книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

22

Ут-оа

без искажения проецируется на фронтальную

но-проецирующей прямой, или фронтальнопроецирующим лучом. Эта прямая без иска­ жения проецируется на горизонтальную плоскость проекций Н. Проекции проеци­ рующих лучей на соответствующих плос­ костях проекций показывают тонкими сплошными или штриховыми линиями.

Два проецирующих луча Аа и Аа', исходя­ щих из какой-то точки геометрического об­ раза, представляют собой задание некото­

Отметим, что удаление точки от горизон­ тальной плоскости проекций H равно удале­

нию фронтальной проекции этой точки от оси проекций. Удаление точки от фронталь ­ ной плоскости проекций F равно удалению горизонтальной проекции той же тонки от оси проекций. Отсюда вытекают следующие теоремы:

П о двум проекциям точки м о ж н о пред­ ставить положение этой точки в пространст­

нальными проекциями на две плоскости.

Геометрические образы в пространстве ориентируются также и относительно сис­ темы трех взаимно перпендикулярных коор­ динатных плоскостей. Линии пересечения этих плоскостей — координатные оси — по­ казаны на рис. 16.

Д л я построения чертежа точки основные плоскости проекций H и V совмещают, поворачивая вниз вокруг оси х плоскость H до совмещения ее с плоскостью проекций V.

Таким образом, все построения, выпол­ ненные в двух плоскостях, располагаются соответствующим образом в одной плоскос­ ти, принятой за плоскость чертежа. В резуль­ т а т е ' п о л у ч и м ортогональный чертеж, или эпюр* точки А (рис. 17), состоящий из двух

чертеже разноименные проекции а а а' точ­

Совместное использование двух ортогональ­ ных проекций на двух взаимно перпендику­ лярных плоскостях проекций положено в ос­ нову метода Монжа.

Две проекции (горизонтальная и фрон­ тальная) рассматриваемого геометрическо­ го образа, соединенные линиями связи со­ ответствующих его точек, служат основой для различных исследований этого геомет­ рического образа.

При решении многих задач в начерта­ тельной геометрии геометрические образы часто не связывают с плоскостями проекций, а пользуются разностью удалений их точек от соответствующих плоскостей проекций.

На рис. 18 представлен ортогональный чертеж треугольника ABC — построены его горизонтальная abc и- фронтальная а'Ъ'с' проекции.

Как уже известно, при параллельном проецировании проекции геометрического образа на плоскостях одного направления остаются неизменными, т. е. сохраняют и вид, и размеры. Учитывая это, плоскости проекций можно приближать к геометриче­ скому образу или удалять от него. Изобра­ жения на этих плоскостях остаются постоян­ ными. П о изображениям можно определять разности удалений точек геометрического образа от плоскостей проекций.

Y и с. 18

На чертеже разноименные проекции гео­ метрического образа можно раздвигать по линиям связи, сближая их или удаляя одну от другой. Поэтому здесь ось проекций как прямую, фиксирующую положение плоскос­ тей проекций Я и К можно исключить. В этом случае будем иметь безосный чертеж геометрического образа. Такими чертежами в основном и будем пользоваться.

Две плоскости проекций — Ни У при их пересечении разделяют пространство на четыре части (четыре двугранных угла). Та­ кие двугранные углы пространства называют также квадрантами, или четвертями.

На рис. 19 показана пространственная модель системы двух плоскостей проекций

на рис. 20. Точка А находится в первом углу пространства. Она удалена от плоскости проекцией Я на величину axa', равную оасстоянию от ее фронтальной проекции а до оси проекций, и удалена от плоскости F на величину axa, равную расстоянию от ее горизонтальной проекции а до оси про­ екций.

Точка В находится во втором углу. Обе проекции этой точки (горизонтальная Ь и фронтальная Ъ') на чертеже располагаются на одной линии связи выше оси проекций.

В зависимости от расстояний проекций Ъ и Ь' точки В от оси устанавливаем, что точ­ ка В располагается ближе к плоскости проек­ ций V, чем к плоскости Н.

Точка С находится в третьем углу. Здесь горизонтальная проекция с располагается выше оси проекций, а фронтальная проекция

проекций, чем ее горизонтальная проекция с, утверждаем, что точка С пространства рас­ полагается ближе к горизонтальной плоскос­ ти проекций Н.

Таким образом, по расположению проек­ ций точек относительно оси проекций можно судить о положении точек в пространстве, т. е. можно установить, на каких расстояниях от плоскостей проекций и в каких углах пространства они находятся.

На рис. 20 представлены также и чертежи точек, занимающих некоторые частные (осо-

бые) положения. Так, точки 1Г; 22'; 33' и 44' находятся в плоскостях проекций.

Точка 1Г находится на передней поле плоскости Н; горизонтальная проекция / точки ІГ располагается под осью и совпада­ ет с точкой / пространства (1=1), а фрон­ тальная — / ' находится на оси проекций.

Точка 22' находится на задней поле плос­ кости Н; горизонтальная проекция 2 точки 22' расположена над осью и совпадает с са­ мой точкой / / п р о с т р а н с т в а (11=2), а фрон­ тальная — 2' находится на оси проекций.

Точка 33' находится на нижней поле плоскости V; фронтальная проекция 3' точки 33' расположена под осью и совпадает с точ­ кой / / / пространства (111=3'), а горизон­ тальная — 3 находится на оси проекций.

Точка 44' находится на верхней поле плоскости V; фронтальная проекция 4' точки 44' расположена над осью и совпадает с точ­ кой / V пространства (/ Ѵ=4'), а горизон­ тальная — 4 находится на оси проекций.

проекции точек равноудалены от оси про­ екций.

секторной плоскости, точки 88' и 99'— вто­ рой биссекторной плоскости.

направлениях вокруг осей абсцисс и аппли­ кат, получим эпюр (чертеж) этой модели, представленный положениями осей про­ екций.

ным направлением оси —z, а отрицатель­

оси —ж, а отрицательное направление оси —у — с положительным направлением оси х.

Если обозначить на рис. 22 противополож­ ные направления координатных осей на чер­ теже соответствующими знаками, то полу­ чим обозначения осей проекций для восьми октантов (рис. 24).

Построение профильных проекций то­ чек, расположенных в других октантах, мож ­ но производить в т о м же порядке, как и для точек октанта /.

На рис. 24 показаны построения про­ фильных проекций точек А, В, С w D, распо­ ложенных в октантах /, II, / / / и / И Так, профильная проекция Ъ" точки В, располо­ женной в октанте Д на чертеже определяется следующим образом . Из горизонтальной проекции Ь точки В проводят горизонталь-

ную прямую линию bby до пересечения с осью у ординат (отрицательное направле­

На пространственной модели (рис. 23) нетрудно убедиться, что профильная проек­ ция Ъ" точки В, расположенной в октанте //, при совмещении плоскостей проекций рас­ полагается слева от оси г.

Аналогично определяются профильные проекции и других точек С и D. Можно, например, построить профильные проекции точек, расположенных и в других октантах.

При рассмотрении чертежа точки А (рис. 24) устанавливаем, что горизонталь­ ная а и фронтальная а' проекции точки А находятся на одном перпендикуляре к оси абсцисс X (на одной линии связи).

Фронтальная а' и профильная а" проек­ ции точки находятся на одном перпендику­ ляре (на одной линии связи) к оси аппликат г. Линия, связывающая горизонтальную и про­ фильную проекции точки А, представляется двумя отрезками. Это аа,— горизонтальная прямая и а,у а"— вертикальная прямая, сое­ диненные дугой окружности или равно на­ клоненной к осям прямой линией. Из точки О пересечения осей проекций можно провести прямую под углом 45° к направлениям осей ординат. Она будет постоянной прямой чер­

§ 9. Ч е р т е ж и о т р е з к о в п р я м ы х л и н и й

Р и с . 25

Таким образом, на чертеже в трех проек­ циях линиями связи являются: аа'— верти­

точки на пересечении горизонтальной линии связи с горизонтально-вертикальной.

На технических чертежах обычно оси проекций не показывают. Это означает, что плоскости проекций могут перемещаться параллельно самим себе. Однако в случае отсутствия осей проекций по известным двум проекциям некоторой точки и постоянной прямой линии чертежа можно определить третью проекцию точки (рис. 25).

1. Прямые линии общего положения

Прямая линия пространства в системе плоскостей проекций занимает некоторое определенное положение. Она может быть расположена произвольно относительно Плоскостей проекций или занимать неко­

торые частные положения — быть па­ раллельной плоскости проекций или пер­ пендикулярной к ней, принадлежать плоскос­ ти проекций и пр.

Прямая линия, занимающая в системе плоскостей проекций произвольное (общее) положение, называется прямой общего по­

ложения.