книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

(5.4)

а І І х І + а І 2 х 2 + а І 3 х 3

+ X

= Вт , -

а 2 І Х І

а 22Х 2 + а 23х 3

_ а з і х і

+ а 33х 3

" х с

"^Уо

— Вт .

Очевидно^ что если в системе (5.4)

имеются неотрицательные

переменные х^, Ур У2 с положительными

коэффициентами, каждое из

которых входит только в одно уравнение,

то, разрешив

уравнения

системы (5.4)

относительно х^, Ут и У2 ,

получим уравнения с неот­

рицательными

овободными членами. При этом коэффициенты при пере­

менных х^, Ут и У2 образуют единичную матрицу

и поэтому,являясь

линейно-независимыми, образуют базис.

Следующим этапом преобразований является введение искусствен­

ных переменных Ук с положительным коэффициентом M в функции цели.

Для того,

чтобы искусственные переменные не вошли в

оптимальное

решение,

ковффициѳнгам

M придаем произвольно

большие значения, -

рем (+ M ) , а при максимизации (

- M ) .

Для определенности дальнейшего изложения будем рассматривать

случай минимизации функции цели. Тогда (5.2)

запишется а виде(Ь.5]

(5.5) L ( X ).=

с 0 + CJXJ *

с 2 х 2

+ c 3 Xj+ M (yj * У2 )-^mln

Из системы

ограничений

(5.4)

определим

Ут и У2 :

Вводил найденные значения искусственных переменных в функции

цели

(5,5):

L

( 1

)

= с о +

С І Х 1 +

С 2Х 2 +

С 3Х 3 + м

[*2 ~ ( а 2 Г Х І +

t

а 2 2

х 2

+ а 2

3 х 3 )

* в 3

- (ajj-xj +

а 3 2 х 2

+ а 3 3 х 3

-

х ь ) ] . .

После

проведения элементарных преобразований получим (5,6):

(5.6)

L (

X ) = с о +

(*2 +

*Ъ ) М

"{ 1 ( a 2 I +

М

" C I l ' x I +

+

|'(а2 2 + -а 32^ М ~ с 2]*х 2*

П а 2 3 + а 33

^ М ~ °3j x 3

" М

х 5 }*

Из коэффициентов системы ограничений (ЪЛ) и функции цели

(5.6)

и заполняется перваи

симплексная

таблица

( Ь . І ) с базисными

переменными

.У^ и У2 .

Таблица

ь-І

—

1

—

1 r-

11——

! —

1

— i —

Базисные! Свободные

x2

Ц

пвремѳн-і

члены ~

Х

І

X

3

l'x

|CKC

ные

1

x 5

У2 |

!

4

i

—

S

а І І

а І 2

a I 3

I

0 !1 P

0 1

j

У І

»2

2 І

a 23

0

0

I i

а

•

{-I

1

t

У

2

а

5 І

a

32

a

33

0

! о

I

1

L (

* ) с 0 +(н 2 + В з ) М

(a^û,.) M -

ta

! C,

° !

-

С,

Дальнейшие преобразовании проводится в таблицах но известному

алгоритму

симплексного метода. Причем,

при решении заднч

на мини­

мум могут

встретиться следующие случаи:.

1.

Если в индексной

строке

все коэффициенты

(разумиится,

кро­

ме числа в столбце

свободных члщюи) неположительны и пои искусст­

венные

переменные

выведены из оаэиса,

то минимум

достигнут;

2.

Мели в индексной

строке

всо коэффициенты.неполинитильны,

но хотя бы одна

искусственная пиремониая не выводила

из оалиа,

-

62

-

іо aso означает, что исходная система ограничений является

противоречивой, т . е . несовместной.

3.

Если

искусственные

переменные выведены из

базиса, но

имеется

хотя

бы одно

с£

>

0, наДхКоторым все а ^

, а 2 , . . . . а

неположительны,

то минимум лежит в оесконѳчности.

Аналогичные

случаи

можно рассмотреть и для случая макдимк

ного базиса на следующем примере.

Пример ь.І.

Металлургический

завод

из металлов Aj , А2 и А^ может вы­

пускать сплавы видов

Bp В2

и В^. В течение планируемого пери­

ода завод должен освоить не

менее 640 условных единиц металла

Aj и 800 условных

единиц металла

А2 , при

этом металла

можеі

быть израсходовано

не

более

860

условных

единиц.

-

63

-

Таблица

5.2

Виды металлов

T. ïехнологические нормы расхода

Наличие

метал­

{металла каждого вида

на услов­

ла

у

завода

ную единицу

соответствующего

на

планируе­

Вт

сплава

! в.

мый период

1_~

-т-

1,0

*,3

2,6

640

5,0

1,5

3,0

800

А,

3,0

3,9

4,3

860

Сѳбестоимость^произ- ;

min

водства условной ѳди-і

ницы сплава в денеж- і

18

15

15

ном выражении

Введение

обозначения

{

неизвестных

Решение.

На основании

технологической

матрица

(таблица

5.2)

запишем

задачу

в математической

форме.

Найти

(5.7)

L

(

X )

= I8xj

+ I5x2

+ I 5 x 3 - *

mir?

при следующих

ограничениях:

(5.8)

Xj +

4 , 3 х 2

t

2,6х3

э;

640

,

5Xj +

І , 5 х 2

+3

х 3

^

800

,

3Xj_ + 3 , 9 х 2

+ 4,3х3

^

860

;

(5.9)

x f

^

0, где

L

« 1,2,3

От системы ограничений-неравенств (5.8)

переходим к системе

ограничений-уравнений

(5.10),

вводя дополнительные, переменные (не­

отрицательные)

х^.х^ и х 6 ,

а также

неотрицательные

искусственные

переменные

У І

и

h'

(5.10)

Xj

+ 4 , 3 х 2

+ 2,6х3

-х4

+ Ут

=

640

,

5Х£

+ І , 5 х 2

+ з

х3

_ х с

=

800

,

3Xj +

3 , 9 х 2

+ 4,3х3

+xÉ

=

840 .

получим :

( S U )

L

(

X ) =

18

Xj +

Ь х 2

+

Ibx3

+ М(УХ + У2 )

=

I440H

-

((bM

-

І 8 ) х І

+

(Ь,8М

- ІЬ)*х2

+

+

(b,6M

-

ІЬ)х3

-

Мх^ - Мхь ]

Используя

(5.10)

и

СЬ.II),

составим

первую

симплексную

табли­

цу

(5.3)

Таблица

5.3

-i

г — —

•

i

1

1

!

Базис-(Свобод­

x 2

I

x 5

ные

пегные

CKC

j

û

ремен-[члены

ные

(

'

j

L

.. i

!

У І

640

4,3

2,6

[-1

0

о

i

1

646,9{

640

« - У 2

800

©

1,5

r

3

п

0

- I

0!

808,5J

160

Ъ

8ь0

3

3,9

4,3

0

.0

I

872,2j

286 2 / 3

j L ( X )

1440 M

6M-I8

5,8M-I5

5.6M-I5

-M

-M

Ü I455.4M-I

-48

1

І60ЧІ8-6М)

+ І440М = 480М t 2880

ІЧІ8-6М)

+ 6M-I8 = О

0,3*(І8-6М)

+

5.8

-

15=

4М-9.6

0.6ЧІ8-6М)

+

5.6М

-15=

2М-4.2

0ЧІ8-6М)

-

M

= -ИІ

-0,2'(I8-6M)

-

M =

0,2М-3,6

-

66 -

.Таблица

5.5

—1

i

1

!

1

i

!

! '

Базис-

[Свобод-i

x 5

j x 6

j . C K C

j 9

ные пе-і ные

j х_

X 2

j X 3

j

*4

ремен-

jчлены

•

1

ные

1

1

•

"

!

!

Ут

j

640

1 I

4,3'2,6

- I

0

І

0

646,9

І640

* -

У2

!

8

0 0

j © ! І

> 5 І З

0

-

i

l

0

![

808,5

i{160 .

х 5

j

860

!

3

j

3,9!4,3

j

0

0

I j 872,2 І286 %

L

(X)

1 I440M j 6M- 11 5, 8МІ 5,611 !

_м

\

-M

°\IWM\

-

<—

y j

jI

480

Sj -018j i©-15[ '.2-15

1

- I

î !

0,2

І

.

0 '485,2

1

_

|l20_

160

î

I

!

0,ЗІ

0.6І

0

j

-0,2

0

j 161,7

І533Х /3

380

•

0

•

1

1

0

I

-

0,6

I

;387,І

-I-26 2/

x 5

!

i

3 •• j

2,5!

!

!

;

»i

!

!

j

L U )

480M-

n

4M-'|2M- Г

-M

I0.2M-

0

[485.2М+І

-2880

U

- 9 , б ! - 4 , 2 !

!-

3,6

!+2862,6î

1

Г 0— 1 I

1 0,51

-0,25i j

.

i — • — i

— > x 2

120

0,05

j

Ü j 121,3

:240

X I

124

I

0

•0,45

0,075

j-0,215 i

0

|.

125,31

275Ь/9

20

0

0

©

0,75

1

0,45

i

20

< -

x 5

I

j

23,2

L

(X)

4032

. 0

0

0,61

-2,4

1-3,12

0

14027,08

-

x 2

110

G

• I

J 0

j-0,625

|-0,I75

-0,5

І 109,7

X I

. П 5

I

J C

j 0

j-0,2625J-0,4I75

-0,45|114,87

- •* x3

20

0

0

j

I

j 0,75

0,45

I

1 23,2

L (

A )j

4020

0

i

i

1

-0,6

j4013,16

0

j

0

i-2,85

j

-3,39

•S

Пример

5-2

Пусть

задана

следующая

система

ограничений:

Г Xj + х 2 + х 3

^ 25 ,

(5.12;

J

ê X j + 4Х2

t

6х3

&Ш

,

I 3 х т

+ 2х? + X, ^ 57 ;

(2) і ~ 2

Х І *

З х 2

^

4 -

\

Xj + 2х2

s

4,

.1

Xj +

х 2

- ?І2,

j -

bXj + 2х2

ç

Ь,

(2)

j

З Х І

+

^2

*

2

2 '

к

Xj -

2х

2 ^ 2 ,

Xj

+ 2х 2

b,

(3)

Xj

с

. и х 2 ^ . о

S 3.

Наиіи

минимум функции•цели

(I)

L (X) = Ь.-tXj; + s,6x2 + б,3х3 + 3 > 8 х 4

при следующих ограничениях:

'b.bxjt

х2 + 3,Ь х 3

+ 2,8х 4

^ 73ѲО,

U)

\

2Xj+

ч x 2 t

2 х 3

+ 3;2х 4

^ 17600,

j

Xj+ 0,Бх2 +

0,9Ьх3

tC,48x^

?» 4060.

(3)

Хк -ч

о,

где к = 1,2,3,4

- 69

-

* 4.

Найти минимум

функции

цели

( I )

L W = I

S

x I +

2 3 х 2 + І 7 х 3 +

2 9 х 4

при

следующих

ограниченияхL

[

25Х]. t I 2 x 2

+

24х3

+ 20х^

^

23750

(2)

J.

I I X j + Ь , Ь Х 2

+

7х 3

+

2Хц

«

3400

Xj + I , 6 x 2

+

х 3

+

2х^

at

а ю о

(3)

х к è: о,

где

к = 1,2,3,4

й

5.

Найти

максимум

функции

цели

( I ) L (

X )

=

2Xj + 2 х 2

при следующих

ограничениях:

- Xj + 0 , 5 х 2

-<

2,

( ? )

, X I +

х 2

s- Ю,

^ г >

< Xj

-

2Х2

-=?

4,

X j

+

2Х 2 -

8,

(3)

ï j à

о

и

^

о

№ 6.

Найти

минимум

функции

цели

L

( X } = 3Xj + х 2

при выполнении

ограничений

задачи № 5

й

7.

Найти

минимум

функции

цели.

( I )

I

(

X )

= 8xj + 2х 2

при следующих

ограничениях:

I - х т

+

2Хр

5ь

ь,

I

+

2

30,

(2)

3Xj

2 х 2

Ь Х І

Х 2

< ;

4,

+

I 4Xj +

Х 2

12,

(3)

X j à

о

и

X 2 Ä

о

il» 8.

Найти

максимум

функции

цели

L

( X )

= 5Xj +

I 2 x 2

при выполнении

ограничений

задани te 7.