книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

170конечно малых слагаемых перемещений. Это дает возможность рассматривать и кинема­ тическую поверхность предельно суммарной, состоящей из бесконечно большого числа бесконечно малых (по площади) поверх­ ностей, из которых каждая ограничена бес­ конечно близкими положениями произво­ дящей линии.

Наибольшая наглядность изображения поверхности на чертеже получается построе­ нием сети поверхности, т. е. построением последовательного ряда положений произ­ водящей линии и ходов ряда точек произво­ дящей, а также построением очерков по­ верхности.

Рассмотрим кинематические поверх­ ности, у которых бесконечно малые переме­ щения производящей линии сохраняют свой вид.

Поверхности, у которых бесконечно ма­ лые перемещения производящей линии яв­ ляются поступательными перемещениями

Поверхности, у которых бесконечно ма­ лые перемещения производящей линии яв­ ляются перемещениями вращения с общей неподвижной осью, называют поверхностя­

ми вращения.

Поверхности, у которых бесконечно ма­ лые перемещения производящей линии яв­ ляются винтовыми перемещениями одного параметра с общей винтовой осью, назы­ вают винтовыми поверхностями.

Отметим следующие важные свойства кинематических поверхностей основных ви­ дов.

Поверхность переноса может быть об­ разована поступательным перемещением любой кривой линии, принадлежащей по­ верхности, по тому же направлению. По­ верхность вращения может быть образована вращением любой ее кривой вокруг той же оси. Аналогичное положение характерно и для винтовых поверхностей; их производя­

щими могут быть различные по форме кри­ вые, лишь бы они пересекали все ходы точек.

При перемещении точки по ходу кусок вырезанной вокруг нее поверхности совме­ щается с поверхностью всеми своими точ­ ками.

без деформаций сдвигаться вдоль самой себя.

При изучении кинематических поверх­ ностей основных видов прежде всего рас­ сматривают вопросы задания поверхности на чертеже, способы построения на основе этих заданий ряда положений движущейся производящей линии и очерков.

Через каждую точку кинематической по­ верхности основного вида проходит произ­ водящая линия и ход рассматриваемой точ­ ки. Сообразно с этим, точку на заданной ки­ нематической поверхности намечают или исходя из условия, что через нее проходит ход соответствующей точки производящей линии, или из условия, что через нее прохо­ дит производящая линия поверхности. В тех случаях, когда на чертеже трудно получить производящую линию в соответствующем ее положении и указанные ходы ее точек, при­ меняют вспомогательные проецирующие се­ кущие плоскости и строят линию сечения по­ верхности плоскостью.

1. Поверхности переноса прямолинейного направления

Поверхность переноса прямолинейного на­ правления образуется непрерывным посту­ пательным перемещением производящей кривой линии. Поверхность можно задать (рис. 253) начальным положением ABC про­ изводящей линии и направлением переноса (стрелкой). Ходами точек производящей ли-

Это означает, что для любой поверхности вращения можно строить вписанные или описанные сферы.

При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой п-го порядка образуется алгебраическая по­ верхность вращения в общем случае 2 п-го порядка. Если кривая второго порядка вра­ щается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка.

П о виду кривых линий второго порядка в главном меридиональном сечении поверх­ ности вращения имеют следующие назва­ ния:

сфера (шар), если производящая кривая линия является окружностью, а ось совпадает с ее диаметром;

тор*, если производящая окружность вращается вокруг оси, лежащей в плоскости окружности и не проходящей через ее центр.

Если ось вращения пересекает производя­ щую окружность или касается ее, получается

закрытый тор.

Если ось вращения не пересекает произво­ дящую окружность и не касается ее, получа­

параболоид вращения образуется враще­ нием параболы вокруг ее оси;

однополостный гиперболоид вращения об­ разуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси;

двуполостный гиперболоид вращения обра­ зуется вращением гиперболы вокруг ее дей­ ствительной оси;

конус вращения образуется вращением вокруг оси кривой 2-го порядка, распадаю­ щейся на две пересекающиеся прямые линии; цилиндр вращения образуется вращением вокруг оси кривой 2-го порядка, распадаю­ щейся на две параллельные прямые линии.

* Т о р я е л я е + с я п о в е р х н о с т ь ю ч е т в е р т о г о п о ­ р я д к а .

Р и с . 256

Конус и цилиндр вращения являются ли­ нейчатыми поверхностями. Линейчатой по­ верхностью является и однополостный ги­ перболоид вращения. Здесь производящая прямая и ось вращения представляют собой две скрещивающиеся прямые линии.

Поверхность вращения на чертеже мож­ но задать проекциями производящей линии и проекциями неподвижной оси (рис. 256).

При принятом расположении оси по­ верхности вращения горизонтальная проек­ ция производящей линии не изменяет своего вида при всех положениях производящей линии, а углы поворота точек производящей линии проецируются на горизонтальную плоскость в натуральную величину.

Путем поворота вокруг центра (проекции оси вращения) построим ряд положений го­ ризонтальной проекции производящей ли­ нии. Имея горизонтальные проекции про­ изводящей линии и параллели, можно по-

Р и с. 257

строить фронтальные проекции параллелей, а затем и фронтальные проекции ряда поло­ жений производящей линии. Эти построения наметят сеть заданной поверхности враще­ ния.

Поверхность вращения, заданную непод­ вижной осью и производящей произволь­ ного вида кривой, можно представить и за­ данной очерками (рис. 257). Здесь фронталь­ ным очерком является фронтальная проек­ ция фронтального меридиана, а горизон­ тальным — горизонтальная проекция наи­ большей параллели.

На рис. 258 показано построение не­ достающей горизонтальной проекции е точ­ ки ее' и недостающей фронтальной проекции с' точки сс' поверхности вращения. Ходами точек производящей линии поверхности вра­ щения являются ее параллели. Производя­ щей линией является фронтальный мериди­ ан. Параллель точки ее' пересекается с про-

174

Р и с . 258

изводящей линией в точке еіеі. Через го­ ризонтальную проекцию еі этой точки про­ ходит горизонтальная проекция указанной параллели. Линия связи точки ее пересе­ кает параллель в искомой точке. Замечаем, что заданной фронтальной проекции е' точки ее' соответствуют две горизонтальные про­ екции.

Таким образом, поставленная задача име­ ет два решения, так как фронтально-проеци­ рующий луч, общий для обеих найденных точек, дважды пересекает поверхность вра­ щения.

Для определения недостающей фронталь­ ной проекции с' точки сс' строим горизон­ тальную проекцию параллели (окружность) этой точки. Этой окружности соответствуют в нашем случае фронтальные проекции двух параллелей. Линия связи точки с пересекает их в точках с'.

Таким образом, и эта задача имеет два решения, так как горизонтально-проецирую­

щий луч, общий для обеих полученных точек, дважды пересекает заданную поверхность вращения.

На рис. 259 показано образование по­ верхности однополостного гиперболоида вращения. Такая поверхность на чертеже (рис. 260) изображена очерками. Осью по­ верхности вращения является горизонталь­ но-проецирующая прямая, а производящей линией — прямолинейный отрезок ab, а'Ь'.

Наименьшей параллелью (шейкой) по­ верхности является окружность, радиус г которой равен наименьшему расстоянию между осью и производящей линией. Парал­ лели, плоскости которых находятся на оди­ наковых расстояниях от плоскости шейки поверхности, имеют одинаковые радиусы. Поэтому плоскость шейки является плос­ костью симметрии, а центр кк' параллели шейки — центром симметрии поверхности. Поверхность вращения ограничена здесь дву­ мя равными параллелями.

Какое-либо другое положение aibi, а\'Ь\ производящей линии найдем, если на гори­

а\ и Ь\ будут тогда горизонтальными про­ екциями точек, принадлежащих производя­

симметрии поверхности. Поэтому на рас­ сматриваемой поверхности, если принять плоскость NH за плоскость симметрии, име­ ем прямую линию cd, e'd', симметричную прямой линии ab, а'Ь'. Прямая линия cd, e'd' пересекается всеми параллелями по­ верхности и, следовательно, ее можно при­ нять за производящую линию поверхности вращения.

Таким образом, однополостный гипер­ болоид вращения имеет две производящие прямые линии. Производящие линии ab, а'Ь' и cd, e'd' составляют с осью поверхности угол <5, величина которого не изменяется при вращении производящих линий вокруг оси. Через центр кк' проведем прямые ли­ нии, параллельные различным положениям

производящих линий ab, a'b' и cd, c'd'. Геометрическим местом этих прямых линий является поверхность конуса вращения с вершиной в точке кк', состоящая из двух полостей (половин), направленных каждая в сторону расширения поверхности. Этот конус вращения называют асимптотическим

конусом поверхности.

Две скрещивающиеся прямые опреде­ ляют задание гелисы, если одну из них при­ нять за ось гелисы, а другую — за касатель­ ную к ней. Если при этом гелиса имеет пра­ вый ход, то прямые имеют правое скрещива­ ние, если левый ход — левое скрещивание.

Поэтому, аналогично, производящую пря­ мую линию однополостного гиперболоида вращения называют правой или левой про­ изводящей линией, в зависимости от того, в каком скрещивании она находится с осью поверхности. Согласно чертежу, производя­ щая линия ab, a'b' является левой, а произво­ дящая линия cd, c'd'— правой производящей линией.

Параметром скрещивания прямых линий

называют отношение величины наимень­ шего расстояния между этими прямыми ли­ ниями к величине угла между ними. Точки на прямых линиях, расстояние между ко-

176 торыми равно наименьшему расстоянию между прямыми, называют центрами скре­

щивающихся прямых линий.

Два смежных положения производящей правой и левой линий представляют собой две скрещивающиеся прямые линии. Следо­ вательно, поверхность однополостного ги­ перболоида вращения можно рассматривать как два семейства скрещивающихся прямых линий. При этом каждая прямая одного се­ мейства пересекает все прямые другого се­ мейства, кроме одной, ей параллельной.

На каждой поверхности, представляющей собой семейство скрещивающихся прямых линий, можно провести кривую линию, яв­ ляющуюся геометрическим местом центров скрещивающихся бесконечно близких поло­ жений производящей линии. Эту кривую на­ зывают линией сужения (стрикционной ли­ нией) поверхности. Она представляет собой самую короткую из кривых линий на поверх­ ности, пересекающих все положения произ­ водящей линии.

Д л я однополостного гиперболоида вра­ щения линией сужения является параллель радиусом г, его шейка, так как она, очевидно, является самой короткой кривой линией на поверхности, пересекающей все положения правой и левой производящих линий.

Параметр скрещивания двух бесконечно близких положений производящей линии равен:

*Aß

где As и Aß— бесконечно малые расстояния и углы между смежными положениями про­ изводящей линии. Наименьшее расстояние между бесконечно близкими положениями производящей линии равно:

Д s = Д ST cos ô ,

где Asi— бесконечно малая дуга линии су­ жения.

Вследствие однообразия движения про­ изводящей линии величину рк надо считать постоянной. Следовательно,

При полном обороте производящей ли­ нии si = 2nR, а величина ß равна углу сек­ тора, получающегося от развертки асимпто­ тического конуса.

Возьмем на асимптотическом конусе вра­ щения его параллель радиусом г. Длина об­

2пг

ß = • sin ô = 2 л • sin ö .

г

Величина параметра скрещивания после подстановки

Рассматриваемую поверхность называют

однополостным гиперболоидом вращения, по­ тому что она меридиональными плоскостя­ ми пересекается по гиперболам.

Лежащие в меридиональной плоскости образующие асимптотического конуса явля­ ются асимптотами для гиперболы меридио­ нального сечения.

На рис. 260 построена гипербола, которая является фронтальным очерком поверхности однополостного гиперболоида вращения, и указаны ее действительная и мнимая оси.

Поверхности вращения второго порядка широко используются в машиностроении и строительной технике. Различные детали машин и механизмов, конструкции различ­ ных опор и башен и т. п. ограничены именно такими поверхностями. Широко известная радиомачта В. Г. Шухова (1853—1939) пред­ ставляет собой семейство однополостных гиперболоидов с двумя сериями прямолиней­ ных образующих. Такая конструкция обла­ дает высокой прочностью и легкостью.

И теперь конструкция Шухова с успехом применяется, например, в качестве лесов (опалубки) железобетонных градирен, водо­ напорных башен, морских маяков и др.

3. Винтовые поверхности

Винтовая поверхность образуется вин­ товым перемещением производящей линии. Ее можно задать (рис. 261) начальным поло-

жением ab, а'Ь' производящей линии, не­ подвижной осью, шагом и ходом. Располо­ жение оси примем, как и для поверхности вращения, перпендикулярным к плоскости проекции Н.

Ходами всех точек производящей линии являются цилиндрические винтовые линии, имеющие одинаковые с винтовой поверх­ ностью шаг и ход. Эти винтовые ходы точек производящей линии имеют, очевидно, и об­ щий так называемый единичный шаг

который называется параметром винтовой поверхности />=so=-^-. Горизон­ тальными проекциями ходов точек произ­ водящей линии являются окружности с об­ щим центром в точке, являющейся вырож­ денной проекцией винтовой оси.

Наметим путем поворота вокруг этой точ­ ки ряд положений горизонтальной проекции движущейся производящей линии. При по­ вороте производящей линии вокруг оси на угол ß она получает осевое перемещение на величину:

S

горизонтальным проекциям, определяют ис­ ходя из условия, что фронтальные проекции точек производящей выше на величины s фронтальных проекций одноименных точек производящей линии в начальном ее поло­ жении. Соединив фронтальные проекции од­ ноименных точек производящей линии при различных ее положениях плавными кривы­ ми, получим фронтальные проекции ходов ряда точек производящей линии, представ­ ляющие собой синусоиды.

Путем приведенных выше построений наметится сеть винтовой поверхности, со­ стоящая из ряда положений производящей линии и винтовых ходов ряда точек произ­ водящей линии.

Здесь горизонтальный очерк винтовой поверхности представлен контуром, ограни-

§ 47. Кинематические поверхности основных видов

177

Р и с. 261

ченным горизонтальными проекциями хо­ дов точек производящей линии и горизон­ тальными проекциями производящей линии

вначальном и конечном ее положениях. Фронтальный очерк поверхности пред­

ставлен контуром, ограниченным фронталь­ ными проекциями начального и конечного положений производящей линии, а также фронтальными проекциями ходов крайних точек производящей линии и кривыми ли­ ниями, огибающими ходы точек производя­ щей линии или ряд ее положений.

Плоскости, проходящие через ось вин­

осевого смещения для углового смещения 2п—ас. Угловому смещению 2ж—ас в на­ правлении поднимающейся точки соответ­ ствует осевое смещение S — s c , равное осе­ вому расстоянию между фронтальными про­ екциями 3' и 4' точек 33' и 44'.

Проводим линию связи точки сс' и стро­ им искомую фронтальную проекцию с ' , ко­ торая в осевом направлении располагается выше фронтальной проекции сб на вели­ чину S c .

Винтовые поверхности, у которых про­ изводящими являются прямые линии, на­

зывают геликоидами.

Геликоид называют п р я м ы м , если про­ изводящая прямая линия составляет с осью поверхности прямой угол; во всех других случаях геликоид называют косым.

Если производящая прямая линия пере­ секается с осью поверхности, геликоид на­

Наименьшее расстояние между произво­ дящей прямой линией и осью называют

вать как геометрические места скрещиваю­ щихся прямых линий.

На рис. 264 показан чертеж прямого за­ крытого геликоида правого хода и шага S. Здесь поверхность задана базовой гелисой