книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

- 202 -

_ 203 -

Сіраіѳгия

определяется набором допустимых

значений

x-L

і р м е

следующим

образом:

^пользования

количе-

'

наибольший

общий доход

W

°

( L =1,2,•••» n )i являющихся решением имеющейся системы огращ

Найти к . » .

чений задачи динамического программирования. Идея метода динащр3

ресурса X первыми

п

различными способами

ческого программирования

заключается в том, что стратегия на

а з . i )

/ B c » - S x T 4 ë ï i ^ ) j

L -том шаге

выбирается

с учетом

последующих за ней стратегий

ри сл

едующих

ограничениях:

Оптимальная стратегия выражается системой

значений

Х{_

о

= x

(13.-2)с-і

E Ï ,

равно 1 и

I

p G C 3 p

c 0 B

( І =1,2,..., n ) , удовлетворяющих

имеющимся ограничениям, при

іо есть

общее

количество

=

1,2,••• '

которых функция цели

задачи динамического программирования дост]

(13.3)

О, где

гает экстремума

(максимума или минимума).

Задача

распределения

ресурсов.

U e ,

связывающее

ff K l1

J ^ <

^ ( Q

^ ^

é

*

1 п

способом

( 0 ^ x K é X),

_ количество ресурсов, используемого .

^

_

количество

остается

величина ресурсов, у

Пусть имеется некоторое

количество ресурса

X, которое можно *0 д л я

(к-І) способов

ресурса

Г

-

можно

получить

при использовании

использовать

и

различными способами. При этом ресурсы могут баи

самые различные

(земля, машины, денежные средства и т.п.) так se ( X

_ Х к )

от первых

(к

I )

к _ . о v п е р в ы

х ( к _ І }

с

п о

с

0 б о в ,

как и способы их использования. Введен обозначения:

Д ] І „

максимизации

Сварного

до»Д

соотношение:

х-

- количество ресурса,

используемого по

'L -тому

способу

еобходим

выбрать

xR

каким

образом,

чтобы

юдимо

B M U J ; » - -к

( І. = 1,2,..-i

m ) ;

(13.4)

9i

^ ~" Ф у н

в д и

я полезности, равная, например,

величин^где

к = 2 , 3 , . . . , и .

дохода от использования

ресурса

х^ по L -тому

способу;

Задачи по распределению

ресурсов могут решаться не только по

^ к (х)

-

наибольший доход,

который можно получить при ис

пользовании количества

ресурсов X от первых "к" различных спосо­{отысканию максимума

функции

цели, но и по критерию минимизации.

бов.

^Введем для удобства

следующие

обозначения:

Если в задаче рассматриваются

ресурсы нескольких

видов, то

X - количество распределяемого ресурса,

которое

можно исполь-

предполагается,

что все доходы измеряются в одинаковых

единицах

зовать

X: Г)

различными способами;

и общий доход равен сумме доходов,

полученных от использования

}

-"г

-

количество" ) »

ресурса,

используемого

по \ -тоцу

способу

каждого

способа. Необходимо максимизировать общий доход от исполь-

( 1

=

'

до"

функция

расходов,

равная, например,

Величине затрат

зования

ресурса

всеми

способами.

•

' 1

„„ ,-ппплъзовании ресурса х;,

по j,

•тому способу;

:

на производство

при ілпол

Сформулированную

выше задачу можно записать

в математической I

•

(13.1)

^

(

«

^ x t ê î i W }

при следующих

ограничениях:

(13.2)

И х . -

= X

и

(13.3)

х ѵ -

° '

г д е

І- =

І ' 2 ,

n

"

Тогда

рекуррентное соотношение,

связывающее

-f< ( X ) и

^ . |(

X )

для случая

минимизации

примет

следующий вид:

(13.4*)

- f K ( x )

= ^

П х

{ ^ И +

^ ( Х - х , ) ]

где

к = 2,3,

. . •

, п •

Рекуррентные

соотношения вида

(13.4)

и (13.41 ) являются ос­

новными в динамическом

программировании.

Они позволяют, вместо

Для упрощения расчетов

будем предполагать, что распределение

капиталовложений должно проводиться в целых числах,

то есть

s = 0,І,2,3,4у5»6,7,8,9,І0

денежных

единиц. При этом

значения

^ ( х : ) приведены

в таблице

(13.I).

-

205 -

Таблица

13.1

X { 0 1 I I 2 І

3

4 ! 5 j 6

j 7 j 8 j

Э I 10

<j,(X){

0

JO,42

0,59

'

i

1

1

1

ÎI.52

C,V9 0.92J

ï , C 4 J l , I b

!1,2УЦ,37|1,4ь

î

j

І

'

1

'

0

і0,39'0,55

C,b9

0,79J

C,89J0,94

jC,99|I,C2jI,04

jl,C4

£3 (X)

0

j0,2SJ0,39

I

1

•i

C,bbjc,b4j

C,VojC',SY

Jo,9b

І,04ІІ,І0

|l,14

ач(Х)

0

1

S

0,5b

0,b2

1

\

j

(0,96

0,34J0,45(

0,b7j0,70

J0,Y2

0,79J0,85

Для решения задачи будем использовать

рекуррентное

соотношение

(13.4).

Очевидно,

что

если

капмталовлоиенкя

выделить только

первой

отрасли,

то

f. (X) = >"«Л

'û,(x,.)-Q,(X>

капиталовложений

только между

первыми двумя отраслями. При этой

(13.4)

будет иметь вид:

Для дальнейшего

решения дополним

таблицу (13.I) строками для

заполнения значений

f~

(X)

и х^

. В

полученную таблицу

(13.2)

будем

записывать

результаты

значений.

Очевидно,

что

fg (0)

= 0.

Чтобы определить

| 2

(I) надо вычис-

ЛИТЬ

\U(І)

+

Ь (0)

=

0,35

+

0

=

°*3^' пш х г = Іѵ'

]_р W

+

f Ш

= 0

+

°.^2 -0,42, при х 2

= 0

,

следовательно,

\S$

{h

^

+

/•

= 0,42,при ъ

ш о.

- 206

-

Вычисляем

$п(2):

fjjj С2) t

f, (С) = 0,55 + 0 = 0,55,

при

х 2

=

2,

J jjj (I) + /. ( I ) = 0,39 + 0,42 = 0,81,при

х 2

=

I ,

I^S, (0) *" f, (2)

= 0

+

0,59 = 0,59,при

х 2

=

О,

следовательно,

^ ( 2 )

= WOÄ

J j a

(х 2 ) +

f,(2 - x 2 )j=

0,81,

при х 2 = I .

Аналогично

вычисляем

f;?(3),

•••

,

fz

(10)

и найденные

числа

заносим

в соответствующие

клетки

строк

fz

(X) и х 2

Таблица 13.2

i

Ю і I ! 2 f 3 f 4 * 5 ! 6 ; 7 і 8 : S

l

х

10

I

!

I

1

•

i

i

i _

1,52

=

ОДх)!°і0,42Іс*5*

С,52ІІ,С4!і,І6

j 1,27! 1,37;i,46

1 i

-

i'

ii

ii

;'

ji

1

? Ä

(X)

!0

J0,3S|C,55

!

0,79!С,Е9|0,94

!

jO,S9jI,02iI,04

1,04

i

t

i

I

i

i

0

i 0,2910,39

С 5 5 ) | 0 , 6 4 ! 0 , 7 б ] 0 , 8 7

j Q,9b\I,

C4JI,I0, 1,14

0

0,45

0,56

•

i

!

І

1

0,62| 0,67,-0,70

;С,72!С,75ІС,Ь5!0,56

I

i

i

;

i

h w

0

jC,42JC,8I

JC.98

І,І8ІІ,34|Г,48

!l,6l|i,73ll,85jI,S6

x 2

! •

Г

i

f

i

!

'

0 j 0

I

1

2

3

1

3 j 3

3 ; 3

i

i

!

1

1

!

M »

o|o,42

0,81

j l , I 0

1,63

1,2711,47

!l,77,! I,:0i2,03!2,I6

i

о ! i •

1

I i

i •

{I

f

ъ

0 j 0

I

I

I

I j I i 3 i 3

f

!

І

1

fyCX)

0

jO.42 o,ei

1

1,44 I , 6 I | I , 8 I

j i , i 5

|I,?7j2,II!2,24j2,37

H

0 j 0

0

I

I j . I j I

j I j I j I

I •

Строка x2 определяет оптимальную стратегию,соответствующую

максимальному

доходу

^

(X)

при данных

капищлгдвлонеппях

только в

первые две отрасли,

при этом число,

находящиеся в строке х 2 показы­

вают величину

капитальных влокинпЯ во вторую

отрасль.

*

- 207 -

Например,

если в первые две отрасли вместе вложить 10 денежных

отраслями. Вычислим, например,

. А

(4) :

+ f. G»

=

0,64 + 0 = 0,64,

ПРИ Xj

= 4,

*№

=

0,55 * 0,42=0,97,

ПРИ Xj

3,

<

= 0,39 + 0,81=1,20,

при х^

2,

+ +V3)

=

0,2S + 0,98=1,27,

ПРИ Xj

= If

ЗзСО)

+ hw =

0 + 1,18'=

1,18,

ПРИ X-j

= 0,

следовательно,

fee*)

= max

f o 3

(x3 )

x 3 ) l

= 1,27,

при х 5

= I .

Аналогично вычисляем все значения

fj №

0 /•

X ^ 10 и

заполняем

строки

и х з

таблицы

( Б . 2 ) -

Таким образом, оп­

тимальная

стратегия при распределении

капитала X только между

первыми

тремя

отраслями

наьдена: х 5

= 3; х 2

=* 3 и х т

= 4 ден.ед.

На

следующем этапе

находиі.; оптимальную

стратегию распределе-

-

208

-

Вычислим, например,

f4

(5)

:

' у„(5) + ft (С) = 0,67

+

0

= 0,67,

при х 4

=

5,

<jv(4)

+ f, (I)

= 0,62

+

0,42

= 1,04,

при х 4

=

4,

J4 (3)

+ fi (2)

= 0,56

+ 0,Ы » 1,37,

при х 4

= 3 ,

1 J¥ (2)

+ fi (3)

= 0,45

+

1,10

= 1,55,

при х 4

= 2,

<J4 (I)

* f^(4)

= 0,34

+

1,27

= 1,61,

при х 4

= I ,

j«(0) +

M 5 )

=

0

+ І.*7 - It*7, при х 4

= О,

іо есть

f,(5)

=

(^ч (х 4 )

+

^

(5-x4 )J

=

1,61,при х 4

=1.

По аналогии вычисляем все значения

f4

(х) при

0 é

х і

10

и

заполняем

строки

| ч ( X ) и х 4

таблицы

(13.2)-

Ктак, максимально возможная величина дохода при сложении 10

ден.единиц в четьре

отрасли

равна

2,37

ден.ед.

При этом

четвертой

отрасли

надо

ассигновать х 4

= I ден . ед . ,

при этом

^ ч

(I)

=

0,34.

На долю первых

трех

отраслей

остается

+ х 2 +

х^ = ю

-

х 4

= S

ден.ед.

Находим в таблице (13.2)

f,(9)

= 2.03 ден . ед . ,

при атом

Хт, = 3 ден.ед. В первые две отрасли

направляется

Xj + х 2

= 9 - 3= 6

ден.ед.

| 2

(6)

= 1,48

ден.ед.

при х 2

= 3 ден.ед.

Следовательно,

в первую отрасль

необходимо

направить Xj = 6 -

3 = 3

ден.ед.

Таким образом,

оптимальная стратегия заключается в распределе­

нии

капиталовложений

следующим образом: Xj = 3 ;

= 3> х^ =

3;х4 =І.

При

этом

от

отраслей

будет

получен

доход:

(j, (3)=

0,79;

$г(3)=0,69;

^(3)

=

0,55;

д ч (І )

= 0,34.

всего 2,37

ден.ед.

Соответствующие

величины доходов

от использования

капиталовло­

-

209

-

іак, чтобы обеспечиіь экстремум функции

цели за Два последних

шага

и т.д.

Решение,

приведенное в таблице (13.2),

позволяет

выбирать

оптимальную

стратегию и в тех случаях, когда

объем капиталовложе­

ний будет составлять

не

только 10, но и S>,8,Y,t> . . . ден. единиц.

Например,

при X = 8, по таблице

(13.2)

находим,

что Д ( 8 ) =

=

2,11,

при х^ = 1. На долю

первых трех

отраслей остается 7

денеж­

ных единиц,

при этом

-/І (У) = 1,77,

при х^ = I . На долю первых

двух

отраслей

остается о денежных единиц, при этом

(ь) »

1,48,

при

-

3-

Следовательно,

в первую

отрасль надо направить

капи­

таловложения

в количестве трех денежных

единиц, то есть х т = 3.

Таким образом,

оптимальная

стратегия

при X = 8 будет

следующей:

Xj = 3,

х 2 = 3,

х 3

= I и X/, s i . При этом

у х (3 ) = 0,75; ^(3) =

=

0,ь9;

^(1 )

= 0,29

и

# у ( І ) ~ 0,34,

то есть

^ ( 8 )

= 0,79 +

+

0,ь9 + 0,29 + 0,?4 = 2,11

деи.ед.

Задача

о загрузке

корабля

Требуется

загрузить

корабль

водоизмещением W тонн. На при­

стани

имеется

Я

видов

неделимых

товаров,

например,

станки,

холо­

дильники, шкафы и т.п. Для единицы груза

t

-того вида

заданы его

цена

с '

и вес

р^

. Задача состоит

в том, чтобы загрузить ко­

щѳния и чтобы ценность

загруженных

вещей была бы наибольшей.

Если через % .

обозначить количество предметов

с -зво типа,

загружаемых на корабль,

то математически

задачу

можно

записать

следующим образом

Найти (13.5)

= m

ß

X

{ І

= W " X

* 5

С'ЛЛ

при следующих

условиях:

(D . b)

~r.

р,

X • £ W

, ю есть вес груза не может

L

1

превышать

.водоизмещения

L ~

корабля;

- 210 -

(13.7)

x.и SM 0 , 1 , 2 , . . °

» so ѳсіь предметы неделимы.

Решение начнем с рассмотрения случая загрузки корабля прадме!

гани только пѳрього

типа при условии

(13.8)

Pj Xj ~

и

(13.9)

xj=

0,1,2,...

нувно найти (13.10)

f. M) - max g. (x/* mtfx (c,x; )

Из (13.8)

следует,

что Xj

^ Ä L , a для нахождения

максимума Xj

ВДЖНО ВЗЯТЬ ВОЗМОЖНО бОДЪШИМ,-'

ТО ЯСНО, ЧТО Xj =

j^'p^"

• Г Д 9

W

1 есть

наибольшее целое число, не превосходящее

у£.

•

Тогда

(13.10) MOSHO переписать з виде

(13. I I )

f ДѵѴ> С, •[ ѵ £ |

где

fi(y{)

есть ыаксимальная

ценносіь

груза,

если корабль

загружа­

ется грузами только первого типа.

Будем рассматривать теперь загрузку корабля предметами только

первого

и второго

типов. При этом веі. предметов

второго типа

будет

равен

Р2Х2,и, следовательно,

предметов

первого

типа

можно

загру­

зить

тогда

несо* не более, чем ( ѴѴ- Ѵ^г^'

Т

о г д а

максимальная

ценность загружаемых предметов первого типа

будет f, (ѵ^-ргхі)

» а

общая стоимость груза,

состоящего

из предметов первых двух

іипов

Остается, определить х.,. Ясно,

что величина

(13.12)

ЪМ=0ю«*{ь(*г)Ч,

(«-Pi**)}

?о?йа для

к-вого

шага

моано

записать

rge

$ (w\-

ааксимальная

стоимость

груза,

состоящего-из

1 К Ч

;

предметов

керзых "к" типов;

$я{Ді)-Сй*аГ отсамость вместе вэяівс предметов к-го гипа;

P. JW„ w у

«акешальная

сгошосгъ

груза,

состоящего

из предмегоь

Т и ѵ * а а р д а х

£ s - ïj

8инол с дбщим лесом

не более

( vV- PE _xR ).