книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

-

180

-

Кз

функции

цели

( I I . 1 5 )

выразг.м

х 2

через X j

(11.18)

12

=

f i

-

° i ' L

, X

l

CT

-

Cr.l

Обозначив

через

( I I . I S )

К = —

получки

C 2 - L

- С 2

(11.20)

Х2

=

K.Xj-.

Уравнение

(11.20)

является уравнением

(С2> L -

c 2 ) 2

Знаменатель дроби

( I I . 2 1 )

всегда

неотрицателен,

а

числитель от

L

не зависит,

следовательно,

производная имеет

постоянный

знак,и

при монотонном

изменении

L

угловой

коэффициент "к"

будет или только возрастать, или только убывать,а

прямая(ІІ.20)

будет

вращаться

а одну

сторону;

я,наоборот,

при вращении прямой

в одном направлении функция цели

L

будет

также

или только

увеличиваться,

или только

уменьшаться. Установив

направление

1. Многоугольник решений W„ , соответствующий ограничени­

ям (11.16) - ( I I . 1 7 ) ,

ограничен. Б этом

случае есть

и максимум

и минимум функции цели

( I I . 1 5 ) .

Стрелки

на графике показывают

направление, в котором надо вращать

начальную прямую для возрас-

іания

функции цели. Так, на рисунке

( I I . I ) ,

если координаты .вер­

шины

2>

сооіветствуют минимуму, то координаты вершины А -

мак­

симуму функции цели.

2.

На рисунке ( I I . 2 )

приведен

случай,

когда множество

реше­

ния*

сооіветсввующее ограничениям (ІІ.ІЬ) -

( I I . 1 7 ) ,

не

ограни­

чено,

но и минимум в вершине л,

и максимум в вершине

%>

имеется.

3.

На рисунке ( I I . 3 )

приведен

случай,

когда множество

реше­

ний,

соответствующее ограничениям (II . Іь) -

(II . 17),

не

ограни­

чено,

но один из экстремумов не достигается, при удалении точки Е

пересечения прямых в бесконечность,

то есть

когда начальная

пря­

конечным, так и бесконечно

большим. В точке А достигается минимум.

4. На рисунке ( I I . 4 )

приведен

случай,ч когда множество реше­

ний,

соответствующее ограничениям

( I I . і ь )

-

(11.17), не ограни­

чено,

но оба экстремума асимптотические.

При YI =з , вместо прямой,

определяющее

экстремумы

функции

цела,

имеем дело с плоскостью,

проходящей через начало

координат

трехмерного пространства. При допустимом

решении эта плоскость

X»

- 183 -

Пример I . Найти

экстремумы функции цели ( I I . I I ) при

ограничениях (II.12)

и ( I I . 13)

Рисунок

I I . 5

Решение. Строим многоугольник АВСД,

удовлетворяющий

систе

і

ограничений

( I I . 12)

и

( I I . 1 3 ) .

Экстремумы функции

цели

( I I . I I )

находятся в

вершинах

В (2;8)

и Д ( 3 ; І ) ,

которые найдены

вра­

щением начальной прямой вокруг

начала

координат. Чтобы опреде­

лить вершину, соответствующую

минимуму,

и вершину,

соответству

пчую максимуму, из

( I I . I I ) выраааѳм

х 2

через Xj-

:

ный элемент

принять

, то переменная х: на следующей

итерации примет

значение,

равное

- t â

» остальные базисные

переменные

будут

принимать

значения

вида

(11*24)

кроме

того в J.-M столбце

этой таблицы все

(Ц^ 4? О. Из (11.24)

видно, что при любом положительном ху

значение

JLn+i

асегда

будет оставаться положительным. Таким образом, переменную Хр

можно уьеличиьать

безгранично, при ыом условие

неотрицательности

остальных базисных

переменных не нарушится.

Выбраь за генеральный

эламент

а^у

, увеличиваем

значе­

ние

Х'у • Тогда на (к + I)

иіерации

значения

числителя

и'зна­

Ц ( к + 1

)

« с С

к )

-

с ? С к )

.

àK)

= с Ск)_ £<*>т

i

Ï

а^і,

• •

ï

'

*

(11.25) <{

( к Щ

-(к)

м

(

X

'

i

= С

C f w

.

5à

-

?(к)_ ЯІ(к)

j .

Овкуда значение

функции цели на этом шаге

5(к)

_ у

(к)

х .

І(К)

-т/•,,•>

Из условия

(11.23)

следует,

что

и Gy

'

одновременно

нулю-равняться не могут,

так как в противном

случае

dp также

обратился бы в нуль.

- 188

Рассмотрим случай, когда

Ш*> ==0о. . Тогда

из (11.26)

полу-

« • ( 1 1 . 2 7 )

I . О Т - 0 W - c f f i . l

В (11.27)

значения

С ^ к \

и C?fK ^

являются постоянными.

Из(ІІ.27)

otj, = С ^ - nU'O

^

0, откуда

О,а (-С ,І(н)

> 0.

Тогда при неограниченном

возрастании s

значение функции

цели

(11.27)

будет

стремиться

к ^бесконечности.

Таким образом,

если в каком-то

из

столбцов

симплексной таб­

лицы на итерации "к" с і ^ 0, a-L^

é

О, bjj-K) = 0,а

С ^ к ^ 0 ,

то сиіш*атического

максимума

нет, так функция.цели (11.26) в

Рассмотрим случай, когда

С?^к^ ф 0.

Тогда из (11.26) найдем

стѳдед,

к которому

будет

стремиться

функция цели при неограниченнон

возрастании X*.

ч'_,28)

^

-

'vim

, . .

£

ê \

C . I ' K )

Установим поведение

функции цели

(11.26)

при приближении ее

- свсеау

пределу

при х —* +

со

Для этого

найдем ее произвол-

яую по переменной

Лу •

~гг -

- 1_і

&ѵ

•

• cl?

.

- г

(

До условию

о1*< О

» поэтому

(

- oî

) >

L

усѳгда больше

нуля,

гогда

производная

л і

f f )

>

о

~ A k

Следовательно,

функция

цели при x^-» * «« монотонно возрастает,

зграмнсь

я своему

пределу

i-j. te)

-

189

Таким образом,

если

в каком-то из

столбцов симплексной

таблицы на итерации "к"

7* <*>.

то в этом случае значение

функции цели

является конечным и рав-

ным

.Jzt

5 который и будет являться асимптотическим

максимумом^

Аналогичным образом

определяется

и асимптотический минимум.

Пример.

Найти

экстремумы функции

цели

при следующих ограничениях

г 4 х т

* Зх.

36,

(I)

Г х .

2

( Г І . З І )

Зх2

б,

(П)

4,

(В)

(11.32)

Xj І

0 и х 2

j G

Решение.

Для заполнения

первой

симплексной

таблицы систему

ограничений "t'II.31)

преобразует к виду

(11.33)

(11.33)

Г

,fxT

- Зх 2

h

=

-36,

i

Х І

- З х 2

+х4

=

-6,

^

' Я І

+

х 2

5

-

-4.

Дальнейшее решение приведено

в таблице

( I I . 3 ) . В первых двух

іаблтцах мы имеем дело

с псевдопланами.

Методом

последователь­

ного уточнения оценок в третьей таблице получили допустимай

лдан. В эвой

таблице в столбце Хд значение ütj. =

- 0,4 4. 0.