книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

Г л а в а X . В з а и м н о е пересечение п о в е р х н о с т е й

240

на чертеже не показана). Следы вспомога­ тельных плоскостей на плоскостях Мѵ и Uv проходят через эти точки. Их горизонталь­ ные проекции Рм и Pu проходят соответ­ ственно через точки к и t. Кроме того, сле­ ды Рм и Pu пересекаются между собой на линии ef— горизонтальной проекции линии пересечения плоскостей МК и Uv.

Следы вспомогательных крайних двух секущих плоскостей показывают, что пере­ сечение является полным, т. е. имеет вид входа и выхода.

Следы вспомогательных плоскостей сна­ чала проводим через вершины направляю­ щего многоугольника призмы и через точки

направляющей линии конуса, принадлежа­ щие очерковым его образующим . Затем проводим следы промежуточных вспомога­ тельных плоскостей. Точки взаимного пере­ сечения образующих, проходящих через на­ меченные следами точки на направляющих линиях, принадлежат искомой линии пере­ сечения.

Для определения последовательности со­ единения точек искомой линии пересечения воспользуемся методом одновременных об­ ходов направляющих линий поверхностей.

На рис. 351 построена линия пересечения цилиндра пирамидой для случая, когда на­ правляющие линии поверхностей лежат в

сечении. Рассматриваемый случай дает одну замкнутую линию пересечения — линию врезки одной поверхности в другую.

Проводим следы вспомогательных секу­ щих плоскостей через точки направляющих линий цилиндров, принадлежащих очерко­ вым образующим.

Через точки пересечения следов вспомо­ гательных плоскостей с направляющими ли­ ниями поверхностей проводим образующие и отмечаем точки их взаимного пересечения. Полученные точки принадлежат иско­ мой линии пересечения заданных поверх­ ностей.

Для определения последовательности со­ единения точек пересечения образующих применим метод одновременного обхода направляющих линий. Соединив найденные точки пересечения образующих, получаем одну замкнутую пространственную кривую линию.

Внизу справа (рис. 354) показана модель пересекающихся цилиндров.

На рис. 355 построена линия пересечения поверхностей цилиндра и призмы, направ­ ляющие линии которых расположены в раз­ ных одноименных проецирующих плоскос­ тях — во фронтально-проецирующих плос­ костях Мѵ и Uv, пересекающихся между собой по фронтально-проецирующей прямой линии.

Для определения на плоскостях направ­ ляющих линий направлений следов вспомо­ гательных плоскостей через произвольно выбранную точку кк' проводим прямые ли­

ются точками пересечения этих прямых ли­

Плоскость Ы32, к'ГЗ'2' параллельна об­ разующим обеих поверхностей и пересека­ ется с плоскостью Мѵ по прямой линии 31, З'Г, которая в точке 44' пересекается линией пересечения плоскостей My и Uv. Плос­ кость к132, к'ГЗ'2' пересекается с плоско­ стью Uv по прямой линии 24, 2'4'.

§ 60. В з а и м н о е пересечение л и н е й ч а т ы х п о в е р х н о с т е й

Образующие поверхностей, проходящие через точки пересечения парных следов Р м и Рц с направляющими линиями, пересека­ ются между собой в точках, принадлежащих искомой линии пересечения заданных по­ верхностей.

Для определения последовательности со­ единения точек линии пересечения поверх­ ностей применяют метод одновременного обхода направляющих линий поверхностей.

На рис. 356 построена линия пересечения двух цилиндров. Направляющая линия од­ ного цилиндра лежит в горизонтально-про­ ецирующей плоскости NH. Направляющая линия другого цилиндра находится во фрон­ тально-проецирующей плоскости Мѵ.

Имеем две пересекающиеся поверхности второго порядка.

Для построения линии их взаимного пе­ ресечения воспользуемся вспомогательными секущими плоскостями параллельными об­ разующим заданных поверхностей.

Определим направления следов вспомо­ гательных плоскостей на плоскостях NH и Мѵ направляющих линий. Выбираем гори­ зонтально-проецирующую плоскость NlH параллельно плоскости NH и точку кк' вне этой плоскости. Через точку кк' проводим прямые линии kl, к'Г и к2, к'2', параллель­ ные направлениям образующих заданных поверхностей, и строим точки их пересече­ ния 1Г и 22' с плоскостью N1H . Таким обра­ зом, вспомогательные плоскости имеют сле­ ды на плоскости NH, параллельной плос-

На рис. 358 построена линия пересечения коноида с конусом. Коноид задан направ­ ляющими линиями ab, a'b' и cd, c'd' и плос­ костью параллелизма ІѴ#, а конус — на­ правляющей линией, лежащей в плоско­ сти My, и вершиной ss'.

Линию пересечения заданных поверхно­ стей строим по точкам пересечения с кону­ сом производящей линии коноида в ряде ее положений.

Точки пересечения производящей линии коноида с конусом определяются с помощью вспомогательной плоскости производящей, проходящей через вершину ss' заданного конуса. Для построения точки пересечения, например, производящей линии 11, Г Г ко­ ноида с конусом, проводим через вершину конуса прямую линию, параллельную поло­ жению 11, ГГ производящей линии, и на­ ходим точку ее пересечения tt' с плоско­

стью My направляющей линии конуса. Про­ изводящая линия И, ГГ коноида пересека­ ется с плоскостью My в точке кк'.

Вспомогательная плоскость, проведенная через указанную производящую и проходя­ щая через вершину конуса, таким образом, пересекает плоскость Му по прямой ли­ нии tk, t'k', а конус — по образующей sn, s'n', проходящей через точку пгі пересечения пря­ мой линии tk, t'k' с направляющей линией конуса.

Точка хх' пересечения образующей sn, s'n' конуса с производящей линией 11, Г Г ко­ ноида принадлежит линии пересечения за­ данных поверхностей. Указанным методом построен ряд точек, принадлежащих искомой линии пересечения.

Плоскость My направляющей линии ко­ нуса пересекает поверхность коноида по кривой линии.

ската цилиндром

Построим линию пересечения поверх­ ности одинакового ската цилиндром.

На рис. 359 показаны поверхность оди­ накового ската, образующие которой со­

лельны плоскости Qy, а его направляющая линия лежит в плоскости NH.

Кривая линия ef, e'f является ребром воз­ врата заданной поверхности одинакового ската. Направление образующих цилиндра указывает стрелка точки ad направляющей его линии.

Плоскости, параллельные плоскости О у, пересекают поверхность одинакового ската

ции которых — эвольвенты проекции ef ребра возврата ef e'f.

Линии уровня являются одновременно ходами точек производящей линии поверх­ ности одинакового ската.

Определим точки пересечения указанных ходов точек производящей прямой линии поверхности одинакового ската с цилинд­ ром. Плоскость QIV, параллельная плос­ кости Qv, пересекает цилиндр по образую­ щим, которые проходят через точки 1Г и 33' направляющей его линии. В этой же плос­ кости находится ход точки 22' производящей линии dt, d't' поверхности одинакового ската. Точки гг' и кк' пересечения построенного хода точки 22' производящей линии поверх­ ности одинакового ската с образующими ци-