Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Говар В.М. Математическое программирование учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

		- 9 0 -
Таким	образом, любая задача лѵнѳйного программирования
может быть	приведена	к виду (7.21) - (7.24) и затем решена мето-
дом последовательного		уточнения оценок.

п а ж н е н и я

I .

Найти

(I)

(ХѴ

•

2Xj

Зх 2

m СІ л

при

следующих

ограничениях:

- х І

10,

(2)

3Xj

2Xp

30,

X I

ь,

3Xj +

(3)

2 —

Найти

(Г)

(*>

5xj

Зх^•

ПИП

при

следующих

ограничения*

2x2

I i

-2XJ

(2)

4Xj

3x2

4 b ,

3X-J- +

2x2

(3)

X j è о

£ 2

Найти

(I)

U )

3x:

•Xg — i

max

при

следующих

ограничениях:

2X2

(2)

x 2

15,

+ 2X 2

10,

(3)

0 и

x 2

					-	91-
4.' Найіи		(I)			L	(X) = <txj + 5x2		-*hun
при	следующих ограничениях:
		Х І		-	3x2	•<:	6
( г ) <		Х І		+	X 2		10
		2 Xj		+	3x2	;>	30
	.	X	I			;>	6
	.	X	I				6
(3)	X,			0	и	x 2 -	0
Найти		(I)			L	(X) =	2Xj +	WOf.
при следующих					ограничениях:
		X	I	+	x2		10
(2)<		X	I	-	2x2	<
(2)<			I		2x2		8
		X	I	+	2x2		8

(3)X I ^ 0 И Xp -s- 0

Найти		CD	L		(X) = 8Xj + 2x2
при	следующих				ограничениях:
		4Xj +			x2	>	12,
(2)		- X j	t		2x?	^	6,
		3 x I	+	2	x 2		го
i : /		X I	->		0
7. Найти (I)			L		(X) = IOXj + 3x2— * т а л
при	следующих				ограничениях:
		X I	+	x	2	^	I ,
(2)		X j	+ 2x2			^	I ,
(2)	<	2 Xj +			x 2	^	12,
	[	5 X I -		x 2		2:	2
(3)		X j J ^	о		и

							-	92-
8.	Найти			(I)		L	(X)		=	3Xj + 3x2	—* max
	при	следующих				ограничениях
	2Xj.	+		7x2					29,
	X j	+		x 2					7,
(2)' 7X-J-		+		2x2					29,
	Xj	+		x 2					12
(3)		X,		^	0		и		Xgè- 0
9.	Найти			(I)		J_	(X)		*	4Xj	nun
	при	следующих				ограничениях
							•g.		0
(2>	2xT		+	3x,			>.		I I ,
(2>	I				z		•g.		12,
	Xj		+	2X2			•g.		12,
	2Xj		-	x 2					- I .
(3)		X j	=> 0		и		h ^			0
10.	Найти			(I)	L		(Д)	=
	при	следующих				ограничениях:
	X j	*		x2			^		12,
(2))	X j	+		2x2			^		4,
(2))	2Xj	-		3x2					-6,
	Xj	-		x 2			~		4,
(3)	Xj	à:		о	и		x2 = = >		о

- S3 -

S 8. РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНА.! МЕТОД

Симплексный .метод является универсальным методом и им можно решать все экстремальные задачи, .условия которых соответствуют системе ограничений и функции цели общей задачи линейного програм

мирования. Ко в снязи со своей универсальностью он является наи

более громоздким методом, и поисках упрощения решения для отдель

ных типов экономических задач быки разработаны специальные алго

ритмы. Одним из таких является распределительный метод. Распреде

лительным методом можно решаать многочисленные задачи таких типов,

как,например, задачи об оптимальном использовании мощност,, взаи
мозаменяемых групп производственного оборудования, наилучшего
использования времени работы оборудования, задачи оптимального
размещения производства,	транспортная	задача	и ряд других.
К настоящему времени	разработано	много	модификации распре

делительного метода, из которых нами будут рассмотрены Две: моди фицированный распределительный метод и метод потенциалов.

Рассмотрим сущность распределительного			метода			на примере
транспортной задачи для перевозок		однородных	грузов			по критерию
наименьшей стоимости перевозок.
Первоначально рассмотрим закрытую модель транспортной задачи.
Транспортная задача, в которой имеется баланс между суммарными
объемами поставок	и потребностей,	то есть выполняется условие
(8.3), называется	закрытой. При этом равенство			(8.3)		является не
обходимым и достаточным условием		совместности		и,	следовательно,
разрешимости транспортной задачи.
Из m пунктов	отправления А^	([_ = 1,2,..., m )				надо перевез
ти груз в Г) пунктов назначения Bj, Су = 1,2,...,Л					(.	Известно а^
количество грузов	у каждого отправителя А- и В- -				потребность в

		- 94	-
них каждого	получателя іь . Имеется таблица тарифов			С;* .которые
показывают	стоимость	перевозки	единицы груза из каждого пункта А-^
в каждый пѵнкі В; .		Требуется	составить такой план	грузоперево-

зок, при

котором

весь груз

бда

бм доставлен туда, где он требует

ся, а денежные затраты были

бы наименьшими

по

сравнению

с другими

возможными планами.

Если

обозначить через

- объем

грузопереьозок от L

-го

отправителя к^_ -му

получателю,

то

изложенное

выше можно

записан

виде следующей

матрицы

(таолица

8.1)

Таблица

8.1

•пункты

п у

К I ы

н а

з н

а ч е

н и я

I Наличи

{отправ

в 2

, . . .

Вп

грузов у

ления

отправи

телей

А і

|С,2

li-jü

(Cm

T . ,

х ) 2 —

•••

\Ч

•

а '

I T

А 2

Xi,

lui-

. . .

[Ctfl 1

j ~*-2Л

с и

• • •

•

|П«

«i

. . .

, .

. . .

A M

ІСІИІ

1С,,.,.

• • •

Каш.

От

1 Л т л

! Потреб

іі

ность в

i .

! грузах

! получа-

! телвй

. . .

(

• •

Запишем условие

закрытой транспортной

задачи в виде ЭАОНОМИКО-

-МАТЕМАТИЧЕСХС'И МОДЕЛИ:

(8.1)

TL xil

= a L • f І = I »2 » • • • ) l 7 , )

(8.2)

^ L L - J , .

f r 1 ' 2 - '

При выполнении ограничений (8.1) - (8.4) нужно минимизиро

вать	стоимость	перевозок	(8. Ь) :
		ill	n	c i l — > m i n
( 8 . у	LW-	} _	}_	c i l — > m i n

Экономический смысл ограничений следующий:

(8.1) - сумма грузов ло строкам должна равняться объему продукции соответствующего отправителя, то есть каждый отправитель должен дать (Получателям ровно столько продукции, сколько у него есть;

(8.2) - сумма грузов по столбцам должна равняться потреб ностям соответствующего потребителя, тс есть каж дому получателю нужно поставить продукции ровно столько, сколько ему требуется;

(8.3) - сумма грузов у отправителей должна равняться Суммарному объему потребностей всех получателей;

(8.4) - условия неотрицательности.

Решение транспортной задачи можно разбить на два основных

этапа: нахождение первоначального базиса решения (опорного ішана) и затем переход от него к последующим базисам до получения опти

мального плана.

Остановимся на рассмотрении первого этапа решения. Для полу

чения первоначального опорного плана разработано много различных

методов. Среди них такие как, например, метод "северо-западного

угла", методы наименьшего элемента по столбцу или строке, метод

наиыѳнмвго меыѳніа в матрице, метод двойного предпочтения, мѳ-

	-	96 -
год аппроксимации и др. Применяя любой из				названных	способов,
можно всегда получить допустимый план поставок.
Познакомимся с методом "северо-западного угла". Будем за
полнять таблицу (8.1),	начиная с левого верхнего угла, в направ
лении правого нижнего угла, двигаясь либо				по строкам		вправо,либо
по столбцам вниз. На географических			картах	левый угол		соответ
ствует северо-западу, эта		аналогия	и дала	название	мотоду.
Числеиное значение	Х( (	находится как		наименьшее		из чисел

а т

в т ,

т.е.

Х„ =\ПіП (aj- ;

вj.)

Если

при

атом

B J >

а^,

то

Хц = а^

и первая

строка "закры

вается",

так как груз у первого

отправителя вывезен

полностью.

Двигаемся

по

первому столбцу

и находим значение X 2 j ,

как'

Х 2 І

= (run

( а 2

;

B J -

aj)

Если

же aj >

Bj, ТО

х п

а^,

при

этом

потребности

получателя

Bj удовлетворены полностью, т.е.

первый

столбец "закрывается". В

этом

случае двигаемся дальше по

первой

строке и для

заполнения

/ соседней клетки находим

значение

X j 2

, как

Х І

= mirt (aj

B j

; B 2

)

Этот

процесс

продолжается

до тех пор, пока не будет запол

нен

правый нижний угол (клетка

В( 1

)

Алгоритм "северо-западного угла" поясним решением следующего

примера.

Задача I .

У трех поставщиков Aj, А 2 ,

и А^ имеются однородные грузы

соответственно в количестве 335,

720

и 19 5 условных

единиц,

кото-

' рые

нужно

распределить между

потребителями

Bj , В2

, В/ (

			-	97 -
соответственно		в количестве		95, 12*0,	205,	175 и 205 условных еди
ниц.
Составить		такой план перевозок,			чтобы стойкость их была бы
наименьшая, если тарифы е.".				на перевозку		условной единицы				груза
даны в таблице		(8.2)
								Таблица		8.2
i Пункты назначения				п у н к т ы		н а ;з н а ч е н и я
			В І	в 2
			В І				1
			I I	15			1		19
			I I	15		12	i1	18	19
i		і		12		14	j	io	I I
i	& г	і	8
	h	j	1 0	15				13	17
Для получения первого опорного плана, заполняем таблицу
(8.3),	начиная	с клетки Aj Bj, расположенной в левом верхнем углу^
в направлении клетки А^
У поставщика Aj имеется 335 ед.груза, потребности									получателя
Bj - 95	единиц,	следовательно, в клетку Aj Bj мы можем направить
95 единиц. При этом у поставщика Ар					осталось		еще 335 -		95=240 еди

ниц груза, за счет этого количества можно полностью удовлетворить потребности получателя В2 - ,120 ед.груза, который направляем в клетку Aj, В2 , а оставшийся груз в количестве 120 единиц направля ем в клетку Aj Bj.

Затем переходим к распределению грузов у второго отправите ля. У получателя Bj осталось еце'деудовлвтвореннвш потребности в количестве 85 единиц (205 - 120 « 85),а возможности поставщика

А2 - 270 ед.груза, следовательно, в клетку і 2 Bj направляем по ставку, равную 85. Остаток грузов у і 2 составляет 185 единиц,поэ-

-98 - юму можно пилдссгьй удовлетворись потребности получателя В^. Нап

равляем в клетііу Б.,, 175 ед.груза. В клетку направляем ос

таток груза в .іоя::-че ;tae 10 единиц и переходим к распределению гру зов у следующего .чос«аз'дика. в данном случае поставка в количестве 195 ѳд. направляется в клетку А^ В^

Составленный

первоначальный

план (таблица 8.3) является до

пустимым, так яэк запланирован

вывоз всего

груза

от всех

отправи

телей и при этом 1удут

удовлетворены потребности

всех

получателей

Таблица

8.3

Пункты

П у н к т ы

н а з н а ч е н и я

Наличие

о т р а в и т е ли

]

грузов y

отправи

B I

В 2

телей

III I

J 1 2

Il 8 !

19 j.

335

j 95

; 120

120

~~1

І8

II*

|ip_j1

ln _ i''

«3

175

j 10

270

i 1 0

ІІ5

|I8

|I7

195

потребность в

грузах

j 95

120

205

175

205

| 8

T O / S 0 0

Подсчитаем стоимость перевозок по первому опорному решению


L, = І Г 9	5 + 15-120 + 12120 t 1485				+ 10175 + 1110 + 17*195
= I045.+ 1800 + 1440 + 1190 + 1750 + ПО +. 3315 = 10650
денежных		единиц.
Можно показать,			что среди ограничений		(8.1)	(8.2) тран
спортной задачи		число	линейие^незаьисимых		уравнений равно m +n - I .
Следовательно,	и в опорном плане			число занятых клеток должно рав
няться m +ц -	I .	& нашем примере		щ = 3 и п =5 ,		поэтому число

занятых клеток должно равняться семи.

-99 - Если в базисном решении окажется, что число занятых клеток

меньше, чем tn +n - I , то такой план называется вырожденным. Способы устранения вырождения будут рассмотрены позже.

Кроме того, опорный план должен обладать и таким свойством,

что из маршрутов перевозок, соответствующих занятым клеткам,нельзя составить замкнутого контура.

В методе "северо-западного угла" величина затрат на перевозку

единицы груза от поставщика і | к потребителю Bj. , то есть С-^ ,

не учитывается, и поэтому первоначальный опорный план зачастую бывает далеким от оптимального.

Получив исходное опорное решение, проверяем его на оптималь ность, используя алгоритмы модифицированного распределительного метода или метода потенциалов, которые являются методами последо вательного улучшения опорного плана.

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ МЕТОД (МРМ)

ИЕГО АЛГОРИТМ

1. В матрицу задачи вводятся дополнительно строка и столбец МРМ, клетки которых используются для нахождения специальных оценок

(косвенных		стоимостей)		U-	и V- . Строки матрицы обозначаются че-
				L
рез	ІЬ	» где	индекс	:	соответствует номеру строки,а сголбцы-
через	Vj,	, где	индекс	'	соответствует номеру столбца (табл.8.4).
	2. Каким-либо способом.составляется первое опорное решение,
например,		методом "северо-западного угла", методом аппроксимации

ит.п.

3.Для проверки оптимальности полученного опорного плана ис

пользуется матрица тарифов				на перевозку	единицы груза иа		и	,
то есть Cr,	,	составим	систѳмуЛі + П -		I уравнений	сщ +ц	неиа-
вѳстнымиц-	и	У{ вида	U±	+ J\, = Ci',	,гдѳ Су. -	коэффициент

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2410 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ