книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

Точки пересечения прямой линии с по­ верхностью обычно определяют по сле­ дующей схеме:

1) через прямую линию проводят вспо­ могательную секущую плоскость (часто проецирующую) ;

2) строят линию пересечения этой вспо­ могательной плоскости с поверхностью;

3) находят точки пересечения прямой линии с линией пересечения поверхности вспомогательной плоскостью.

На рис. 307 показано построение точки пересечения хх' прямой линии ef, e'f с поверхностью переноса прямолинейного направления, заданной начальным поло­ жением ab, а'Ь' производящей линии и на­ правлением переноса — стрелкой точ­ ки ЪЪ'.

Через заданную прямую линию ef, e'f проводим фронтально-проецирующую

Построение точек пересечения прямой линии ef e'f с поверхностью вращения, заданной очерками, показано на рис. 308. Здесь через данную прямую линию про­ ведена фронтально-проецирующая плос­ кость Мѵ и построена линия пересечения ею поверхности вращения. Прямая линия пересекается с построенной кривой линией в точках хх' и уу', которые и являются искомыми точками входа прямой ef, e'f в поверхность и выхода ее из поверхности.

/ V

\

ч

\

\V1

Р и с . 309

На рис. 309 показан другой пример по­ строения точек пересечения прямой ли­ нии ab, a'b' с поверхностью вращения. Прямая линия здесь пересекается с осью поверхности вращения. Проводим гори­ зонтально-проецирующую плоскость NH данной прямой линии. Эта плоскость яв­ ляется меридиональной плоскостью по­ верхности вращения. Она пересекает по­ верхность вращения по меридиану.

Для определения точек пересечения пря­ мой линии ab, a'b' с этим меридианом плос­ кость NH поворачиваем вокруг оси поверх­ ности д о совмещения ее с главной меридио­ нальной плоскостью NiH. Указанное мери­ диональное сечение совпадает с главным ме­ ридиональным сечением, а прямая линия ab, ab' занимает положение aib\, ai'bi' и в точ­

тем обратного вращения определяем иско­ мые основные проекции точек хх' и уу' входа прямой в поверхность и выхода ее из по­ верхности.

На рис. 310 показаны построения точки пересечения прямой ef, e'f с винтовой по­ верхностью правого хода, заданной произ­ водящей линией ab, a'b' и базовой гелисой. Через заданную прямую линию проведена горизонтально-проецирующая плоскость NH

Л и н ию пересечения поверхности произ­ вольно расположенной плоскостью строят как и для проецирующей плоскости, по точ­ кам пересечения с этой плоскостью ходов ряда точек производящей линии и самой производящей линии в ряде ее положений.

В тех случаях, когда на поверхности не показаны положения производящей и хо­ дов точек, применяют вспомогательные плоскости и поверхности.

Построение линии пересечения поверх­ ности переноса прямолинейного направле­ ния произвольно расположенной плоско­ стью показано на рис. 311. Здесь поверхность переноса задана начальным положением ab, a'b' производящей линии и направлением переноса — стрелкой точки ЪѴ.

Искомая кривая линия a\b\, а\'Ь\' по­ строена по точкам пересечения с плоско­ стью cde, c'd'e' ходов ряда точек аа', 1 Г, ...

производящей линии. Ходы представлены прямыми линиями, параллельными данно­ му направлению переноса.

Для определения точки а\аі' пересече­ ния хода точки аа' с данной плоскостью про­ ведена фронтально-проецирующая плос­

ходом точки принадлежит искомой кривой линии пересечения.

Другие точки линии пересечения опреде­ лены путем таких же построений. Заметим, что прямые линии пересечения данной плос­ кости фронтально-проецирующими плоскос­ тями ходов точек 11', 22', ... производящей линии параллельны прямой линии 34, 3'4'.

Плоскость произвольного положения в ряде случаев удобно использовать как вспо­ могательную секущую для построения то­ чек пересечения прямой с поверхностью пе­ реноса прямолинейного направления.

Пусть поверхность задана плоской на­ правляющей линией ab, a'b' и направлением переноса — стрелкой точки bb'. Прямая ef e'f пересекает поверхность (рис. 312).

Через прямую ef e'f проводим плос­ кость, параллельную направлению переноса,

следом Рн. секущей плоскости. След плос­ кости пересекает в точке 33' направляющую ab, a'b'. Ход точки 33' пересекает заданную прямую ef e'f в искомой точке хх'.

При построении линии пересечения по­ верхности вращения произвольно располо­ женной плоскостью, как и в случае проеци­ рующей плоскости, сначала определяют главные точки кривой линии пересечения.

На рис. 313 построена линия пересечения поверхности вращения, заданной очерками, плоскостью mnf т'п'f. Плоскость Qv эк­ ватора поверхности вращения пересекает заданную плоскость по горизонтали ab, a'b', которая пересекает экватор в главных точ­ ках ІГ и 22' линии пересечения. Главная меридиональная плоскость NIH поверхнос­ ти вращения пересекает заданную плоскость по фронтали cd, c'd'. Фронталь пересекается с главным меридианом в точках 33' и 44'. Эти точки также являются главными точ­ ками линии пересечения. Заметим, что фрон­ таль cd, c'd' пересекается с осью поверх­ ности вращения в точке кк' и, следовательно, точка кк' является точкой пересечения оси поверхности вращения заданной плоско­ стью.

Высшая и низшая точки линии пересе­ чения поверхности вращения плоскостью особенно просто определяются для случая фронтально-проецирующей плоскости. По­ вернем заданную плоскость, вращая ее во­ круг оси, в положение фронтально-проеци­ рующей плоскости. Ее фронтальный след пройдет через точку к'. При указанном стрел­ кой направлении поворота углом поворота является угол Ô. Повернув на этот угол в принятом направлении точку mm' плоско­ сти, найдем ее смещенное положение тіті'.

213

Р и с . 313

Искомый фронтальный след Мѵ плоскости определится точками т\ и к'.

Из рассмотрения чертежа следует, что точки біоѴ и 5 і 5 і ' являются высшей и низ­ шей точками линии пересечения при смещен­ ном положении заданной плоскости.

Для восстановления заданной плоскости необходимо ее повернуть в обратном на­ правлении на угол о. При обратном повороте точки б і б і ' и 5\5і' перемещаются в горизон­ тальных плоскостях и занимают искомые положения 66' и 55' высшей и низшей точек линии пересечения.

214 Промежуточными точками линии пере­ сечения являются точки пересечения любой из параллелей поверхности вращения задан­ ной плоскостью. Возьмем, например, парал­ лель точки ее' главного меридионального сечения. Ее плоскость пересечет заданную плоскость по горизонтали. Точки 77' и 88' пересечения этой горизонтали с параллелью являются промежуточными точками иско­ мой линии пересечения.

Видимую часть линии пересечения от невидимой в горизонтальной проекции отде­ ляют точки / и 2 проекции экватора, а во фронтальной проекции — точки 3' и 4' про-

Р и с. 314

екции главного меридиана. Точка 66', рас­ положенная выше экватора, видна в гори­ зонтальной проекции, а значит видна и ду­ га 1362 проекции линии пересечения. Точ­ ка 66' видна и во фронтальной проекции, так как она лежит перед главной меридио­ нальной плоскостью. Отсюда следует, что видимой является вся дуга 3'6'2'4' проекции линии пересечения.

Линии пересечения винтовых поверхнос­ тей произвольно расположенными плоскос­ тями, как и фронтально-проецирующими плоскостями, наиболее просто строить, пользуясь вспомогательными геликоидами.

На рис. 314 показано применение вспомо­ гательных прямых геликоидов для построе­ ния линии пересечения винтовой поверхнос­ ти произвольно расположенной плоскостью mnef, m'n'e'f. Винтовая поверхность левого хода задана базовой линией — гелисой и производящей линией ab, a'b', лежащей в плоскости Q у-

Рассмотрим ряд вспомогательных гели­ коидов, производящими линиями которых являются горизонтали данной плоскости. Углы поворота <xi, dz, ... производящих ли­ ний вспомогательных геликоидов при опус­ кании их винтовым движением на плос­ кость Qy зависят от осевых смещений si, s2, ... соответствующих производящих ли­ ний.

Ось винтовой поверхности пересекается заданной плоскостью в точке кк', через кото­ рую проходит горизонталь 12, 1'2' плоскос­ ти. Эксцентриситеты е 0 , вІУ ... вспомога­ тельных геликоидов проецируются на гори­ зонтальную плоскость проекций в натураль­ ную величину и могут быть определены по горизонтальной проекции линии наиболь­ шего уклона tr, t'r' заданной плоскости mnef, m'n'e'f. Пользуясь величинами эксцентриси­ тетов & и углов поворота а, строим кривую линию (спираль Архимеда) как геометриче­ ское место оснований перпендикуляров, опу­ щенных из точки о на расположенные в плоскости Qv проекции производящих пря­ мых линий вспомогательных геликоидов. Через точки спирали перпендикулярно к ее радиусам-векторам проводим ряд распрло-

женных в плоскости Qy производящих линий вспомогательных геликоидов и отмечаем точки аа', сс', ЪЪ' их пересечения с задан­ ной производящей линией ab, а'Ь' винтовой поверхности.

Расположенные в плоскости Qy произ­ водящие линии вспомогательных геликои­ дов вместе с отмеченными на них точка­

mnef, m'n'e'f.

К О Н И Ч Е С К И Е С Е Ч Е Н И Я

При пересечении конуса вращения плос­ костью могут получаться пересекающиеся прямые, окружность, эллипс, гипербола • и парабола. Плоскость, проходящая через вер­ шину конуса, пересекает его по п р я м ы м л и н и я м . Сечением конуса вращения плос­

к его оси, то в сечении получается э л л и п с . Если секущая плоскость пересекает обе полы конуса вращения и, следовательно, параллельна двум образующим конуса, то в сечении получается г и п е р б о л а . Если же плоскость пересекает только одну полу конуса и параллельна одной образующей (угол ее наклона к оси конуса равен углу, который составляют образующие конуса с его осью), то в сечении получается п а р а ­

б о л а .

При построении линии пересечения ко­ нуса вращения плоскостью удобно исполь­

На рис. 315 показано построение линии пересечения конуса вращения фронтальнопроецирующей плоскостью My. Линией пе­ ресечения является эллипс. Точки 11' и 22'— высшая и низшая точки линии пересечения. Отрезок Г2' равен величине большой оси эллипса (Г2' = 2а), а отрезок 12 равен боль-

§54

шой оси эллипса горизонтальной проекции линии пересечения (12 = 2а cos а).

Определив большую ось 12 эллипса го­ ризонтальной проекции и его фокус s, найдем малую ось эллипса. Для этого из фокуса s

Р и с . 315

Р и с . 316

проведем окружность радиусом, равным по­ ловине большой оси 12, и засечем на перпен­ дикуляре, проведенном к большой оси в ее середине, точки 3 и 4, принадлежащие малой оси. Отрезок 34 равен величине 2Ъ малой оси эллипса, полученного от пересечения заданного конуса плоскостью Мѵ. П о из­ вестным осям строим эллипс — проекцию рассматриваемого сечения конуса.

На рис. 316 показан случай, когда секу­ щая фронтально-проецирующая плоскость пересекает обе полы конуса вращения. Здесь линией пересечения является гипербола.

Определяем без каких-либо вспомога-

Р и с. 317

тельных построений вершины гиперболы и

еецентр.

Дл я построения горизонтальной проек­ ции ветвей гиперболы воспользуемся гори­ зонтальной проекцией s точки ss', которая является одним из фокусов гиперболы-про­ екции. Пользуясь этой точкой и действитель­ ной осью 2а, находим асимптоты гипербо­ лы-проекции, а затем известным способом

строим необходимое количество ее точек. На рис. 317 показано построение линии пересечения конуса вращения фронтальнопроецирующей плоскостью Мѵ. Плоскость составляет с осью конуса угол, равный углу

2 18 Здесь сначала определены точки линии пере­ сечения, расположенные на главном мери­ диане. Фронталь 12, Г2', расположенная в главной меридиональной плоскости, пере­ секает образующие фронтального очерка в точках 33' и 44', а ось конуса — в точке кк'. Затем построена горизонталь 5к, 5'к' плос­ кости и намечен след NSH меридиональной плоскости, перпендикулярной к горизонта­ ли. В плоскости NSH находятся высшая и низшая точки линии пересечения. Эти точ­ ки ЬЪ' и aa' определены как точки пересечения прямой к8, к'8' плоскости NSH И заданной плоскости с образующими 6s, 6's' и 7s, Ts', расположенными в меридиональной плос­ кости NSH .

Отрезок ab является большой осью эл­ липса горизонтальной проекции, а точка s — одним из фокусов этого эллипса. Засекая из фокуса s точки à и с радиусом, равным поло­ вине отрезка ab, на перпендикуляре, восстав­ ленном к отрезку ab в его середине о, опре­ делим малую ось de эллипса. Взаимно пер­ пендикулярные диаметры ab, a'b' и de, d'e' представляются, как и всякие сопряженные диаметры в их фронтальных проекциях, сопряженными диаметрами фронтальной проекции линии пересечения конуса враще­ ния заданной плоскостью. Известным мето­ дом по сопряженным диаметрам опреде­ ляем большую и малую оси эллипса и строим необходимый ряд его точек.

Рассмотрим построение линий пересе­ чения поверхностей второго порядка общего вида проецирующими плоскостями. На рис. 320 показан конус второго порядка, который пересекает горизонтально-проеци­ рующая плоскость NH. Построим линию пересечения. Для этого намечаем горизон­ тальные проекции 1, 2, ... ряда точек этой поверхности, находящихся на различных па­ раллелях — эллипсах конуса. Принимаем горизонтальную проекцию основания ко­ нуса за одну из проекций обобщенного чер­ тежа. Намечаем основную линию ОіОг па­ раллельно большой оси эллипса основания.

Для точек 1, 2, ... горизонтальных проек­ ций на обобщенном чертеже недостающими проекциями являются точки 1х, 2Х, ... . Ок­ ружностям, проходящим через точки Д , 2і, соответствуют эллипсы тех паралле­ лей, на которых располагаются точки 11'',

22', ... .

Пользуясь построенными окружностями,

торых находятся выбранные точки. Проведя

линии связи намеченных точек, получаем их фронтальные проекции Г, 2', ...

Таким образом, определяем ' достаточ­ ный ряд точек искомой линии пересечения — гиперболы.

На рис. 321 показано пересечение эллип­ тического параболоида фронтально-проеци­ рующей плоскостью Мѵ. Здесь большая ось эллипса-основания не параллельна направ­ лению оси проекций. Параболоид задан его высотой h и полуосями a и b эллипса-осно­ вания. Рассмотрим построение фронталь­ ного очерка параболоида. Принимаем гори­ зонтальную проекцию основания парабо­ лоида за проекцию обобщенного чертежа, наметив основную линию ОіО параллельно большой оси эллипса и направление обоб­ щения перпендикулярно к ней.

Определим точки е и к, в которых линии связи основного чертежа касаются эллипсаоснования параболоида. Для этого через центр эллипса проводим вертикальную пря­ м у ю о! и находим ее вторую проекцию о\1\ на обобщенном чертеже.

Диаметру ехкх, перпендикулярному к прямой k Oy, соответствует диаметр эллип­ са ек.

Пользуясь точками е' и к' параболоида заданной высоты, строим параболу фрон­ тального очерка поверхности. Намечаем ряд секущих горизонтальных плоскостей Qv, ко­ торые пересекут поверхность по эллипсам. Горизонтальные проекции диаметров этих эллипсов, параллельных диаметру ек, е'к' эллипса-основания, находятся на прямой ек, а их величины определяются линиями связи по точкам параболы фронтального очерка.