Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2417 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

- 160 -

Пример Найти максимум функции цели

(10.10) L (X) '= IbXj + Эх2

при следующих ограничениях
(10.11)	\| 5	Xj	t	2 x 2		é	20,
	j	Xj	+		X2		^ 6
(10.12)		X ^ O K			Ï	J	0
(10.13)		Xj	и х 2		-	целые
Решение.
Полное решение				задачи			приведено в таблице (10.I).

В первых трех таблицах решение проведено методом последовательной

улучшения	плана. Полученное оптимальное решение L (X) = 72 ^ при
Xj = 2 ^	и	s 3 £ не удовлетворяет		условию целочисленности.
Из нецелых чисел			(72 £ ; 2 ^ ; 3	£ ) первым по номеру явля
ется значение		функции	цели Со. По этой строке формируем дополни

тельное ограничение вида (10.7), вводя неотрицательную целочислен ную переменную Уо.

Т „ - - { 7 2 ? } • ( î ) - i * l J ï b * f 4 ,

•- \ - < - J * 5 - K > -

Полученным ограничением Уо, а также единичным столбцом (0;С;0;І)! >' окаймляем третью таблицу. Теперь мы имеем дело с псевдопланом, так как симплексная таблица стала недопустимой.

- 1 6 1 -

Тао'лица

I C I

] Базисные

Свобод-

X I

x 2

x 3

x 4

іперемен-

ные

чле-І

j ные

ны

L U )

-16

J i

Табл.

го

...

L U )

-2,6*

3,2

—i»

0,4

о,г

Таил.

-0,2

<&)

;

13.

- -

* i

2 2

_ i

—

3 .

~ »

_ _ T J . -

° . _

Табл.

Уо

- 1

У 1

L (X)

-..Таил.

;

X ,

- I

" (•

•

- i

x 2

-3

Методом последовательного уточнения оценок не пересечении

строки Уо и столбца х^ находим генеральный элемент и осуществляем

переход к следующей симплексной таблице, а четвертой таблице полу

чено

оптимальнее

решение

(X) =

при Xj =

2 и

удов

летворяющее условию целочиелейности. Следовательно» исходная за

дача

(10.10)

решена

полностью.

Ки-ъно

- 162 - Рассксіри:» геометрическую иніернрсіацнв решения задач цело

численного линейного программирования на рассмотренном выше при мере.

На рисунке (К.1) построен многоугольник решений ОАвС, сооі лсісівуюткй системе ограничении (10.II)-(10.12). Координаты вер шины ь (3 ^ ; 2 £ ) удовлетворяет нецелочкслзнноцу максимальнойу значению функции цели, равному 72 |» .

Р и с -	І 0 - І				Рис.	10.2
	Построим дополнительное				ограничение		Уо І ; 0.
Уо =	- f + J х 3		+ 4 X i f = -	I +	^ (20 -	bxj	-	2х2 ) + f-	( 6 - х г х 2 )
= В - 2X-J- -			Х 2 4 <-!•
	Ва рис.	(10.2) построена			граничная прямая Е С, соответствую
тая	уравнению	2x-j- + х 2 =		8. Дополнительное				ограничение	Уо è 0 от

		- 163	-
секло os множества планов задачи нецелочисленный план с верши
ной В, но неотсекло ни одного			целочисленного плана. Ъ результате
получили многоугольник ПЛЕС. Координаты вершины 2 (2; ;ь)						удовлет
воряют наибольшему целочисленному значению функции цел*;, равно
му 68.
В n -мерноы пространстве рассматривается множество целочис
ленных точек, содержащихся в			выпуклом многограннике >л/л			системы
ограничений (10.2)		- (10.4).	Если бы удалось заменить		ыногограк-
I ник Wn	выпуклой	оболочкой его		целочисленных точек,	то	есть	сово-
I купнестью	асевезиокных выпуклых			комбинации, сг ставленных		кз	цело

численных точек множества, то, очевидно, ЧТО получаемое симплекс ным методом оптимальное решение этой видоизмененной задачи было бы целочисленным и служило бы оптимальным целочисленным решением ис ходной задачи ( Ю Л ) - (10.4).

ьвиду трудности построения этой выпуклой ouелочки строим промежуточный многогранник, охватываюсь, ее и содержащийся в Wh .

В алгоритме Гомори это осуществляется путем введения на каж дом шага дополнительного ограничения, которое уменьшает много гранник Wn , отсекая некоторую его часть, не исключая из него целочисленных точек. При этом гиперплоскость дополнительного линейного ограничения проходит хотя бы че;.ез одну целочисленную точку.

			-	16ч	-
	Графический		метод'решения			задач	целочисленного
	линейного программирования с двумя переменными
	Рассмотрим задачу целочисленного линейного программирова
ния	вида (1С. 14) -		(10-17).
	Найти		I				х 2	rnüx (или mi.n )
	Найти	(10.14). L (X) = Ст х т + с 2					х 2	rnüx (или mi.n )
при	следующих ограничениях:
(10.15)		а п х і +	а І 2 х	2
(10.15)		а 2 І Х І +	а 22 х	2	*	в 2
		а 2 І Х І +	а 22 х	2	*	в 2
		а т , хт + а т г х г				в m
(10.16)					ь 2 -	О
(10.17)		I	2	целые.
	Определение.
	Градиентом функции			L ( X j ,		х 2 ) , заданной в плоскости Xj6x2

называется вектор, показывающий направление наискорейшего изме нения некоторой величины, значение которой изменяется от одной

точки плоскости		к другой.		Если величина	выражается	функцией
I (Хр х 2 ) , то координаты градиента равны						IL
(10.18)	cjiadL		Хт	I k	I
		С	Хт
Длина градиента (скорость изменения величины						U в направ
лении градиента)		равна
(10.19)		=	f	\ J ^ z *	Ц - L - ) 2	'
При графическом споссо'е решения задачи (І0 . І4) - (І0 . І7) в
координатной плоскости Xj 0Х2 строим многоугольник						ограничений
(10.15)-(10.16)		и градиент		функции цели	(10.14). Перемещаем на-

-	165 -
чальную прямую в направлении возрастания			градиента. Координаты
t
вершины многоугольника	решений, наиболее		удаленной от		начала
координат в направлении	градиента, определяют			максимум	функции
цели. В том случае, когда		координаты вершины,		соответствующей
максимуму нецелочисленные,		то необходимо	найти	такие целые числа
которые удовлетворяют исходным системам ограничений (10.15) I
(10.16) и придают функции		цели (10.14) значение наиболее блнМів
к максимальному нецелочисленному плану.

Для этого в многоугольнике решений исходной задачи рассмат

ривают целочисленную координатную решетку. Каждая вершина этой


решетки имеет целочисленные координаты,		удовлетворяющие (10.15)
и (10.16). При отыскании целочисленного		максимума выбираем ту вер
шину целочисленной решетки, которая	наиболее удалена от начала
координат в направлении градиента.	Координаты этой вершины и явля

ются искомыми.

Аналогично решается задача (10.14) - (10.17) при отыскании

минимума.. Целочисленному минимуму функции			цели (10.14)	будут соот
ветствовать	координаты	вершины целочисленной решетки,		лежащей в
многоугольнике решений,		наиболее близкой	к началу координат в
направлении	градиента.
Пример
Найти экстремумы функции цели
(10.18) L	(X) = I5X-J. + 6х 2

при следующих ограничениях: I2XJ + Zx2 :

(10.19) 6Xj - 4Х2 .

<2хт + 4х? " à

4X-J-	-	2х 2	^
-SXj	+	30х 2	^

171,

63,

29,

215

					-	166-
(10.20)		% ^	0	и \	±	О,
(10.21)	/	Xj	и		-	целые.

Решение.

На рис. (10.3) построен многоугольник"решений ABC'DE , градиент функции цели и целочисленная решетка-. •

	Максимум функции цели достигается в вершине С (І2,5;І0,5) .
Он ранен 255,5. Целочисленный максимум			функции цели	достигается
и	точке -лл (12 ; 10), наиболее удаленной от начала			координат
в	направлении градиента,	и равен 240.
	Минимум функции цели	определяется	координатами	вершины А

(3,5 ; 5,5).	Он равен 85,5. Целочисленный минимум находится в
вершине Р (4	; 6) целочисленной решетки, в направлении градиента
и равен 96.

-167-

Уп р а ж н е н и я

	1. Найти максимум функции цели (I) L (X) =			* 2х 2
при	следующих ограничениях:
(2)	I Xj + 52	і	9, •
	[5Х-,- + Х2	і	9,
(3)	Xj ^ О	и	%2 ^ О,
(4)	Xj и х 2	-	целые

Дать

геометрическую

интерпретацию

задачи.

2. Найти минимум функции

цели

(I)

= 5 х і +

8 х 2

при следующих

ограничениях:

(2)

2X-J- + Зх 2

^ 3 5 ,

+ 2х2

Ä 20,

|3 Xj

+ ІОХ2

90,

(3)

XjàO и

X 2 = >

(4)

Xj и

x 2

ц е л ы е

Дать

геометрическую

интерпретацию

задачи.

3. Найти максимум функции

цели

(I) L W

= x-j- -

Зх^ + 2Xj

при следующих

ограничениях:

X-j- + 3X2 + 2X3 =й

(2) <^ 3 Xj -

2Х2

х 3

х 2

+ 5х3

12,

(3)

Х к ^ 0,

где

к = 1,2,3,

(Ч-)

Х„ -

целое,

где к = 1,2,3.

•168-

4.Найти максимум функции цели (I) (_, (X) = 4Xj + х 2

следующих ограничениях: If 4Xj + 2х 2 ^ 7 , 3Xj + 10X2 s; 15,

Xj	^ 0		и	x 2 ^ О,
Xj	и x	2	-	целые.

Дать геометрическую интерпретацию задачи.

5. Упражнения I , 2 и 4 выполнить графическим методом.

-If,9 -

àП . ДРОБНО-ЛМНЕйНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

Сформулируем общую задачу дробно-линейного программирова-

'ния.

Дана функция цели

( I I . I )

(11.1)

с »

j'-i ^ ^

при следующих ограничениях (II . 2)

и ( І І . З ) :

(11.2)

^т, WyK'g

где L =

1,2,

. . . , m „

fll.3)

X :

=rO

где j,

1,2,

il .

Требуется найти такой план X ( х р

х 2 ,

•>-<•, х л

) ,

который

удовлетворяет

системе

ограничений

( I I . 2 ) -

(II . 3) и

обращает

функцию цели

( I I . I )

экстремум.

С геометрической точки зрения решением системы ограниче

ний

( I I . 2 )

( I I . 3 )

по-прежнему

является

выпуклый

многогран

ник V/n » Функция

цели

носит название дробно-линейной,

так как

она

представляет

собой

отношение

двух линейных функций L j ( X ) и

| J 2

(X)* Эти функции, будучи

линейным:'.,

а,

следовательно, не

прерывными, сохраняют постоянные знаки в многограннике решения

Wn • Не ограничивая

общности

рассуждений,

можно

считать

(II.4)

L, g (X) А

іак как знак

минус

всегда можно отнести

к числителю. Случай L 2

ffi

= 0 подвергать

рассмотрению

не будем.

Математически

это несущественно

сужает

решение

задачи,

а в ре

альной

экономике

функция (_*2 ( х )

всегда

отлична

от нуля.

Рассмотрим экономическую интерпретацию задачи дробно-линей

ного

программирования

( I I . I )

( I I . 3 ) ,

которая

позволяет нахо

дить экстремумы многих относительных экономических показателей, имеющих дробно-линейную структуру.

22-3/Ш

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2417 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ