книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

90 4. Вращение вокруг прямых общего положения

При проектировании инженерных соору­ жений, конструировании машин и механиз­ мов обычно стремятся к частному располо­ жению их основных элементов относительно плоскостей проекций. Плоскости сооруже­ ний, корпусов машин, станин, рам и т. д. берут взаимно перпендикулярными. Плос­ кости проекций выбирают параллельно этим плоскостям. Оси поверхностей вращения и вращающихся элементов берут перпендику­ лярными к плоскостям проекций или парал­ лельными им.

Однако нередко оси вращающихся точек механизмов для некоторых станков необ­ ходимо задавать прямыми общего положе-

Р и с. 123

ния. В этом случае определяют траектории точек вращающихся деталей механизма и вы­ черчивают детали в нужном положении. Если ось вращения некоторой точки является прямой общего положения, то плоскостью движения этой точки является плоскость об­ щего положения.

Траектория точки — окружность — прое­ цируется на плоскости проекций эллипсами. Чтобы избежать построений эллипсов, для определения конечного положения движу­ щейся точки пользуются преобразованием чертежа.

Пусть точку кк' требуется повернуть во­ круг оси — прямой ef e'f'на угол а по часо­ вой стрелке (если смотреть по направлению оси от точки ее' к точке ff концов прямой) (рис. 123). Выберем систему плоскостей про­ екций таким образом, чтобы одна из плоско­ стей была перпендикулярна к прямой ef e'f— оси вращения точки кк'.

Этот чертеж точки и прямой необходимо преобразовать дважды. При первом преобра­ зовании прямая ef e'f представляется парал­ лельной плоскости проекций Vi. При втором преобразовании она перпендикулярна к плос­ кости проекций Hi. На плоскость Hi эту

ти Hi перемещается по дуге окружности.

восстановлением плоскостей проекций. Оп­ ределяя не одно, а ряд положений вра­ щающейся точки вокруг данной оси, мож­

которая проецируется на плоскости проек­ ций эллипсами.

Рассмотрим задачу на определение оси вращения заданного в пространстве переме­ щения отрезка прямой из одного его положе­ ния в другое. Согласно теореме о переме­ щении плоской фигуры в ее плоскости пере-

ход плоской фигуры из одного положения в другое можно осуществить путем ее пово­ рота около центра. Центр поворота находит­ ся на пересечении перпендикуляров, восстав­ ленных из середин отрезков, соединяющих начальное и конечное положения каких-либо двух точек фигуры.

Рассмотрим решение задачи на орто­ гональном чертеже в общем виде. Пусть в

j В И Н Т О В Ы Е П Е Р Е М Е Щ Е Н И Я

Любое перемещение неизменяемой сис­ темы точек можно рассматривать как ее винтовое перемещение. Частными случая­ ми винтового перемещения являются по­ ступательное и вращательное перемеще­ ния

Перемещение любой геометрической фи­ гуры называют поступательным, если оно

§ 28. В и н т о в ы е п е р е м е щ е н и я

91

удовлетворяет условию равенства и парал­ лельности всех положений этой фигуры в процессе ее перемещения.

Перемещение фигуры (твердого тела) на­ зывают вращательным, если конечное поло­ жение фигуры можно получить из ее началь­ ного положения путем поворота на некото­ рый угол вокруг неподвижной оси.

Перемещение фигуры (твердого тела) на­ зывают винтовым, если ее конечное положе­ ние можно получить двумя последователь­ ными перемещениями-: поступательным и

Р и с . 126

вращательным. Порядок последовательнос­ ти этих перемещений может быть произволь­ ным, а направление поступательного пере­ мещения должно быть параллельным оси вращательного перемещения. В этом случае ось вращательного перемещения называют

винтовой осью перемещения.

Параметром р винтового перемещения называют отношение s

~ß'

где s — величина поступательного переме­ щения;

ß— величина угла поворота вокруг вин­ товой оси, измеряемая в радианах.

Опишем схему построений для определе­ ния винтовой оси заданного перемещения неизменяемой системы и величин угловых и осевых перемещений точек системы. Пред­

(рис. 125). Возьмем в пространстве некото­

плоскости Q. Отрезок OK определяет на­ правление винтовой оси и дает величину осевых перемещений точек системы.

Таким образом, чтобы определить поло­ жение винтовой оси, а также угловые и осе­ вые перемещения точек неизменяемой сис­ темы необходимо выполнить следующее:

построить плоскость, перпендикулярную к направлению винтовой оси;

спроецировать на эту плоскость две ка­ кие-либо (не лежащие на одном перпенди­ куляре к плоскости) точки неизменяемой системы;

найти центр и угол поворота проекций этих точек.

Пусть известны начальное АіВіСі и ко­ нечное АгВгС2 положения треугольника ABC. Для определения винтовой оси и параметра заданного перемещения применим следую­ щ у ю схему.

94жения a\biC\, a\b\'c\ перемещен в положе­ ние аіЬгсг, ai'bi'ci . Плоскости проекций выб­ раны таким образом, что плоскость H пер­ пендикулярна к линии тк, т'к' пересечения плоскостей NIM и ІѴда треугольников.

Фронтальная плоскость проекций V па­ раллельна второй биссекторной плоскости плоскостей Л щ н N2H. За первую биссекторную плоскость принята плоскость, делящая пополам угол между полуплоскостями, в которых расположены треугольники aib\Ci, a\'b\'c\ и аіЪгСі, ai'bi'ci .

Расположение треугольников после сов­ мещения плоскостей Nw и N2H предусмот­ рено такое, что один из них можно получить путем поворота другого. Все плоскости, направления которых параллельны какойлибо из указанных биссекторных плоскос­ тей, составляют с плоскостями N1/F и N2H равные углы, а линии их пересечения обра­ зуют равные углы с линией тк, т'к' пересе­ чения плоскостей Nut и Ыгн- Это следует из того, что угол между двумя плоскостями равен углу между направлениями этих плос­ костей.

ными, можно определить следующими по­ строениями (рис. 127). Из какой-либо точки, например О / , проведем отрезки прямых линий соответственно равные и параллель­ ные отрезкам, соединяющим одноименные фронтальные проекции вершин треуголь­ ников. Концы этих отрезков располагаются

на прямой линии, параллельной следу Qy. Эта прямая линия принята за фронтальный след Qv плоскости. Из точки а\ а{ опустим перпендикуляр ÜIÜQ , ai'ag ' на плоскость Qv и найдем точку его пересечения а е , а е ' с плоскостью Qv • Направление перпендику­ ляра определяет направление винтовой оси перемещения, а его величина равна величине осевого перемещения s.

горизонтальной проекцией оси перемеще­

Делим отрезок aQ0ai пополам и из его середины восставляем перпендикуляр. Точ­ ка OQ0 пересечения перпендикуляра с пря­ мой 12 является смещенной проекцией цент­ ра поворота. Находим основную фронталь­ ную проекцию OQ центра и проводим фрон­ тальную проекцию 1'2 винтовой оси па­ раллельно перпендикуляру ai'ao''.

Величина осевого перемещения

Если начальное и конечное положения треугольника заданы находящимися в про­ извольно расположенных плоскостях, чер­ теж необходимо перестроить таким образом, чтобы эти плоскости стали проецирующими.

В С П О М О Г А Т Е Л Ь Н О Е П Р О Е Ц И Р О В А Н И Е

Построение новых, дополнительных про­ екций в ходе решения геометрической задачи можно осуществить путем вспомогательно­ го проецирования на заранее выбранную

плоскость проекции. Вспомогательное про­ ецирование может быть центральным и ко­ соугольным. Плоскость проекций и направ­ ление проецирования (ортогональное, косо-

угольное) или центр проекций (центральное проецирование) выбирают в зависимости от условий поставленной задачи.

Вспомогательным проецированием целе­ сообразно пользоваться при решении ряда позиционных задач. Метрические задачи ре­ шаются в большинстве случаев сложнее. Применяют вспомогательное проецирова­ ние на одну из плоскостей проекций H или V или на вторую биссекторную плоскость*.

1. Центральное вспомогательное проецирование

Центральной проекцией точки на плос­ кость является след прямой, проведенной через точку и центр (полюс) проецирования.

Через луч sa, s'a' проводим горизонтальнопроецирующую плоскость NH . Эта плос­ кость пересекается с плоскостью bed, Ь'с'à'

Точка аР аР ' является следом луча на плос­

Плоскость проекций удобно задавать сле­ дом соответствия и точкой. Направление носителя определим, если проведем через точку проецирующую плоскость параллель­

на о д н о й п л о с к о с т и п р о е к ц и й . Э т у п л о с к о с т ь на ­ з ы в а ю т плоскостью соответствия.

§ 29. В с п о м о г а т е л ь н о е п р о е ц и р о в а н и е

95

Р и с . 128

проходящая через точку рр' параллельно данному лучу, пересекает заданную плос­ кость по прямой рк, р'к'. Она определяет на­ правление носителя. Проводя горизонталь­ но-проецирующую плоскость QH, проходя­ щую через луч точки ss', определяем носи­ тель 1аР, ГаР' и искомую точку аРаР' — след луча точки ss' на данной плоскости.

При центральном вспомогательном про­ ецировании вертикальные плоскости про-

Р и с. 129

Р и с . 130

ецирующих лучей образуют пучок с общей вертикальной прямой центра проецирова­ ния. Этим пучком плоскостей пересекаются плоскость соответствия и плоскость проек­ ций. Центры пучка линий пересечения на­ ходятся на общей вертикальной прямой. Пучок прямых плоскостей соответствия вто­ рично проецируется пучком горизонтальных проекций лучей, а пучок прямых данной плоскости проекций проецируется пучком носителей вспомогательных проекций точек пространства.

Р и с . 131

Фронтальные и вспомогательные проек­ ции точек пространства, образуя централь­ ное соответствие, соединяются пучком фрон­ тальных проекций лучей.

На рис. 130 дан пример общего случая проецирования отрезка ab, а'Ь' прямой из центра ss' на плоскость. Плоскость здесь задана следом соответствия Рк и точкой ssi пересечения плоскости с вертикальной пря­ мой центра проецирования.

Проводим через проецирующие лучи sa, s'a' и sb, s'b' точек аа' и ЬЬ' концов данной прямой горизонтально-проецирующие плос­ кости; они определяют носители. Фронталь­

является вспомогательной центральной про­ екцией отрезка ab, а'Ь' на данную плоскость.

В случае, если дополнительная плоскость вертикальная, то точка ssi' пересечения ее с вертикальной прямой центра проецирова­ ния является бесконечно удаленной (несоб­ ственной). В этом случае носители предста­ вятся вертикальными прямыми линиями.

На рис. 131 дано построение вспомога­ тельной центральной проекции отсека плос­ кости abc, а'Ь с' на плоскость соответствия.

2. Косоугольное вспомогательное проецирование

Во вспомогательном проецировании при решении позиционных задач наибольшее значение имеет косоугольное проецирование. Здесь центр проецирования в заданном на­ правлении удален в бесконечность. Направ­ ление проецирования выбирают в зависи­ мости от преобразования чертежа в боль­ шинстве случаев, когда на дополнительную

т. е. прямые линии и плоские фигуры пред­ ставляются вырожденными проекциями.

При построении вспомогательной косо­ угольной проекции отсека плоскости доста­ точно спроецировать три ее точки. Если на­ правление проецирования параллельно плос­ кости отсека, то проекцией плоскости явля­ ется прямая линия.

Р и с . 132

На рис. 132 построена вспомогательная косоугольная проекция отсека abc, a'b'c' плоскости на фронтальную плоскость про­ екций V по направлению, параллельному плоскости abc, a'b'c'.

При косоугольном проецировании луче­ вые плоскости взаимно параллельны. Па­ раллельными прямыми линиями являются и носители.

На рис. 133 показан пример построения вспомогательной косоугольной проекции от­

§ 29. Вспомогательное проецирование

вторичном проецировании искажаются. При решении этих задач дополнительную проек­ цию необходимо перенести на плоскость чер­ тежа без искажений. Это можно осуществить или путем вращения дополнительной плос­ кости вокруг ее фронтали, или заменой до-

Р и с . 138

екция ЙІ'І>І' отрезка равна натуральной ве­ личине данного отрезка ab, a'b'.