,

не "отсекая"

ни одного целочисленного

плана. Если

ряет любое

целочисленное решение из допустимого множества планов,

но заведомо

не удовлетворяет полученное. После введения этого

вания вида

( 1 0 . I ) -

( 1 0 . 3 )

до

получения

оптимального

решения на

"к"-ой и іерации.

Если

полученные

при этом

свободные

члени B J ( K ) ,

В ^ ^ ^ , . . , ,

в , , . ^ , С о ^ - целые, то найденное решение

яиляегся

и онтималь-

ным планом

исходной

задачи

( І 0 . І ) - ( І 0 . 4 ) .

Если не среди чисел

-

157

-

ijM,

, . . . , в,п^к ^

есіь

нецелые,

то переходим ко второму

іункіу

алгоритма.

2.

Пусть нецелым является в>

югда окаймляем симплѳк-

нием,

строкой

(к),

lfio.6)

УІ =

n

у

-J

Чі

"іг

и единичным

столбцом

вп + т + \

• -В (Ю.6)

является неотри­

цательной целочисленной

переменной.

[быгь допустимой.

і

i

3- Условимся называть

большой итерацией последовательность

i

'преобразований, необходимых

либо для получения из имеющейся оп­

ничений вида (I0.2J.-

!

Последовательно

преобразуем

симплексную таблицу, полученную

I

после

окаймления

ее

строкой

У-

и столбцом

Cnrrnt-i

методом

последовательного

уточнения

оценок до тех

пор, пока эта

таблица

ных ограничений, то есть выполняем большую итерацию.

При этом

на первом шаге большой итерации из базиса обязательно

выводиі-

-

158

-

Процесс повторяется либо до получения оптимального целочиі

ленного

решения,

либо до выявления несовместности исходных огр]

ничений.

Примечания ко второму пункту алгоритма:

а)

Если все в ^ к ^ - целые,

a С о ^ - нецелое число, то к таб­

лице приписываем

вместо

У^

строку Уо, то есть

СЮ.7)

Уо = - {

СоС")}

-

( - . { C j M y x j . - { C 2

W } х 2

-

j C n ^ J - Хп^

,

где Уо имеет неотрицательное

целочисленное

значение;

б)

В этом случае,

когда

в оптимальном нецелоаисленном плане иыі

ется несколько

дробных

свободных членов, то выбор числа і для

(10.9),

где

(10.8)

{*Ц(К)} h * {аіг}*2+

~-

+

{ аЩ±

(10.9)

{Ст ("> ] Х т + { С 2 ^ } х 2

+ . . .

+

{ С л ( к ) ^ { С о ( К ) } ,

іостями

многогранника ограничений,

связанными с

расположением

j нем целочисленных точек. Выявление таких

особенностей пред-

зтавляет

большой теоретический и практический интерес,

поэтому

для первоначального ознакомления можно рекомендовать выбор |

либо

как

минимального номера, для

которого

в ^ к ^

- нецелое, либо

номер

і

выбирается для свободного

члена с

наибольшей

дробной

частью.

Примечания к третьему пункту алгоритма

а) Признаком отсутствия целочисленного решения служит

появление

ная Ук вновь вводится

в базис,

то ее значение оказывается бел-

различным для основных переменных задачи,

поэтому строка и сіол-

бец соответствующие Ук, могут

быть вычеркнуты при дальнѳйаѳм

решении.

При решении задач

целочисленного линейного программировано

в симплексных таблицах

индексную строку, соответствующую коэффв-

циентам функции цели,

удобнее

записывать

в верху таблицы.