книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

на плоскость, параллельную плоскостям на­ правляющих окружностей. Здесь показаны проекции направляющих окружностей и про­ екция ab направляющей прямой линии, ко­ торая проходит через точку s — середину отрезка оо, соединяющего проекции цент­ ров направляющих окружностей.

Для построения положений производя­ щей линии проведем через прямую ab какуюлибо вспомогательную плоскость. Пусть последняя пересекает плоскость первой ок­ ружности по прямой линии 12, а плоскость второй окружности — по прямой линии 34. Прямые 12 и 34 параллельны между собой, а отрезки 12 и 34 — хорды окружностей — равны, как наклоненные под равными углами к параллельным диаметрам ао и bo окруж­ ностей. Прямые лигши 14 и 23 являются положениями производящей линии. Отре­ зок ек, соединяющий середины хорд 12 и 34, равен и параллелен отрезкам 14 и 23 и про­ ходит через середину отрезка ab.

Для построения других положений про­ изводящей прямой линии надо вращать вспомогательную плоскость и соединять ука­ занным способом прямыми линиями точки пересечения ею направляющих окружностей.

равных диаметров. Поэтому вспомогатель­ ным конусом рассматриваемой поверхности является круговой конус с вершиной в точ­ ке s и направляющими окружностями с цент­ рами в точках 0 і и O j .

На рис. 296 показаны построения поло­ жений производящей прямой линии поверх­ ности косого перехода при образовании косого отверстия в плоской стене. Направ­ ляющими линиями в этом случае являются полуокружности, лежащие в параллельных плоскостях стены, а направляющей прямой линией служит прямая линия тп, т'п', пер­ пендикулярная к плоскостям стены и про­ ходящая через точку кк' — середину отрез­ ка ооі, o'oi'.

При определении положений производя­ щей линии поверхности сначала строят фрон­ тальные их проекции, они находятся на сле­ дах фронтально-проецирующих плоское-

§ 49. Л и н е й ч а т ы е к о с ы е п о в е р х н о с т и

201

тей Мѵ производящей линии. Следы Мѵ плоскостей проходят через точку т'= п' — преобразованную проекцию направляющей прямой тп, т'п'. По известным фронталь­ ным проекциям положений производящей определяются их горизонтальные проекции.

Р и с . 296

Это уравнение при некоторых частных значениях коэффициентов А, В, С,можно привести к одному из следующих видов:

для эллипсоида

для однополостного гиперболоида

для двуполостного гиперболоида

для эллиптического параболоида

для гиперболического параболоида

Если поверхность второго порядка об­ щего вида имеет центр симметрии, ее на­

гиперболоида, двухполостного гиперболои­ да, конус второго порядка, эллиптический и гиперболический цилиндры. Эти поверхнос­ ти имеют три плоскости симметрии, т. е. каждая из координатных плоскостей явля­ ется плоскостью симметрии. Начало коор­ динат является центром симметрии поверх­ ности.

Эллиптический и гиперболический пара­ болоиды, параболический цилиндр являют­ ся нецентрально симметричными поверх­ ностями второго порядка и имеют две плос­ кости симметрии.

Поверхности второго порядка (за исклю­ чением параболического и гиперболического

§ 50. П о в е р х н о с т и в т о р о г о п о р я д к а о б щ е г о в и д а

болоида) имеют сечения в виде окружностей. Любая поверхность второго порядка об­ щего вида может быть задана тремя ее очерками. Если плоскостями проекций яв­ ляются плоскости симметрии, то для зада­ ния поверхности достаточно иметь два ее

очертания.

Покажем определение недостающих про­ екций точек, расположенных на рассматри­ ваемых поверхностях.

На рис. 299 показан эллиптический пара­ болоид. Требуется построить недостающие горизонтальную проекцию m точки mm' и фронтальную проекцию п' точки пгі.

Р и с . 299

204 Принимаем горизонтальную проекцию параболоида за одну из проекций обобщен­ ного чертежа и строим вторую недостаю­ щ у ю его проекцию, наметив основную ли­ нию 0102, параллельную большой оси эл­ липса основания. Направление линий связи ортогонального чертежа сливается здесь с направлением обобщения.

У горизонтальных проекций всех эллип­ сов, полученных от пересечения параболоида плоскостями, параллельными плоскости Qv, недостающими проекциями обобщенного чертежа являются окружности с общим цент­ ром оі, диаметры которых равны большим осям эллипсов.

ность, на которой определяем две проек­ ции тг точки mm'.

Пользуясь известными построениями, определяем две горизонтальные проекции m заданной точки mm'.

По заданной горизонтальной проекции п точки строим на обобщенном чертеже ее недостающую проекцию и,. Данной проек­ цией щ определяется окружность, соответ­ ствующая эллипсу сечения параболоида той плоскостью QNV, в которой находится точ­ ка пгі.

Точке ві этой окружности соответствует на фронтальной проекции параболоида точ­ ка е', которой определяется положение сле­ да QNV плоскости. Построив линию связи точки пгі, определяем фронтальную проек­ цию п' заданной точки.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1. У к а ж и т е о с н о в н ы е с п о с о б ы з а д а н и я п о ­ в е р х н о с т е й ?

2. Ч т о н а з ы в а ю т к а р к а с о м п о в е р х н о с т и ?

3. Ч т о н а з ы в а ю т о п р е д е л и т е л е м п о в е р х н о ­

с т и ?

4. Н а з о в и т е о с н о в н ы е в и д ы п е р е м е щ е н и й п р о и з в о д я щ е й л и н и и .

в и н т о в ы м с т о л б о м , н о р м а л ь н ы м г е л и к о и д а л ь н ы м к р у г л ы м ц и л и н д р о м , в и н т о в ы м т о р о м ?

н е й ч а т ы м и п о в е р х н о с т я м и с н а п р а в л я ю щ е й п л о ­ с к о с т ь ю ? У к а ж и т е с х е м у п о с т р о е н и я п о л о ж е н и й п р о и з в о д я щ е й л и н и и т а к и х п о в е р х н о с т е й .

Плоскость пересекает поверхность по плоской кривой линии. Линию пересечения поверхности проецирующей плоскостью строят по точкам пересечения с плоскостью ходов ряда точек производящей линии и са­ мой производящей линии в ряде ее положе­ ний.

Рассмотрим построение линий пересече­ ния кинематических поверхностей основных видов проецирующими плоскостями.

На рис. 300 поверхность переноса задана начальным положением ab, а'Ь' производя­ щей линии и направлением прямолинейного

Для построения линии пересечения, со­ гласно указанной выше схеме решения зада­ чи, возьмем на производящей линии ab, а'Ь'

ному направлению переноса. Ходы этих

При построении линии пересечения по­ верхности вращения плоскостью сначала строят главные точки линии пересечения, а потом ряд промежуточных ее точек.

Главными точками кривой линии пере­ сечения поверхности вращения плоскостью

Р и с. 300

называют точки пересечения этой плоско­ стью главного меридионального сечения по­ верхности, экватора поверхности, а также высшую и низшую точки линии пересечения относительно плоскости проекций Я.

Промежуточными точками линии пере­ сечения являются точки пересечения плос­ костью параллелей поверхности.

На рис. 301 построена линия пересечения поверхности вращения, заданной очерками, фронтально-проецирующей плоскостью Mѵ. Главными точками искомой линии пересе­ чения являются точки 11' и 22', в которых главный меридиан поверхности пересека­ ется плоскостью My, а также точки 33' и 44', в которых заданная плоскость пере­ секает экватор поверхности. Точки 11' и 22' являются одновременно высшей и низшей точками искомой линии пересечения.

Точки 55' и 66' являются промежуточны­ ми точками линии пересечения. Соединив горизонтальные проекции найденных точек линии пересечения плавной кривой, получим горизонтальную проекцию искомой линии пересечения. Фронтальная ее проекция со­ впадает со следом My плоскости.

На горизонтальной проекции видимую часть этой кривой линии от невидимой отде­ ляют точки 3 и 4 проекции экватора. Та часть линии пересечения, которая расположена выше экватора, является в и д и м о й на горизонтальной плоскости проекций.

Построение линии пересечения поверх­ ности вращения, заданной очерками, гори­ зонтально-проецирующей плоскостью N Н показано на рис. 302.

Точки 1Г и 22' главного меридиана и точки 33' и 44' экватора определяются на

чертеже непосредственно. Для определения высшей и низшей точек проведем параллели поверхности, касающиеся плоскости NH. Го­ ризонтальные проекции этих двух паралле­

и 66' касания параллелей поверхности враще­ ния плоскости NH. Эти параллели являются ходами точек производящей линии. Строим фронтальные проекции параллелей и фрон­ тальные проекции 5' и 6' высшей и низшей точек 55' и 66' искомой линии пересечения.

Параллели точек сс' и ее' производящей кривой линии (горизонтальные проекции совпадают) пересекаются проецирующей плоскостью iVtf в точках, являющихся про­ межуточными точками линии пересечения. Соединив найденные точки плавной кривой линией, получим фронтальную проекцию искомой линии пересечения.

Фронтальную проекцию видимой части линии пересечения от невидимой ее части отделяют точки /' и 2', лежащие на проекции главного меридиана. Та часть кривой линии пересечения, которая расположена на поло­ вине поверхности вращения, обращенной к

проецирующими плоскостями. Тор пересе­ кает фронтальная плоскость NH И фрон­ тально-проецирующая плоскость My.

На рис. 304 показано построение линии пересечения винтовой поверхности горизон­ тально-проецирующей плоскостью NH.

Винтовая поверхность задана начальным положением ab, а'Ь' производящей линии и базовой гелисой. Базовая линия показыва­ ет, что винтовая поверхность имеет шаг S и левый ход.

стью NH. Этими построениями определены

Р и с . 303

необходимые углы поворота точек при пере­ ходе из начальных их положений аа', bb', ...

в положения а\а\ , Ъ\Ь\ , агаг, bibi, ...

Точки производящей линии при переходе их из начальных положений до совмещения с плоскостью NH совершают винтовое пере­ мещение вверх.

Осевые перемещения точек производя­ щей линии, соответствующие их угловым перемещениям, определяют по базовой ли­ нии. Так, например, угловому перемещению осА1 = /. а^оа соответствует осевое переме­ щение sAi , а осевому перемещению sA2 со­ ответствует угловое смещение а.А2.

Проведем через горизонтальные проек­ ции ai, bi ... и ai, bi ... точек линии связи. Пользуясь найденными значениями вели­ чин s A l , sA2, получим ряд точек, опреде­ ляющих фронтальные проекции а\'Ь\ и ai'bi' искомых линий пересечения aibi, а\'Ь\ и агЪг, аг'Ьг .

На рис. 305 показано построение линии пересечения винтовой поверхности горизон­ тальной плоскостью Q у. Винтовая поверх­ ность задана начальным положением произ­ водящей линии ab, a'b' и базовой линией — гелисой. Поверхность имеет шаг S и правый ход.

На производящей линии наметим ряд точек аа', 1Г, 22', W. Горизонтальными проекциями их винтовых ходов являются окружности, проходящие через горизонталь­ ные проекции а, 1, 2, ... точек. По чертежу определяем величины sA , si, si, ... осевых перемещений точек производящей линии, когда они из начальных положений, пере­ мещаясь по винтовым ходам, попадают на заданную плоскость Qv. Пользуясь базовой

линией, определяем угловые перемещения точек, соответствующие найденным осевым перемещениям. Так, например, осевому пе­

щения ряда точек производящей линии, по­ ворачиваем горизонтальные проекции точек на соответствующие им углы поворота аА , «і, а2 , ... и намечаем горизонтальные проек­

Если винтовую поверхность пересекает фронтально-проецирующая плоскость, для построения линии пересечения можно вос­ пользоваться вспомогательными прямыми геликоидами.

На рис. 306 показано применение вспомо­ гательных прямых геликоидов при построе­ нии линии пересечения винтовой поверхно­

хода задана здесь базовой линией (гелисой)

Рассмотрим семейство вспомогательных геликоидов. Геликоиды этого семейства име­ ют общую базовую линию с заданной вин­ товой поверхностью, а за производящие их линии примем горизонтали заданной плос­ кости My.В пересечении плоскостью Qy эти геликоиды образуют семейство прямых ли­ ний. Последние представляют собой поло­ жения производящих линий геликоидов, ко­ торые винтовыми движениями опустятся на плоскость Qv производящей линии за­ данной поверхности.

Величины перпендикуляров, опущенных из точки о на горизонтальные проекции ука­ занных положений производящих, равны величинам эксцентриситетов вспомогатель­ ных геликоидов, а геометрическим местом оснований этих перпендикуляров является лежащая в плоскости Qy кривая линия тп, т'п' — спираль Архимеда. Для построения спирали величины ее радиусов-векторов, рав­ ные эксцентриситетам £0 , et, можно взять из фронтальной проекции чертежа. Величи­

зуясь базовой линией, как углы поворота производящих линий вспомогательных ге­ ликоидов при их опускании винтовым дви­ жением на плоскость Qv. Осевыми переме­ щениями этих производящих линий явля­ ются Sj, S2-, s3, ...

Для ряда точек спирали Архимеда по­ строим соответствующие положения произ­ водящих линий вспомогательных геликои­ дов (прямые линии, перпендикулярные к радиусам-векторам спирали) и отметим точки аа', сс', ... их пересечения с горизон­ тальной проекцией ab производящей ли­ нии данной винтовой поверхности. Вин­ товые ходы, проходящие через эти точки, являются линиями пересечения заданной

209

Р и с

винтовой поверхности вспомогательными геликоидами. Точки пересечения этих вин­ товых ходов плоскостью My, лежащие на производящих линиях вспомогательных геликоидов (горизонталях плоскости My), принадлежат искомой линии пересечения.

Находящиеся в плоскости Qy произ­ водящие линии вспомогательных геликои­ дов с отмеченными на них точками аа', сс', ... приводим в начальные их положе­ ния горизонталей плоскости. Эти точки занимают положения аіа\', сісі', го­ ризонтальными проекциями которых яв­ ляются точки ai, ci, ... . Геометрическим местом этих точек является искомая кри­ вая линия aicibi, ai'ci'bi' пересечения за­ данной винтовой поверхности фронталь­ но-проецирующей плоскостью My .