книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

Г л а ва V I I . К р и в ы е линии

2г

Р и с. 241

смещения точки по заданному ее осево­ му смещению и величины осевого смеще­ ния точки по заданному ее угловому сме­ щению.

Осевому смещению s точки, движущей­ ся по гелисе из положения 11х в положе­ ние 22', соответствует определенное угловое смещение a ï . Угловому смещению a точ­ ки, движущейся из положения 33' в положе­

ской винтовой линии.

На рис. 241 показаны соосные цилиндри­ ческие винтовые линии одинакового шага S и хода, но различных радиусов (г и гі). Эти кривые линии имеют одинаковый еди­ ничный шаг So, но разные углы наклона

(90°—<5) и (90°—<5і) к горизонтальной плоскости Qv.

Замечаем, что осевому смещению s точки, движущейся по траектории гелисы радиу­ сом г из положения пп' в положение и', соответствует определенное угловое пере­ мещение as

Такому же осевому перемещению s точ­ ки, движущейся по траектории гелисы радиу­ сом г\ из положения ее" в положение кк', соответствует определенное (как и для пер­ вой гелисы) угловое перемещение

Траекторию точки, движущейся по обра­ зующей вращающегося вокруг своей оси прямого кругового конуса, называют кони­ ческой винтовой линией. Если и вращатель­ ное и прямолинейное движения равномерны, имеем коническую винтовую линию с по­ стоянным шагом S (рис. 242).

Шагом конической винтовой линии назы­ вают величину прямолинейного перемеще­ ния точки в направлении оси конуса при пол­ ном ее обороте вокруг оси.

Коническая винтовая линия с постоян­ ным шагом проецируется на плоскость, пер­

пендикулярную к оси конуса, в виде спирали Архимеда*, полюсом которой является про­ екция вершины конуса.

Проекция конической винтовой линии на плоскость, параллельную оси конуса,— синусоида с уменьшающейся высотой волны (угасающая синусоида).

* С п и р а л ь А р х и м е д а — п л о с к а я к р и в а я л и ­ н и я , к о т о р а я о б р а з у е т с я п р и р а в н о м е р н о м д в и ­ ж е н и и т о ч к и п о р а д и у с у - в е к т о р у , в р а щ а ю щ е м у с я с п о с т о я н н о й у г л о в о й с к о р о с т ь ю в о к р у г н е п о д ­ в и ж н о й т о ч к и ( п о л ю с а ) .

* Л о г а р и ф м и ч е с к а я с п и р а л ь — п л о с к а я к р и ­ в а я л и н и я , о б р а з у е м а я д в и ж е н и е м т о ч к и п о в р а ­ щ а ю щ е м у с я в о к р у г п о л ю с а р а д и у с у - в е к т о р у , е с л и у г о л п о в о р о т а у в е л и ч и в а е т с я в а р и ф м е т и ч е с к о й п р о г р е с с и и , а р а с с т о я н и е т о ч к и д о п о л ю с а п р и э т о м в о з р а с т а е т в г е о м е т р и ч е с к о й п р о г р о с с и и .

Две винтовые линии на конусе вращения, одинаково наклоненные к образующей, конгруентны, если они направлены в одну сторону (обе правоили левовинтовые).

Рассмотренные конические винтовые ли­ нии являются монотонными (простыми) про­ странственными кривыми линиями.

Г л а в а V I I . К р и в ы е линии

§45К Р И В Ь , Е

Л И Н И И Н А С Ф Е Р Е

Плоские кривые линии на сфере (шаре) имеют только одну геометрическую форму — окружность. При неизменной ориентации сферы в пространстве различают линии, за­ нимающие частное положение относитель­ но плоскостей проекций.

Параллели или линии широт, — окруж­ ности, полученные от пересечения сферы горизонтальными плоскостями. Наиболь­ шую параллель, полученную от пересечения сферы горизонтальной плоскостью, про­ ходящей через ее центр, называют эква­

тором.

Меридианы — окружности, полученные от пересечения сферы горизонтально-про­ ецирующими плоскостями, проходящими че­ рез центр сферы. Окружность, полученная

от пересечения сферы любой плоскостью, проходящей через центр сферы, является

геодезической линией. Эта линия кратчайшим путем соединяет любые две точки на сфере. Ее также называют брахистодой*, или орто­ дромией** (рис. 244).

Из пространственных кривых линий на сфере рассмотрим линию одинакового ската и локсодромию.

На рис. 245 изображена сферическая ли­ ния одинакового ската. Касательные к такой линии в любой ее точке имеют постоянный угол наклона к горизонтальной плоскости проекций.

Горизонтальной проекцией линии наи­ большего ската на поверхности сферы радиу­ сом Ro является эпициклоида, полученная перемещением точки круга радиусом г, ка­ тящегося по внешней стороне круга радиу­ сом R. Здесь:

рабля). Траекторией движения корабля меж­ ду пунктами отправления и прибытия явля­ ется локсодромия. Она прокладывается на шаре по спирали, делая бесконечно большое число оборотов, стремясь к полюсам.

Локсодромия имеет уравнение вида:

Я = t g a l n tg(45°+ у ) ,

где ф — широта точки на сфере (считая от экватора);

Я— долгота точки на сфере (считая от какого-либо начального меридиа­ на);

ос — заданный угол между локсодроми­ ей и меридианами.

На рис. 246 построена локсодромия в ортогональных проекциях. Обе ее проекции

где р — радиус-вектор спирали; X— долгота.

Сферическую локсодромию очень удобно строить, применяя стереографические про­ екции. Из способа образования локсодромии следует, что касательные к ее стереографи­ ческой проекции должны составлять постоян-

Г л а в а V t l . к р и в ы е линии

1 6 4 ный угол а с проекциями касательных к ме­ ридиональным сечениям или составлять по­ стоянные углы с радиусами-векторами, сое­ диняющими точки стереографической про­ екции кривой линии с точкой касания сферы плоскостью стереографических проекций.

Кривой линией, удовлетворяющей этому условию, является, как уже известно, лога­

рифмическая спираль. Она должна нахо­ диться в плоскости проекций и составлять с радиусами-векторами, исходящими из точ­ ки касания, заданный угол а.

Соединяя точки спирали с полюсом пря­ мыми линиями и находя точки пересечения этих прямых линий со сферой, наметим ряд точек, которые принадлежат локсодромии.

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

1. К а к и е к р и в ы е л и н и и н а з ы в а ю т а л г е б р а и ­ ч е с к и м и и к а к и е т р а н с ц е н д е н т н ы м и ?

2. Ч т о н а з ы в а ю т п о р я д к о м а л г е б р а и ч е с к о й к р и в о й ?

3. Ч т о н а з ы в а ю т к р и в и з н о й п л о с к о й к р и в о й и как ее о п р е д е л я ю т г р а ф и ч е с к и ?

4. Д а й т е о п р е д е л е н и е э в о л ю т ы и э в о л ь в е н т ы п л о с к о й к р и в о й .

5. У к а ж и т е о с н о в н ы е с в о й с т в а э в о л ю т их

8. К а к и е к р и в ы е н а з ы в а ю т - о в а л а м и ? П о к а ­ ж и т е п р и м е р ы о в а л о в .

9. К а к и е к р и в ы е н а з ы в а ю т с я с о п р и к а с а ю ­ щ и м и с я ?

10. К а к о е п р е о б р а з о в а н и е п л о с к и х к р и в ы х н а з ы в а ю т к о н х о и д а л ь н ы м , и н в е р с и е й , к о н ф о р м ­

ю т г е л и с а м и , и к а к их з а д а ю т на э п ю р е М о н ж а ?

1. Аналитический способ задания поверхностей

Поверхности (алгебраические или транс­ цендентные) можно рассматривать как гео­ метрическое место точек или линий. Коорди­ наты точек этого геометрического места удовлетворяют некоторому заданному урав­ нению вида F (х, у, z) = 0.

Поверхность называется трансцендент­ ной, если ее уравнение — трансцендентная функция* относительно х, у, z.

Алгебраической поверхностью п-го по­ рядка называют поверхность, уравнение ко­ торой — алгебраическое уравнение степе­ ни п. Плоскость, как известно, выражается уравнением первой степени. Ее называют поверхностью первого порядка. Л ю б а я про­ извольная плоскость пересекает поверхность п-го порядка по кривой линии того же по­ рядка (иногда распадающейся или-мнимой). Л ю б а я произвольная прямая пересекает по­ верхность и-го порядка в п точках (действи­ тельных или мнимых).

Аналитический способ задания поверх­ ности находит широкое применение в прак­ тике, особенно если требуется исследовать свойства поверхности, инвариантные относи­ тельно ее изгибания — внутренние свойства поверхности.

2. Задание поверхности каркасом

Поверхности, к которым нельзя приме­ нить математические закономерности, обыч­ но задают достаточно плотной сетью линий, принадлежащих этим поверхностям. Сово­ купность таких линий называют дискрет­ ной* сетью, или дискретным каркасом по­ верхности.

Одним из распространенных в промыш ­ ленности методов конструирования поверх­ ностей является метод конструирования по­ верхностей с помощью непрерывного карка­ са. Каркас поверхности может состоять и из пространственных кривых линий. Однако

168 щая (прямая или кривая) или ось и направ­ л я ю щ а я (окружность). Окружность может быть и направляющей линией цилиндра и его образующей.

Цилиндр вращения можно также пред­ ставить как поверхность, огибающую однопараметрическое семейство сфер с центрами, расположенными на прямой (оси цилиндра). Поэтому определителем цилиндра вра­ щения может быть ось и радиус образующей сферы.

Задание поверхности на чертеже проек­ циями ее определителя обеспечивает обра­ тимость чертежа, его метрическую опреде­ ленность, но не дает наглядности изображе­

ния. Для большей наглядности изображения поверхности в ряде случаев используют ее очерки — границы видимости на плоскостях проекций.

Очерком данной поверхности называют линию пересечения с плоскостью проекций проецирующей поверхности (цилиндриче­ ской или конической, в зависимости от вида проецирования), обертывающей данную по­ верхность.

Обертывающие проецирующие цилиндр или конус касаются данной поверхности по кривой линии, которую называют контур­ ной линией. Очевидно, очерк поверхности является проекцией контурной линии.

Производящая (образующая) линия при движении в пространстве из начального по­ ложения в некоторое конечное занимает ряд последовательных положений, т. е. со­ вершает ряд перемещений. Под перемеще­ нием понимается переход производящей ли­ нии из одного ее положения в какое-либо другое. Такая производящая образует кине-

Р и с. 250

матическую поверхность. Каждая точка про­ изводящей описывает линию, которую назы­ вают ходом данной точки.

Рассмотрим основные виды перемещений производящей линии.

Поступательным перемещением произво­ дящей кривой линии называют такое ее перемещение, при котором начальное и ко­ нечное положения производящей представ­ ляют собой равные и параллельные кривые линии.

На рис. 250 показан чертеж поступатель­ ного перемещения кртгвсй линии, которая из начального положения ab, a'b' переходит в положение а\Ъ\, а'іЫ. Прямолинейные от­ резки, ходы точек производящей линии, равны и параллельны между собой. Они определяют величину и направление посту­ пательного перемещения кривой линии.

Вращательным перемещением произво­ дящей линии называют такое ее перемеще­ ние, при котором все положения производя­ щей получаются путем поворота ее вокруг некоторой неподвижной оси.

На рис. 251 показаны положения ab, a'b' и tfibi, a\b\ кривой линии, совершившей вращательное перемещение на угол ß вокруг неподвижной вертикальной оси. В этом слу­ чае горизонтальные проекции ab и aibi производящей линии имеют одинаковый

Р и с . 251

вид, а угол поворота кривой линии проеци­ руется на плоскость H в натуральную ве­ личину.

Винтовым перемещением производящей линии называют такое ее перемещение, при котором все последующие положения про­ изводящей получаются при помощи двух перемещений: поступательного и вращатель­ ного. Последовательность этих перемеще­ ний — произвольная, а направление посту­ пательного перемещения параллельно оси вращательного перемещения. Эту ось назы­ вают винтовой осью перемещения.

На рис. 252 показан пример винтового перемещения кривой, которая из начального положения ab, a'b' переходит в положение a\bi, ai'bx'. Кривая совершила поворот во­ круг вертикальной оси в заданном направ­ лении на угол ß, и поступательное переме­ щение вдоль винтовой оси на величину s в

Р и с . 252

указанном направлении.

Величину P~~ß > где угол ß измеряется

в радианах, называют параметром винто­ вого перемещения. Поступательное и враща­ тельное перемещения можно рассматривать как частные случаи винтового.

Поступательное перемещение можно представить винтовым перемещением с па­ раметром P=-jj- =-J5" = G 0 , так как в этом случае /3=0.

Вращательное перемещение можно пред­ ставить винтовым перемещением с пара­ метром р= -д- = у- = 0 , так как в этом случае

s=0 .

Полное перемещение производящей ли­ нии при образовании ею поверхности рас­ сматривают как предельное суммарное, со­ стоящее из бесконечно большого числа бес-