книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

Пусть произвольно расположенная плос­ кость, заданная двумя пересекающимися пря­ мыми ab, a'b' и be, b'c', пересекается фрон­ тально-проецирующей плоскостью My (рис. 61). Находим точки 11' и 22' пересечения

мая линия 12, 1'2' является линией пересе­ чения плоскостей.

На рис. 62 показан пример построения на осном чертеже линии пересечения плос­ костей, заданных следами. Следы плоскости, как известно, представляют собой прямые

линии пересечения этой плоскости плоскос­ тями проекций. Линию пересечения двух плоскостей, заданных следами, строят по точкам пересечения их одноименных следов, если они пересекаются в пределах чертежа.

Если следы плоскостей в пределах черте­ жа не пересекаются, то линию пересечения этих плоскостей строят по точкам пересе­ чения любых других (пересекающихся в пределах чертежа) прямых плоскости об­ щего положения с проецирующей плоско­ стью.

52

нии задачи используют проецирующую плоскость как вспомогательную.

Рассмотрим схему решения задачи на построение точки пересечения прямой с пло­ скостью. Пусть плоскость Q, заданная двумя прямыми — AB и АС, пересекается пря­ мой EF (рис. 65).

Решаем задачу в определенной последо­ вательности: через прямую EF проводим одну из проецирующих плоскостей (плос­ кость M или N);

Р и с. 66

определяем линию / / / пересечения за­ данной плоскости Q вспомогательной про­ ецирующей плоскостью M (N);

определяем точку X пересечения данной прямой EF с линией / / / пересечения плос­ костей Q и M (N). Эта точка, общая для прямой EF и плоскости Q, является искомой точкой пересечения прямой с плоскостью.

По этой схеме решим задачу на чертеже.

но-проецирующую плоскость M у (для этого через фронтальную проекцию прямой сле­ дует провести фронтальный след Мѵ плос­ кости);

определяем линию пересечения заданной плоскости вспомогательной проецирующей плоскостью; прямая 12, Г2' пересечения плоскостей определяется по точкам 11' и 22' пересечения прямых ас, а'с' и Ьс, Ь'с' данной плоскости проецирующей плоскостью;

определяем точку хх' пересечения пря­ мой ef, e'f с прямой линией 12, Г2' пересе­ чения плоскостей.

Точка хх' является искомой точкой пере­ сечения прямой ef, eff с плоскостью abc,

а'Ь'с'.

На рис. 67 показано решение аналогич­ ной задачи на осном чертеже. Здесь плос­ кость abc, а'Ь'с' задана следами.

треугольником (рис. 68). Определим точку пересечения прямой с треугольником и ука­ жем видимые и невидимые отрезки прямой относительно плоскостей проекций. Через прямую ef e'f проводим горизонтальнопроецирующую плоскость NH- Строим ли­ нию 12, Г2' пересечения треугольника плос­ костью NH ПО точкам пересечения сторон ас, а'с' и ab, а'Ь' треугольника с этой вспомога­ тельной проецирующей плоскостью. Опре­

жем видимые и невидимые (относительно плоскостей проекций) отрезки прямой линии, применяя способ так называемых конкури­ рующих точек.

Конкурирующими называют точки, лежа­ щие на одном проецирующем луче.

Если смотреть по направлению проеци­ рующего луча, то можно увидеть ту из кон­ курирующих точек, которая наиболее уда­ лена от плоскости проекций (или, что то же самое, наиболее близко расположена к нам).

Так, на горизонтально-проецирующем

П о фронтальным проекциям Г и 3' этих точек устанавливаем, что одна из них (точ­ ка / / ' ) расположена выше другой (точка 33') относительно плоскости проекций Я. Сле­ довательно, на участке хЗ, х'З' прямая ли­ ния ef, e'f (если смотреть на горизонталь­ ную плоскость проекций Я ) находится под плоскостью треугольника, т. е. закрыта этим треугольником. Условно горизонтальную проекцию прямой на участке хЗ покажем штриховой линией.

Чтобы определить видимость прямой от­ носительно фронтальной плоскости проек­

надлежит стороне ас,, а'с' треугольника, а точка 44' — прямой ef e'f. По местоположе­ нию горизонтальных проекций этих точек устанавливаем, что точка 55' ближе к нам, чем точка 44'.

Поэтому на участке 4х, 4'х' (если смот­ реть на фронтальную плоскость проекций V) прямая ef e'f закрыта треугольником и является невидимой. Условно на участке 4'х' фронтальную проекцию e'f прямой покажем штриховой линией.

В начертательной геометрии проециру­ ющие плоскости часто используют как вспо­ могательные для решения очень многих геометрических задач.

Пример. Через точку аа' провести пря­ мую, пересекающую данные скрещивающие­ ся прямые be, b'c' и de, d'e' (рис. 69).

Ри с . 67

Ре ш е н и е . Рассмотрим схему решения этой задачи в пространстве. Л ю б у ю из дан­ ных прямых, например, ВС и точку А при­ нимаем за плоскость. Эту плоскость в точ­

Р и с. 68

Прямая линия АХ пересекает прямую ВС в точке Y. Решим задачу на чертеже по ука­ занной схеме. Пусть точка ad и прямая Ьс, Ь'с' представляют плоскость.

Определим точку хх' пересечения с этой плоскостью второй из данных прямых — de, d'e'. Чтобы найти эту точку, через пря­ мую de, d'e' проводим вспомогательную

с плоскостью abc, a'b'c'. На пересечении прямых 12, 1'2' и de, de' находится точ­ ка хх'.

Искомая прямая линия проходит через точки ad и хх" и пересекается в точке уу'

с прямой be, Ь'с'.

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Прямую линию пересечения плоскос­ тей можно определить по точкам пересе­ чения двух любых прямых линий одной плоскости с другой плоскостью или по точ­ кам пересечения прямых каждой из плос­ костей — пересечения прямой первой плос­ кости со второй плоскостью и пересечения прямой второй плоскости с первой плос­ костью.

Следовательно, для построения линии пересечения плоскостей необходимо найти две общие для них точки.

Линию пересечения плоскостей можно построить, применяя к решению задачи и вспомогательные секущие плоскости. Обычно выбирают проецирующие плос­ кости, часто — горизонтальные или фрон­ тальные.

На рис. 70 решение аналогичной задачи представлено на чертеже. Здесь произвольно

в свою очередь, пересекаются в точке уу'. Прямая ху, х'У является линией пересечения заданных плоскостей.

На рис. 71 дано построение линии пере­ сечения двух треугольников и указана види­ мость этих треугольников относительно плоскостей проекций.

Линия пересечения ху, х'у' двух данных треугольников построена по точкам -пересе­ чения двух сторон одного треугольника с плоскостью другого треугольника. Постро­ ение точки хх' пересечения стороны ed, e'd' треугольника edk, e'd'k' с плоскостью тре­ угольника abc, a'b'c' производим по общей схеме.

Через прямую ed, e'd' проводим проеци­ рующую плоскость Мѵ. Определяем ли­ нию 12, 1'2' пересечения э*ой плоскости с плоскостью треугольника abc, a'b'c'. Точ­ ка хх' пересечения найденной линии 12, Г2'

со стороной ed, e'd' треугольника является точкой пересечения стороны одного тре­ угольника с плоскостью другого треуголь­ ника, т. е. она принадлежит линии пересе­ чения заданных треугольников.

Аналогично определяем вторую общую для двух треугольников точку — уу'. Пря­ мая линия ху, х'у' является линией пересе­ чения двух треугольников abc, a'b'c' и edk, e'd'k'. Видимость треугольников относитель­ но плоскостей проекций H и V определена с помощью конкурирующих точек.

Видимость треугольников относительно горизонтальной плоскости проекций опре­ делим следующим образом. Проведем гори­ зонтально-проецирующую прямую 67, 6'7', пересекающую стороны ed, e'd' и ab, a'b' треугольников в точках 66' и 77'. По фрон­ тальным проекциям 6' и 7' устанавливаем, что точка 77' прямой ab, a'b' ближе к нам — она дальше отстоит от плоскости про­ екций Н, чем точка 66' прямой линии

ей, e'd'.

56

Р и с . 71

Следовательно, прямая ed, e'd' на уча­ стке dx, <fx' (от точки dd' до пересечения ее с плоскостью треугольника abc, а'Ъ'с') яв­

ляется видимой. Этого достаточно, чтобы определить видимую и невидимую части треугольника edk, e'd'к' относительно гори­ зонтальной плоскости проекций Н. Соответ­ ственно определяем видимость относитель­ но той же плоскости проекций H и другого треугольника.

Аналогичными построениями определя­ ем видимость треугольников относительно фронтальной плоскости проекций. Прово ­

костью треугольника edk, e'd'k') является видимой. Этого достаточно, чтобы опре­ делить видимую и невидимую части тре­ угольника abc, а'Ь'с' относительно фронталь­

плоскости проекций V и другого треуголь­ ника.

1. Прямые линии, параллельные плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой этой плоскости.

На рис. 73 показан чертеж взаимно па­ раллельных прямой линии и плоскости.

параллельна плоскости, так как она парал­ лельна прямой 12, Г2' этой плоскости.

2. Взаимно параллельные плоскости

Если две пересекающиеся прямые линии одной плоскости соответственно параллель­ ны двум прямым другой плоскости, то эти

вести бесчисленное множество прямых, па­ раллельных данной плоскости. Пучок этих прямых представляет плоскость, параллель­ ную данной. Для задания плоскости из этого множества прямых достаточно выде­ лить две любые прямые. Д л я этого проведем из точки F вне плоскости Q (рис. 72) пря­

Прямые определяют плоскость, парал­ лельную плоскости Q.

На рис. 74 представлен чертеж плоскости, заданной двумя параллельными прямыми ab, а'Ь' и cd, c'a". Проведем через точку ее' плоскость, параллельную заданной.

Прямые ет, е'т' и en, e'ri, параллельные прямым cd, c'a" и 12, 1'2' данной плоскости, определяют плоскость, параллельную за­ данной.

Если плоскости заданы следами или глав­ ными линиями (горизонталью и фрон­

тальна), то для условия параллельности плоскостей достаточно, чтобы их следы, или главные линии, были между собой па­ раллельны.

Проведем через точку кк! плоскость, па­ раллельную данной плоскости abc, а'Ъ'с'. Плоскость abc, а'Ъ'с' задана следами (рис. 75). Проведем через точку кк' одну из главных линий искомой плоскости, напри­ мер, горизонталь. Через след горизонтали, точку / / ' проходит фронтальный след ne. ne'

а=а