книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

Р и с . 97

* О т г р е ч . apjJ-UUta — с в я з ь . Р а с п о л о ж е н и е че­ т ы р е х т о ч е к п р я м о й , п р и к о т о р о м д в е т о ч к и д е л я т о т р е з о к , с о с т а в л е н н ы й д в у м я д р у г и м и т о ч к а м и , в н у т р е н н е или в н е ш н е , в о д н о м и т о м ж е о т н о ­

ш е н и и .

Г л а в а I V . О б о б щ е н н ы е ч е р т е ж и п л о с к и х ф и г у р

72Рассмотрим несколько примеров. Пример. По известной линии обобщения

построить недостающую проекцию abc тре­ угольника abc, a'b'c' при условии, чтобы угол при вершине b равнялся заданному углу а, a биссектриса этого угла соответствовала высоте треугольника a'b'c' при вершине Ь' (рис. 101).

Р е ш е н и е . Высоту при вершине V и стороны треугольника a'b'c' продолжим до пересечения их с основной линией обобще­ ния. Проекции ab и Ьс сторон, а также бис­

сектриса угла при вершине b пройдут через полученные точки 22', 33' и 1Г.

На отрезке 23 строим равнобедренный треугольник 2оЗ, имеющий угол 2а при вер­ шине о. Из точки о, как из центра, радиу­ сом о2 описываем окружность. Эта окруж­ ность является геометрическим местом вер­

гармонически сопряженную с точкой / от­

Э та окружность является геометрическим местом вершин углов, стороны которых проходят через точки 2 и 3, а их биссектри­ сы — через точку 1.

На пересечении построенных окружнос­ тей находим точку Ь; определяем направле­ ние обобщения ЪЪ'. Путем таких построений определяем искомые проекции вершин тре­ угольника.

Пример. Построить недостающую про­ екцию abc треугольника abc, a'b'c' так, чтобы биссектриса угла при вершине b соответст­ вовала биссектрисе угла при вершине Ь', а угол при этой вершине равнялся данному углу а (рис. 102).

Р е ш е н и е . Проведем биссектрису угла при вершине Ь'; продолжим ее и стороны треугольника a'b'c' до пересечения их с ос­

Пример. Построить недостающую про­ екцию abc треугольника abc, a'b'c' так, чтобы двум высотам треугольника a'b'c' соответ-

до пересечения с основной линией обобще­ ния. Через точку V проводим также прямые, параллельные стороне а'с' и высоте а'е'.

На отрезках 12 и 34, как на диаметрах, стро­ им окружности.

Углы 2'Ь'Г и 2Ы, а также З'Ъ'4' и ЗЪ4 —

прямые. Поэтому точка Ь находится в точке пересечения построенных окружно­ стей. По точке Ъ определяют направление обобщения и остальные вершины треуголь­ ника.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1. В ч е м с о с т о и т п р и н ц и п д в о й н о г о п а р а л ­ л е л ь н о г о п р о е ц и р о в а н и я н а о д н у п л о с к о с т ь ?

н о г о ч е р т е ж а и к а к ее о п р е д е л я ю т ?

с м а т р и в а т ь к а к о б о б щ е н н ы е ? Е с л и м о ж н о , т о п о ч е м у ?

7. К а к и е т о ч к и п р я м о й н а з ы в а ю т г а р м о н и ч е ­ с к и р а с п о л о ж е н н ы м и и к а к и е г а р м о н и ч е с к и с о ­ п р я ж е н н ы м и ?

Две ортогональные проекции геометри­ ческого образа определяют его положение в пространстве. Однако произвольное поло­ жение такого геометрического образа отно­ сительно плоскости проекций не всегда удобно для решения ряда позиционных и метрических задач. Здесь происходит иска­ жение в проекциях проецируемых форм, отсутствует необходимая наглядность как объекта в целом, так и отдельных его эле­ ментов.

Во многих случаях решение задач зна­ чительно упрощается, если прямые линии и плоскости геометрического образа явля­ ются проецирующими относительно плос­ костей проекций.

Различные требования к чертежу, а так­ же необходимые условия для упрощения решения ряда позиционных и метрических задач требуют построения новых, дополни­ тельных проекций, исходя из двух заданных. Дополнительные проекции позволяют полу­ чить либо вырожденные проекции отдель­

ных элементов, либо их натуральные вели­ чины. Построение новых, дополнительных проекций называют преобразованием черте­ жа. Такое преобразование может быть вы­ полнено следующими способами:

геометрического образа в пространстве так, чтобы он занимал, согласно условию по­ ставленной задачи, какое-то частное поло­

существующей системы плоскостей проек­ ций, так и с одновременным введением новой плоскости проекций.

Рассмотрим эти способы преобразования чертежей геометрических образов и покажем их практическое применение.

Ортогональные проекции на две взаимно перпендикулярные основные (горизонталь­ ную и фронтальную) плоскости проекций позволяют видеть предмет сверху и спереди.

Однако в некоторых случаях предмет необ­ ходимо видеть и с других сторон.

При решении геометрических задач за­ данный чертеж не всегда может быть удоб-

Проекция а\ точки А на плоскости VJ определяется на перпендикуляре к дополни­ тельной оси и отстоит от нее на величи­ ну zA , равную расстоянию от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н. Ве­

задачу. Иногда приходится менять две и

ляра, опущенного из точки на прямую. Вы­ бираем систему плоскостей проекций, где отрезок ab, a'b' является проецирующим относительно какой-то плоскости проекций. Перпендикуляр, опущенный из точки на такую прямую, параллелен плоскости про­ екций и проецируется на эту плоскость в натуральную величину.

Ч т о б ы выбрать плоскость проекций пер­ пендикулярно к отрезку прямой произволь­

ствующими построениями определяем про­

определяем соответствующими построения­ ми, переходя от конечной системы плоскос­ тей проекций к начальной.

77

Р и с . 107

Р и с . 109

намечаем точку- Су — проекцию точки сс на выбранную плоскость проекций. Перпен­ дикулярно к линиям связи проводим линию отсчета.

На направлениях проецирования других точек ad и ЬЪ' заданного геометрического об­ раза от линии отсчета откладываем соответ­

Если отсек плоскости занимает произ­ вольное положение относительно плоскостей проекций, то натуральная величина опреде­

плоскостей проекций -^. На соответст­ вующем направлении проецирования (ли­ нии связи) намечаем проекцию с\ точки сс'. Перпендикулярно к линиям связи строим линию отсчета. Пользуясь разностью zB —zc аппликат точек ЪЪ' и сс', строим дополни­ тельную проекцию Ьі точки bb'.

Проекции Ci и Ьі точек сс' и ЬЪ' опреде­ ляют положение следа МѴІ плоскости, ко­ торая является проецирующей относительно плоскости проекций К. Угол а наклона следа МѴІ плоскости к направлению оси проекций

является углом наклона плоскости