книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

Г л а в а V I I . К р и в ы е л и н и и

140 1- Конхоидальное преобразование

Конхоидальным называют такое преоб­ разование кривой линии, при котором ра­ диусы-векторы ее точек, исходящие из за­ данного полюса, увеличиваются и уменьша-

Р и с. 209

ются на одну и ту же величину. Кривые ли­ нии, являющиеся конхоидальным преобра­ зованием других линий, называют конхои­

дами*.

Л ю б а я конхоида состоит из двух ветвей, которые иногда преобразуются в одну кривую линию.

На рис. 208 показаны построения конхо­ иды кривой линии AB. Через точку О (полюс) проведем пучок лучей, пересекающих кри­ вую AB. На каждом луче от точки базовой кривой откладываем в обе стороны равные отрезки. Геометрическим местом концов этих отрезков является кривая линия — кон­ хоида исходной кривой AB относительно данного полюса О. Конхоидой окружности относительно ее центра является пара ок­ ружностей, концентрических базовой окруж­ ности.

На рис. 209 представлены конхоиды ок­ ружности относительно полюса, лежащего на окружности. Такого рода конхоиды на­ зывают улитками Паскаля**.

Пометим на базовой окружности ра­ диусом г точку О и примем ее за полюс. На радиусах-векторах от точек базовой ок­

Задаваясь отрезками а\ или а2 , меньшими или большими 2г, получим конхоиды ок­ ружности — укороченные или удлиненные

кардиоиды.

Улитку Паскаля применяют в технике при конструировании эксцентриков, кулач­ ков у машин, ряда зубчатых колес. Их также широко используют и в оптической технике.

*** О т г р е ч . xapSia — с е р д ц е и e t S o ç — в и д .

* * * * Н и к о м е д (3—2 в в . д о н. э.) — д р е в н е г р е ч е ­ с к и й г е о м е т р . В п е р в ы е р а с с м о т р е л и п р и м е н и л к о н х о и д у д л я н а х о ж д е н и я д в у х с р е д н и х п р о п о р ­ ц и о н а л ь н ы х м е ж д у з а д а н н ы м и в е л и ч и н а м и , а т а к ­ ж е д л я р е ш е н и я з а д а ч о т р и с е к ц и и у г л а и у д в о е н и и к у б а .

Р и с . 210

На рис. 210 показаны различные кон­ хоиды Никомеда одной й той же прямой линии.

2. Преобразование инверсии

Инверсией* кривой линии относительно окружности радиусом R называют такое преобразование, при котором произведение радиусов-векторов соответствующих точек данной (базовой) кривой и точек строящейся

ОАОЛі= R2.

Положение точки А\ на прямой пучка можно определить графически. Луч OA и

Путем подобных построений можно оп­ ределить ряд точек, удовлетворяющих за­ данному условию.

Г л а в а V I I . К р и в ы е л и н и и

142

1

Р и с . 212

Геометрическим местом таких точек яв­ ляется кривая линия А\Ві, являющаяся ин­ версией кривой AB.

Инверсией любой окружности радиу­ сом Ri, концентрической с окружностью радиусом R относительно данного полюса, является также концентрическая окружность

сией окружности радиусом nR является ок-

линий называют такие точки, в которых полукасательные или параллельны, или со­ ставляют между собой равные углы.

Кривые линии AB и АіВі (рис. 213) — конформные, а точки 0 и 0,1 и 1, 2 и 2 — парные. В этих точках полукасательные па­ раллельны между собой.

На рис. 214 кривые CD и G Di также яв­ ляются конформными. Они имеют парные точки, в которых полукасательные состав­ ляют между собой углы 5.

Конформные кривые линии называют равными, если они при наложении совпада­ ют. Парные точки равных кривых линий совпадают.

Равные конформные кривые линии на­ зывают параллельными, если полукасатель­ ные в их парных точках параллельны. По­ строение кривой линии, конформной данной

* О т п о з д н е л а т . c o n f o r m i s — с о о т в е т с т в у ю щ и й .

Ри с . 213

зовать заданную кривую в конформную ей кривую, необходимо знать зависимость, ко­ торая должна соблюдаться при замене длин

Р и с. 214

§ 40. П р е о б р а з о в а н и е п л о с к и х к р и в ы х линий

Площадь бесконечно малого отсека, ог­ раниченного кривой ки, касательной t и бесконечно близкими перпендикулярами к t, равна m-Ascosa =Asi - cosa, т. е. величине проекции бесконечно малой дуги искомой конформной кривой линии АіВі на первую касательную.

Подсчетом указанных площадей могут быть определены проекции ряда точек кон­ формной кривой линии АіВі на нормаль п

икасательную t. По этим проекциям опреде­

ля ю т с я точки искомой конформной кривой

лу, пару параллельных прямых (в частном случае совпадающих) или мнимое место точек.

Изучение кривых линий второго порядка представляет значительный интерес ввиду широкого применения их в ряде разделов физики, в астрономии, механике, архитек­ туре и др.

Известно, например, что планеты дви­ жутся по эллипсам. Траекториями движения твердого тела могут быть эллипс и парабола. Направленные под углом к горизонту ка­ мень, снаряд, неуправляемые баллистиче­ ские ракеты движутся по параболам.

Кривые линии второго порядка называют

кониками или линиями конических сечений.

Они получаются, например, при пересече­ нии конуса вращения плоскостями.

Рассмотрим кривые второго порядка и их некоторые свойства.

1. Эллипс

Эллипс представляет собой геометриче­ ское место точек, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Пусть в плоскости даны две точки Fi и F2 (фокусы эллипса) на расстоянии 2с друг от

Получаем геометрическое место точек, равноудаленных от одной данной точки,

у\

Е

rtS>

X

Р и с . 219

кости Q при заданном направлении проеци­ рования. Проекцией окружности на плос­ кости Q является эллипс. Окружность и эллипс являются центральносимметричными кривыми. Каждый из диаметров окруж­ ности и эллипса в середине пересекает любой другой их диаметр. Точки О и о пересечения диаметров окружности и эллипса являются центрами их симметрии.

Двум взаимно перпендикулярным диа­ метрам AB и CD окружности соответствуют два взаимно сопряженных диаметра ab и cd эллипса.

Касательной tA, проведенной к окруж­ ности в точке А и параллельной диамет-

ру CD, соответствует касательная ta, парал147 лельная сопряженному диаметру cd эллипса.

Описанному около окружности квадрату соответствует описанный около эллипса па­ раллелограмм. Такое родство двух фигур позволяет показать ряд способов их по­ строения.

На рис. 219 представлены два произволь­ но выбранных и делящихся пополам отрез­

из отрезков, например АіВі, примем за диаметр окружности, родственной эллипсу. Здесь соответственные диаметры эллипса и окружности совпадают (AB = А\Ві).

Диаметры AB и CD родственной эллипсу окружности являются взаимно сопряжен­ ными, т. е. взаимно перпендикулярны. По­ строив окружность и наметив на ней ряд точек Е, можем определить соответствую­ щий им ряд точек Еі эллипса.

Укажем другие способы построения эл­

эллипса (рис. 220). Докажем, что точке Е (рис. 220, а) окружности соответствует точ­ ка Еі эллипса (рис. 220, б). Через точку Е окружности проведем прямую BE до пере-

Г л а в а V I I . К р и в ы е л и н и и

Р и с . 221

сечения ее в точке К с прямой АС. В тре­ угольнике АВК прямые АЕ, ВС и КМ явля­ ются его высотами. Они пересекаются в точке G.

Исходя из соответствия двух родствен­ ных фигур — окружности и эллипса — уста­ навливаем, что треугольнику АВК с его высотами АЕ, ВС и КМ соответствует тре­ угольник АіВіКі с прямыми АіЕі, ВіС^ и КіMi. Точка Е окружности соответствует точке Еі эллипса.

Р и с. 222

Пусть эллипс задан сопряженными диа­

точку Кі проводим прямую, параллельную

На рис. 221 показан другой способ по­ строения эллипса по его сопряженным диа­ метрам. На полудиаметрах ОіСі и 0\В\ строим параллелограмм. Стороны парал­ лелограмма делят соответственно на оди­ наковое число равных отрезков.

Лучи, проведенные из точек G и В\ кон­ цов полудиаметров через одинаково нуме­ рованные точки сторон параллелограмма, пересекаются в точках эллипса.

Рассмотрим случай построения эллипса как ортогональной проекции окружности (рис. 222).

Пусть окружность данного диаметра при­ надлежит плоскости Мѵ. Плоскость Qv, параллельная горизонтальной плоскости проекций Н, пересекает плоскость окружнос­ ти по диаметру ab, a'b'. Здесь двум взаимно перпендикулярным диаметрам ab, a'b' и cd, c'd' окружности соответствуют сопря­ женные взаимно перпендикулярные диамет­ ры ab и cd эллипса — горизонтальной про­ екции окружности. Такие сопряженные диа­ метры эллипса называют его осями. Диа­ метр ab, a'b' окружности и ось ab эллипса равны.

При ортогональном проецировании ок­ ружности на плоскость H диаметр ab, a'b' этой окружности является большой осью эллипса. Малой осью эллипса cd является ортогональная проекция диаметра cd, c'd' окружности на плоскость Н, т. е.

cd = CD • cos ô.

Направление малой оси эллипса на плос­ кости H совпадает с проекцией направления плоскости окружности.

тому диаметру окружности, которому па­

эллипса по заданным его осям. Он основан д а параллельном проецировании окружнос­ ти. Д л я построения точек эллипса из цент­ ра О проводим две окружности, диаметрами которых являются большая и малая оси эллипса. Из центра О окружностей произ­

точек Е и К проводим прямые, параллель­

на окружностях, построим ряд соответст­ вующих точек эллипса.

На рис. 223 показано построение прямой, касательной к эллипсу в точке. Кі.

Пусть эллипс задан его осями. Проведем две окружности на большой и малой осях эллипса, как на диаметрах, и построим эл­ липс по точкам (рис. 224).

Известно, что двум взаимно перпенди­ кулярным полудиаметрам OK и ОЕ окруж­ ности соответствуют два сопряженных полу­ диаметра ОКі и ОЕ\ эллипса.

Совместим радиус OK вращением по часовой стрелке вокруг1 центра О с радиу-

§ 4 1 . К р и в ы е линии в т о р о г о п о р я д к а

149

Р и с. 223

сом ОЕ. Треугольник ОКК\, построенный на радиусе OK, в совмещенном положении представляется треугольником ОЕК\.

Отрезок К\ I, параллельный горизонталь­ ному диаметру AB окружности, занимает положение Кі2. В этом смещенном положе­ нии он перпендикулярен к диаметру AB. Получаем прямоугольник К\ЕЕ\2, стороны которого параллельны осям эллипса. Диаго­ нали 2Е и Е\К этого прямоугольника пере­ секаются в точке S, а на продолжении пере­ секаются с осями эллипса в точках О, M и TV.

л, л