книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

Г л а в а V I I . К р и в ы е л и н и и

Р и с . 185

Касательные и нормали к кривым линиям строят или графически, или пользуясь спе­ циальными приборами.

На рис. 185 показано построение каса­ тельной к кривой линии, проходящей через заданную вне кривой точку М. Здесь через точку M проведен пучок прямых, пересе­ кающих кривую AB. Помечены хорды / / ,

касательной.

На рис. 186 построена касательная к кри­ вой, параллельная заданному стрелкой на­ правлению. Для определения точки касания

Р и с . 186

проведен ряд секущих параллельно направ­ лению стрелки.

Хорды 11, 22, 33, ... разделены пополам. Кривая ошибок ab, проходящая через сере­

На рис. 187 построена касательная к кривой линии AB, проходящая через точку С этой кривой. Прямая линия ЕЕ проведена перпендикулярно к предполагаемому на­ правлению касательной. Через точку С про­

мой отложены отрезки, равные соответст­ вующим длинам хорд, образованных секу­ щими. Концами этих отрезков намечается

Покажем прием построения нормали к кривой линии, проходящей через заданную точку К вне кривой (рис. 188). Принимая точку К за центр, проводим ряд окружностей произвольных радиусов и пересекающих кривую AB. Намечаем ряд хорд 11,22,33, ...

Строим из концов хорд разносторонне на­ правленные перпендикуляры к ним и откла­ дываем на них отрезки, соответственно рав­ ные длинам этих хорд. Концами отрезков таких перпендикуляров намечается кривая линия ab ошибок. Она пересекает данную кривую AB в точке С. Прямая п является искомой нормалью к кривой AB, проходя­ щей через точку К. Практически при решении таких задач пользуются соответствующими приборами. Наиболее распространенными из таких приборов являются: зеркальная линейка, призматический дериватор (стек­ лянная трехгранная призма) и пр.

Проекции кривых линий при параллель­ ном (цилиндрическом) проецировании со­ храняют многие свойства их оригиналов.

На рис. 189 представлена плоская кривая линия АСВ. При заданном (стрелкой) на­ правлении проецирования эта кривая про­

виде секущей 1—4 проекций acb кривой.

Г л а в а V I I . К р и в ы е л и н и и

§ З Т п о н я т и я

° К Р И В И З Н Е П Л О С К О Й К Р И В О

Плоскую кривую линию рассматриваем как траекторию точки, движущейся в плос­ кости. Можно полагать, что точка движется по касательной к кривой линии, а касательная без скольжения перекатывается по кривой. Касательная указывает направление движе­ ния точки.

Движение точки связано с непрерывным изменением двух величин: расстояния s, на которое удаляется точка от начального сво­ его положения, и угла а — поворота каса­ тельной относительно начального положе­ ния (рис. 190). Кривые линии называются простыми, если с увеличением длины s угол а тоже непрерывно увеличивается.

Л И Н И И

Угол а смежности между полукасатель­ ными в двух бесконечно близких точках кривой, отнесенный к единице длины дуги, определяет степень искривленности кривой

линии. Ч е м больше угол а смежности между полукасательными, тем больше кривизна кривой.

принимается за меру кривизны кривой ли­ нии*.

Итак, кривизна — это предел отношения

угла смежности касательных к соответст­ вующей дуге.

Кривизну кривой линии обозначим к.

гом кривизны кривой в данной точке, назы­ вают предельное положение окружности, когда она проходит через данную точку и две другие бесконечно близкие к ней точки кривой.

Центр соприкасающейся окружности на­ зывают центром кривизны кривой линии в данной точке.

Радиус г такой окружности называют

радиусом кривизны. Кривизна к кривой ли­ нии в данной точке равна - р , т. е. величине,

обратной радиусу соприкасающейся в этой точке окружности.

В рассматриваемой точке кривая линия

исоприкасающаяся окружность имеют об­ щие касательную и нормаль .

На рис. 192 показаны построения центра кривизны кривой линии AB в заданной точ­ ке С.

На кривой линии AB помечаем ряд точек

ипроводим из них полукасательные. От этих точек по направлению полукасатель-

ных отложим произвольной длины равные отрезки. Концами отрезков намечается кри­ вая линия АхВи эквитангенциалъная относи­ тельно кривой AB*. Точке С кривой AB соответствует точка Ci кривой А1В1.

Нормали п и ni в точках С w Ci данной кривой AB и вспомогательной АХВХ пересе­ каются в точке О.

Точка О является искомым центром кри­ визны кривой AB в точке С. Радиус кривиз­ ны гс.

Кривизна кривой AB в точке С равна:

Геометрическим местом центров кри­ визны кривой линии AB является кривая аф0 (рис. 193). Такую кривую называют эволю­ той данной кривой AB.

Рассматриваемая кривая линия по отно­ шению к своей эволюте называется эволь­

вентой.

Эвольвенты образуются точками каса­ тельной прямой, катящейся без скольжения по кривой линии. Касательную можно пред­ ставить как нерастяжимую гибкую нить, один конец которой закреплен на кривой.

Изменим направление натянутой нити так, чтобы она оставалась касательной к

2.Через каждую точку касательной к эволюте проходит одна и только одна эволь­ вента.

3.Касательные эволюты являются нор­

§ 37. П о н я т и я о к р и в и з н е п л о с к о й к р и в о й линии

Широкое применение в различных техни- J 33 ческих расчетах имеет эвольвента окружнос­ ти или развертка круга.

Вид эвольвенты круга имеет, например, профиль зубьев цилиндрической зубчатой передачи — так называемое эволъвентное за­ цепление. Эвольвентный профиль встреча­ ется также в червячных зубчатых передачах.

* К р и в а я AB о т н о с и т е л ь н о к р и в о й А, В, на ­

т р а н с ц е н д е н т н а я п л о с к а я к р и в а я л и н и я .

Р и с . 193

П р о с т ые кривые линии, у которых радиу­ сы кривизны для последовательного ряда их точек непрерывно увеличиваются или умень­ шаются, называют монотонными.

Кривые линии, составленные из после­ довательного ряда дуг монотонных кривых линий, называют составными. Они могут быть различных видов.

Точки стыка монотонных кривых линий называют вершинами, а сами монотонные кривые — сторонами составной кривой линии. В вершинах полукасательные сторон располагаются на одной прямой линии.

Вершину называют регулярной, если в ней полукасательные сторон имеют проти­ воположные направления и если в этой точке стороны имеют общий центр кри­ визны.

Кривые линии, имеющие только ре­

На рис. 194 представлена регулярная кривая линия АС В. Она составлена из двух монотонных кривых линий АС к СВ. Точка С стыка монотонных кривых линий является регулярной вершиной составной кривой ли­ нии. В этой точке полукасательные направ­ лены разносторонне и стороны имеют об-

Р и с . 194

щий центр кривизны. Радиусы кривизны кривой линии в разных направлениях от точки С увеличиваются.

Кривая а0с0Ь0 является эволютой кривой линии АС В.

Вершины, отличные от регулярных вер­ шин, называют иррегулярными.

Вершина составной кривой линии назы­ вается двойной, если в ней полукасательные сторон имеют противоположные направле­ ния, нормали направлены в одну сторону и радиусы кривизны не равны.

Двойные вершины имеют коробовые кри­ вые линии. На рис. 195 точка А является двойной вершиной.

Точки стыка сторон монотонных кривых

рон имеют одинаковое направление, а нор­ мали имеют противоположные направ­ ления.

Вершину острия называют также точкой

и нормали сторон имеют противоположные направления. Вершину перегиба называют

если в ней полукасательные сторон и нор­ мали сторон имеют одинаковые направ­ ления.

касательные не принадлежат одной прямой линии, а кривая в этой точке имеет две каса­

Г л а в а V I I . К р и в ы е л и н и и

136

Р и с . 197

Р и с . 198

На рис. 197 показан односимметричный простой овал. Эволютой овала является односимметричная кривая линия. Осью сим­

ной овал. Эволютой овала служит симмет­ ричная иррегулярная кривая линия с двумя вершинами острия. Прямая вершин явля­ ется осью симметрии овала и его эволюты.

иррегулярная кривая линия с четырьмя вер­ шинами острия. Прямые, соединяющие про­ тивоположные вершины, являются осями симметрии овала и его эволюты .

В технике находят применение овальные зубчатые колеса, например, в ротационных газовых счетчиках и счетчиках расхода жид­ кости, в ротационных насосах. Овалы ис­ пользуют при конструировании механизмов, преобразующих непрерывное вращение в ступенчатое.

Плавные кривые линии, составленные дугами окружностей различных радиусов, называют Коробовыми кривыми линиями.

Коробовые кривые линии находят широ­ кое применение при построении очертаний сводов дверных и оконных проемов, сквоз­ ных арочных проходов через здание, ароч-. ных мостоз, кулачков механизмов и пр.

единяем прямой линией А С и на этой прямой от точки С откладываем отрезок С2, рав­ ный AI разности полуосей (AI АО—СО).

Из точки 3 середины отрезка А2 восстав­ ляем перпендикуляр и находим точки 4 и 5 пересечения его с большой и малой полу­ осями. Эти точки являются центрами сла­ гаемых дуг окружностей.

Учитывая, что овал является замкнутой кривой линией, симметричной относитель­ но осей, находим соответственно другие точки как центры остальных слагаемых дуг окружностей.

Покажем построение коробовой кривой очертания пологого свода (рис. 201). Кривая задана пролетом AB и подъемом СО срода.

Г л а в а V U . К р и в ы е л и н и и

Ри с . 203

Ст р о им трапецию AEKD. Из вершины Е

трапеции радиусом ЕА делаем засечку на

касательной ЕК. Определяем точку С — ключ свода.

Засечкой радиуса CK из центра К верши­ ны трапеции определяем точку В — вторую пяту свода.

Из точки С проводим перпендикуляр к

центрами слагаемых дуг окружностей кри­ вой АСВ очертания заданного свода.

На рис. 203 построен контур кулачка, имеющий заданный размер AB. Отрезок AB принимаем за диаметр окружности. Второй диаметр проводим перпендикулярно к AB. Он является осью симметрии кривой линии. Центрами слагаемых дуг окружностей ку­ лачка являются точки О, А, В и 1.

Соприкасание монотонных кривых ли­ ний имеет первый порядок, если в точке соприкасания радиусы их кривизны не равны

т. е. радиусы кривизны не равны. Будем иметь соприкасание первого порядка. Эво­ л ю т ы a0b0, c0d0 и вэ/д соприкасающихся кри­ вых линий AB, CD и EF не соприкасаются, и каждая из соприкасающихся монотонных кривых линий располагается всеми своими точками по одну сторону другой кривой. Такой вид соприкасания называется объем­

лющим.

Соприкасание монотонных кривых линий имеет второй порядок, если в точке сопри­ касания они имеют общий центр кривизны, а их эволюты имеют соприкасание первого порядка.

На рис. 207 монотонные кривые линии AB и CD соприкасаются и пересекаются в точ­ ке К. Центры к0 кривизны этих кривых ли­ ний совпадают, т. е. радиусы кривизны рав­

щихся кривых линий AB и CD имеют внеш­ нее соприкасание.

Эволюты соприкасающихся кривых ли­ ний могут иметь внутреннее соприкасание как пересекающееся, так и объемлющее. Монотонные кривые линии, эволюты кото­ рых находятся в пересекающемся соприка­ сании, имеют объемлющее соприкасание второго порядка..

Монотонные кривые линии, эволюты ко­ торых находятся в объемлющем соприкаса­ нии, имеют пересекающееся соприкасание второго порядка. Порядок соприкасания можно повышать. Монотонные кривые ли­

тонных кривых линий.