книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1. П о с т р о й т е ч е р т е ж и т о ч е к , р а с п о л о ж е н н ы х в р а з л и ч н ы х у г л а х п р о с т р а н с т в а .

2. П о к а ж и т е п о с т р о е н и я ч е р т е ж е й т о ч е к , р а с ­ п о л о ж е н н ы х в р а з л и ч н ы х о к т а н т а х , в т р е х п р о ­ е к ц и я х .

3. Ч т о н а з ы в а ю т п о с т о я н н о й п р я м о й ч е р т е ­ ж а ? К а к с п о м о щ ь ю п о с т о я н н о й п р я м о й ч е р т е ж а п о с т р о и т ь т р е т ь ю п р о е к ц и ю т о ч к и ?

4. П о с т р о й т е ч е р т е ж и о т р е з к о в п р я м ы х л и ­ н и й , р а с п о л о ж е н н ы х в р а з л и ч н ы х у г л а х п р о с т р а н ­ с т в а . У к а ж и т е ч а с т н ы е п о л о ж е н и я о т р е з к о в п р я ­ м ы х л и н и й .

5. К а к и е п р я м ы е н а з ы в а ю т л и н и я м и у р о в н я , п р о е ц и р у ю щ и м и п р я м ы м и л и н и я м и ?

6. Д а й т е о п р е д е л е н и е в н у т р е н н е г о и в н е ш ­ н е г о д е л е н и я о т р е з к а п р я м о й .

7. Ч т о н а з ы в а ю т с л е д о м п р я м о й л и н и и ' ? П о ­ с т р о й т е с л е д ы п р я м ы х ч а с т н о г о п о л о ж е н и я .

8. У к а ж и т е п р а в и л о п о с т р о е н и я с л е д о в п р я ­ м о й л и н и и ;

9. Д л я к а к о й п р я м о й н а ч е р т е ж е с л е д ы б у д у т : а) с о в п а д а т ь ; б) р а в н о у д а л е н ы о т о с и п р о е к ц и й ; в) л е ж а т ь н а о с и п р о е к ц и й ?

10. К а к и з о б р а ж а ю т с я на ч е р т е ж е п е р е с е ­ к а ю щ и е с я , п а р а л л е л ь н ы е и с к р е щ и в а ю щ и е с я п р я ­ м ы е л и н и и ?

11. М о г у т л и с к р е щ и в а ю щ и е с я п р я м ы е л и н и и

Проводя через точки 1Г и 22' прямую, получим горизонтальный след Рн— линию пересечения плоскости Р горизонтальной плоскостью проекций.

Линия пересечения плоскости Р фрон­ тальной плоскостью проекций V определя­ ется точками 33' и 44'— фронтальными сле­ дами прямых ab, a'b' и ас, а'с'.

Р и с . 47

Следы плоскости пересекаются на оси проекций. Угол между следами Рн и Рѵ плоскости Р на чертеже всегда больше угла между этими следами в пространстве. Сумма двух плоских углов трехгранного угла боль­ ше третьего плоского угла.

В системе плоскостей проекций плос­ кость может иметь множество различных положений.

2. Проецирующие плоскости

Плоскости, перпендикулярные к пло­ скостям проекций, называют проецирую­

щими.

Л ю б ы е геометрические образы, располо­ женные в таких плоскостях, проецируются на перпендикулярные к ним плоскости про­ екций в виде прямых линий.

На чертеже проецирующие плоскости обычно задают линиями их пересечения плоскостями проекций — следами.

На безосных чертежах проецирующие плоскости представляются одной прямой линией — линией пересечения только той плоскостью проекций, к которой они перпен­ дикулярны.

На рис. 48 показана модель проецирую­ щих плоскостей в системе плоскостей про­ екций Я и К а на рис. 49 — осный и безосный чертежи этих плоскостей.

Фронтально-проецирующая плоскость М.

Плоскость, перпендикулярную к фронталь­

Угол наклона фронтального следа к на­ правлению оси проекций равен углу а на­ клона плоскости M к горизонтальной плос­ кости проекций Я (рис. 49).

Горизонтально-проецирующая плос­ кость N. Плоскость, перпендикулярную к горизонтальной плоскости проекций Я , на­ зывают горизонтально-проецирующей. Эту плоскость можно задать двумя следами NH и Ny на осном чертеже и одним NH — на безосном чертеже.

Ри с . 50

кажением на плоскости H и ѴУІ В виде отрез­ ков прямой линии на плоскость проекций W.

Горизонтальная плоскость S. Плоскость, параллельную горизонтальной плоскости проекций Н, называют горизонтальной. Эта плоскость перпендикулярна к фронтальной

Фронтальная плоскость U. Плоскость, параллельную фронтальной плоскости про­ екций \\ называют фронтальной. Она пер­ пендикулярна к горизонтальной плоскости проекций Н. Ее задают на осном и безосном чертежах одной прямой линией — і оризонтальным следом UH.

Геометрический образ, расположенный во фронтальной плоскости, проецируется без искажения на фронтальную плоскость про­ екций.

Профильная плоскость Т. Плоскость, па­ раллельную профильной плоскости проек­ ций И7, называют профильной. Она перпен­ дикулярна к горизонтальной плоскости про­ екций H и фронтальной плоскости проек­ ций V. Ее задают на осном и безосном чер­ тежах одной прямой линией, перпендикуляр­

в профильной плоскости, проецируется без искажения на Профильную плоскость про­ екций.

На рис. 50 показаны примеры положений геометрических образов в проецирующих плоскостях.

Во фронтально-проецирующей плоскос­ ти My находятся две пересекающиеся пря­ мые -—ab, a'b' и ас, а'с': в горизонтальнопроецирующей плоскости Nf/— две парал­ лельные прямые Je, d'e' и pq, p'q'.

Прямая линия принадлежит плоскости при условии, если она проходит: а) через две точки этой плоскости; б) через точку плоскос­ ти параллельно любой прямой этой плос­ кости.

На рис. 51 показана схема задания плос­ кости двумя пересекающимися прямыми —

Выбрать точку в плоскости, т. е. задать чертеж точки, принадлежащей данной плос-

Р и с. 51

кости, произвольно, не связывая с элемента­ ми плоскости, невозможно. Точка в плос­ кости выбирается по условию, что она нахо­ дится на прямой линии этой плоскости. Точки M и К принадлежат плоскости как точки прямой / / / э т о й плоскости. Принад­ лежит плоскости и точка N как точка прямой

/ / / / / плоскости.

На рис. 52 представлен чертеж плоскости abc, а'Ь'с'. Чтобы провести прямую, принад­ лежащую данной плоскости, необходимо вы­ полнить условия, при которых она будет ле­

23, 2'3', параллельную прямой ab, а'Ь'. Эта прямая, согласно условию, будет принадле­ жать плоскости abc, а'Ь'с'. Точка пгі, наме­ ченная на прямой 23, 23', принадлежит плос­ кости.

В плоскости, кроме прямых произволь­ ного (общего) положения, можно наметить и линии, занимающие особое положение по отношению к плоскостям проекций. К таким линиям относятся:

к горизонтальной плоскости проекций назы­ вают линией наибольшего ската.

Пусть плоскость задана двумя пересекаю­ щимися прямыми линиями ab, а'Ь' и Ьс, Ь'с' (рис. 53). Построим сначала горизонталь плоскости — прямую, параллельную гори­ зонтальной плоскости проекций.

Фронтальная проекция горизонтали па­ раллельна направлению оси проекций или, что то же самое, перпендикулярна к направ­

§ 15. П р я м ы е линии и точки п л о с к о с т и

Р и с. 52

ределяем горизонтальную проекцию / точ­ ки IV.

Горизонтальную проекцию al горизон­ тали определяют как недостающую проек­ цию прямой плоскости.

Р и с . 53

46 Построим в этой же плоскости фронталь — прямую линию, параллельную фрон­ тальной плоскости проекций. Горизонталь­ ная проекция фронтали параллельна направ­ лению оси проекций.

Проведем горизонтальную проекцию а2 фронтали. Намечаем точку 2 пересечения ее с горизонтальной проекций be прямой be, b'c' плоскости. Определяем фронтальную проекцию 2' точки 22'. Прямая а'2' является недостающей фронтальной проекцией фрон­ тали а2, а'2'.

прямую, лежащую в плоскости и перпенди­ кулярную соответственно или к горизон­ талям или фронталям этой плоскости. На основании свойства параллельного проеци­ рования о взаимной перпендикулярности прямых линий устанавливаем, что прямой угол, составленный горизонталью с линией наибольшего наклона, проецируется на эту плоскость без искажения. Проводим гори­ зонтальную проекцию сЗ линии наибольшего наклона перпендикулярно к горизонтальной проекции al горизонтали. Фронтальная про­ екция с'З' искомой линии определяется по условию взаимопринадлежности прямой и плоскости.

Пример. В заданной плоскости abc, а'Ъ'с' построить прямую . Фронтальная проекция e'f прямой известна (рис. 54).

Р е ш е н и е . Фронтальная проекция e'f' прямой в точках / ' и 2' пересекается фрон­ тальными проекциями а'Ь' и а'с' прямых ab, а'Ь' и ас, а'с' данной плоскости. Опреде­ ляем недостающие горизонтальные проек­

ции 1 и 2 ЭТИХ точек.

Прямая ас, а'с' плоскости — профильная. Здесь недостающую горизонтальную про­ екцию 2 точки 22' можно определить по усло­ вию, что точка 22' делит отрезок ас, а'с' внут­ ренним делением в заданном отношении.

Из точки а в произвольном направлении проводим прямую линию и на ней от точки а откладываем отрезки, равные а'2' и 2'с'. Конец последнего отрезка соединяем пря­ мой линией с точкой с, а из конца первого проводим прямую, параллельную этой ли­ нии до пересечения ее в точке 2 с проек­ цией ас.

Точка 2 делит горизонтальную проек­ цию ас прямой ас, а'с' в том же отношении,

Пример. В плоскости abc, а'Ь'с' построить точки ее' и tt', удаленные на заданном рас­ стоянии / от плоскостей проекций Я и К Точка ее' принадлежит первой биссекторной плоскости; точка tt'—второй биссекторной плоскости (рис. 55).

Р е ш е н и е . В плоскости abc, а'Ь'с' на расстояниях от плоскостей Я и К, равных /, проводим горизонталь и фронталь. Точка ее' пересечения горизонтали и фронтали принадлежит плоскости; она равноудалена от плоскостей проекций и располагается в первом углу пространства. Продолжим раз­ ноименные проекции горизонтали до пере­ сечения в точке tt'.

Точка tt' принадлежит плоскости, равно­ удалена от плоскостей проекций и располо­ жена во втором углу пространства.

В плоскости abc, а'Ь'с' есть еще две точки, отвечающие условию задачи и расположен­ ные в третьем и четвертом углах простран­ ства. Предлагаем читателю найти их само­ стоятельно.

Пример. В заданной плоскости abc, а'Ь'с' построить прямые, параллельные биссекторным плоскостям (рис. 56).

Р е ш е н и е . Разноименные проекции прямых данной плоскости продолжим до их пересечения. Так, проекции ab и а'Ь' прямой

§ 15. П р я м ы е линии и точки п л о с к о с т и

Проекции прямой линии, параллельной первой биссекторной плоскости, составляют равные углы наклона с направлением оси проекций и не параллельны.

Проведем через точку 22' горизонталь­ ную прямую линию, а через точку IV— пря­ мую, делящую линии связи точек прямой ab, а'Ь' пополам. Эти прямые пересекаются в

кости abc, а'Ь'с' и параллельна первой бис­ секторной плоскости.

и т. п.) принадлежит плоскости этой фигуры. Поэтому проекции плоской фигуры строят по условию принадлежности точек фигуры ее плоскости.

На рис. 57 показано построение недостаю­ щей горизонтальной проекции многоуголь­ ника. Здесь плоскость многоугольника пред­

нией. Фронтальные проекции Ъ'е' и b'd' прямых пересекаются фронтальной проек­ цией d с' прямой в точках У и 2'. Определяем горизонтальные проекции 7 и 2 этих точек.

Прямые Ы и Ь2, пересекаясь соответ­ ствующими линиями связи, определяют точ­ ки е и d — недостающие горизонтальные про­

нии фигуры относительно плоскостей про­ екций. На рис. 58 каждая из проекций тре­ угольника изображает как бы разные его

стороны — лицевую и оборотную . Здесь по­ строена одна из основных точек плоской фигуры — центр тяжести треугольника — точка пересечения медиан. Эта точка на чер­ теже во всех случаях определяется непосред­ ственно, т. е. если точка делит отрезок пря­ мой в пространстве пополам, то и проекции точки делят проекции отрезка также попо­ лам . В этом случае достаточно провести медианы на каждой из проекций треуголь­ ника. Для построения центра тяжести можно также использовать и известное из геомет­ рии свойство этой точки — она делит каж­ дую из медиан в отношении 2 : 1 .

На рис. 59 каждая из проекций изображает одну и ту же сторону треугольника. Это лег­ ко представить по чертежу путем воображе­ ния. Признаком этого может также служить и порядок обхода вершин. В первом случае (см. рис. 58) обход вершин для обеих проек­ ций производят в разных направлениях: например, для фронтальной проекции — по ходу часовой стрелки, а для горизонталь-

При рассмотрении проецирующих плос­ костей установлена важная для них особен­ ность. Л ю б о й геометрический образ, лежа­ щий в проецирующей плоскости, имеет одну из своих проекций на соответствующем следе этой плоскости. Это свойство проецирую­ щих плоскостей дает возможность легко ре­ шать задачи на построение точек пересече­ ния прямых линий проецирующими плоскос­ тями и линий пересечения плоскостей общего положения проецирующими плоскостями.

Точка пересечения прямой линии ab, a'b' фронтально-проецирующей плоскостью Му (рис. 60, слева) определяется следующим об­ разом . Н а фронтальном следе плоскости на­ ходим фронтальную проекцию х' точки хх', принадлежащей данной прямой. Горизон­ тальная проекция X определяется как недо-

стающая проекция точки хх', принадлежа­ щей прямой ab, a'b'.

На рис. 60 справа показано построение точки пересечения прямой cd, c'd горизон­ тально-проецирующей плоскостью N/f. Д л я этого сначала находим горизонтальную про­ екцию у точки уу' на пересечении горизон­ тальной проекции cd прямой cd, c'd' с гори­

ложения проецирующей плоскостью опре­ деляется по точкам пересечения двух любых прямых линий плоскости общего положения проецирующей плоскостью.