Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

74.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4242

Г л а в а X V I I I . К р и в и з н а п о в е р х н о с т и

4 1 0 Индикатриса Дюпена имеет вид сопря женных* гипербол, если касательная плос кость в рассматриваемой точке пересекает поверхность. Такую точку называют гипер болической. Касательная плоскость к линей чатой поверхности проходит через ее про изводящую прямую линию.

Если она остается касательной плоско стью для всех точек этой прямой, то инди катриса Дюпена такой поверхности в точках производящей линии представляется двумя параллельными прямыми линиями. Точки, расположенные на этой производящей ли нии, называют параболическими.

Описанные выше возможные виды инди катрисы Дюпена показывают, что в каждой

точке поверхности величины кривизны k ^

нормальных сечений поверхности достига ют двух крайних значений.

Направления, в которых кривизны нор мальных сечений имеют минимум и макси мум, взаимно перпендикулярны и совпадают с главными диаметрами индикатрисы Д ю

пена. Их называют главными			направлениями
на поверхности		в рассматриваемой точке.
Нормальные		сечения Ni и N2, проведен
ные в главных направлениях, называют				глав
ными	сечениями.
Величины к\		J- и кг	J - главных се-
		И1	К2
чений	называют	главными	кривизнами	по

верхности в рассматриваемой точке. Соот ветствующие этим кривизнам радиусы Ri

и Ri называют главными радиусами кривизны

поверхности в рассматриваемой	точке, а их
центры — центрами кривизны	поверхности

вданной ее точке.

Вэллиптической точке главные кривизны имеют одинаковые знаки, а в гиперболиче ской — противоположные. В параболиче ской точке одна из главных кривизн равна нулю.

Вгиперболической точке поверхности можно отметить два асимптотических на правления (асимптоты гиперболы) с нулевой

* Сопряженными н а з ы в а ю т г и п е р б о л ы , и м е ю щ и е о б щ и е а с и м п т о т ы . Д е й с т в и т е л ь н а я о с ь к а ж д о й из них р а в н а м н и м о й ос и л р у і ой и на о б о р о т .

кривизной нормального сечения, т. е. можно построить прямые, к которым ветви гипер болы неограниченно приближаются при уда лении в бесконечность. Здесь радиусы кри визны бесконечно большие.

Радиус кривизны R -jk любого нор мального сечения N выражается через глав ные радиусы кривизны формулой Эйлера*:

	cos' ф	sin ф
R	R: +	Ri
или		ф + кг - sin2 ф,
k = ki • cos2		ф + кг - sin2 ф,
где ф - угол между плоскостями N и Ni
	нормальных		сечений;
	главное нормальное сечение, соот
Ni —ветствующее главному радиусу кри
	визны	Ri.		~
Для	параболических точек			~	0. Фор-
			1	cos2 é
мула Эйлера принимает вид				- = — г или
			К		К\
к кісоэ2ф.		Если	индикатрисой		Дюпена
является	равнобочная (равносторонняя) ги
пербола, то главные радиусы кривизны рав

ны по величине и противоположны по зна

ку: Ri	—R\.		Формула Эйлера принимает
вид:						cos 2ф
1	1			,
--- = —(cos			ф — sin			ф) =
R	Ri			v		Ri
В этом		случае		асимптотические				направ
ления взаимно перпендикулярны (ф								± 45°).
Величину,			равную			полусумме		главных
кривизн,		называют			средней		кривизной по
верхности		в рассматриваемой					точке.
Поверхности,				во	всех точках			которых

средняя кривизна равна нулю, называют

минимальными.

Минимальные поверхности с гиперболи ческими точками имеют индикатрисами Д ю пена равнобочные гиперболы.

Из поверхностей вращения минимальной поверхностью является катеноид — поверх ность, которая получается при вращении

цепной линии вокруг		своей оси.	Цепной
Э й л е р	в 1760 г. в ы в е л с л е д у ю щ у ю		ф о р м у л у :
	2Яі•	R2
Ri	+ R2 - (R,	~Rг)•cos2ф

Кинематическая поверхность основного вида имеет в заданной на поверхности точке ту же самую индикатрису Дюпена, что и соприкасающийся в этой точке ее эталон.

§ 114. С о п р и к а с а ю щ и е с я э т а л о н ы к и н е м а т и ч е с к и х п о в е р х н о с т е й

линией называется линия провеса однород

Здесь постоянные

величины

Е,

М, 4 1 1

ной нити (цепи), подвешенной за оба ее

называют

коэффициентами

Гаусса;

их

конца. Из линейчатых поверхностей мини

можно

определить

из

аналитических

выра

мальной

поверхностью

является

поверх

жений

рассматриваемой

поверхности

(ее

ность

винтового

коноида.

уравнений).

Произведение

- главных

кривизн

В правой части

уравнения

положитель

ный знак относится к эллиптическим

точкам

К 1 • Л2

поверхности,

отрицательный — к

гипербо

называют

гауссовой*

кривизной

поверхности

лическим.

данной

точке.

Уравнение

показывает,

что

это

кривая

Индикатриса Дюпена в рассматриваемой

линия

второго

порядка,

центром

которой

точке поверхности

дает

возможность

опре

является

рассматриваемая

точка

поверх

делить

кривизну

любого

нормального се

ности.

чения поверхности, а также главные направ

Пользуясь коэффициентами

Гаусса,

мож

ления

кривизн,

главную

и среднюю

кри

но

определить

главные

радиусы

кривизны

визны.

из

квадратного

уравнения

(LN—M2)R2--

При исследовании кривизн

поверхностей

— (EN — 2FM

GL)R

• (EG — F 2 )

вы

воспользуемся

аппаратом

дифференциаль

текающего из

характеристического

уравне

ной геометрии, придерживаясь

преимущест

ния

индикатрисы.

венно

графических

методов решения

наме

Э т о

уравнение

можно привести

виду:

ченных

задач.

AR2—

I C O .

Индикатрису

Дюпена

можно

построить

по

известному

из

дифференциальной

гео

Его

применяют

для

определения

глав

метрии

уравнению:

ных радиусов

кривизны и построения

инди

2М

= + 1 .

катрисы

Дюпена рассматриваемой

поверх

X 2

+ .

• X V +

• у

ности.

-JEG

С О П Р И К А С А Ю Щ И Е С Я Э Т А Л О Н Ы К И Н Е М А Т И Ч Е С К И Х П О В Е Р Х Н О С Т Е Й

§114

В начертательной геометрии при иссле

касания и индикатрису Дюпена для этой точ

довании кривизны поверхностей не пред

ки

касания.

ставляется возможным широко пользовать

Аналогично

определению

соприкасаю

ся

построением

индикатрисы

Дюпена,

щейся окружности плоских и пространствен

так как во многих случаях здесь рассматри

ных кривых линий можно определить сопри

ваются поверхности, не имеющие аналити

касающийся эталон в заданной точке кине

ческих выражений. Д л я этого используют

матической поверхности основного вида.

методы дифференциальной

геометрии.

Соприкасающимся

эталоном

кинемати

Соприкасающимся

эталоном

поверхности

ческой поверхности основного вида в за

данного закона образования называют та

данной ее точке называют предельное

поло

кую поверхность, которая при соответству

жение винтового тора, который с заданной

ющем ее размещении может иметь с рассмат

кинематической

поверхностьюосновногови -

риваемой кинематической поверхностью об

да имеет три общих бесконечно близких хода.

щие касательную плоскость, заданную точку

* П о и м е н и	к р у п н е й ш е г о н е м е и к о і о м а т е м а
т и к а Г а у с с а , К а	р л а Ф р и д р и х а (1777	1855).

Г л а в а X V U I . К р и в и з н а п о в е р х н о с т и

4 1 2 Э т о следует из того, что соприкасающиеся окружности нормальных сечений поверх ности и кривые линии сечения ее соприкаса ющегося эталона совпадают как предель

ные положения окружностей,		проходящих
через три точки на трех общих		бесконечно
близких	ходах.
Если	окружность заменена	производя

щей прямой линией, то соприкасающийся винтовой гор имеет вид прямого или косого закрытого геликоида, конуса вращения, ци линдра вращения или плоскости. Эти по верхности сами являются эталонами.

У линейчатых ротативных и спироидаль-

ных улиток	соприкасающимися эталонами
соответственно		являются конусы	вращения
и геликоиды	с	эксцентриситетом,	равным
нулю.
Однополостные гиперболоиды			вращения

и геликоиды с неравными нулю эксцентриси тетами являются соприкасающимися эта лонами ротативных и спироидальных ли нейчатых поверхностей с направляющей пло скостью.

Очевидно кривизну в заданных точках кинематических поверхностей основных ви дов с плоскими производящими линиями можно определить, например, построив ин дикатрису Дюпена для точек винтового тора,

вводя	в расчетные уравнения			соответствую
щие	параметры:
г — радиус производящей				окружности,
R — радиус		гелисы центра производя
щей	окружности,
р — винтовой		параметр	винтовоготора,
ф — угол наклона к оси			винтового гора

касательной, построенной в данной точке производящей окружности.

Давая соответствующие значения вели чинам этих параметров, можно получить расчетные уравнения к построениям инди катрис Дюпена для винтового гора общего вида и для его частных случаев: закрытых

геликоидов (R		со),	торов	(р 0), конусов
вращения	(р	0, R	оо) и	цилиндров вра
щения (р	со).

Полученные таким путем расчетные урав нения позволяют строить индикатрису Дю пена кинематических поверхностей основных видов при общем способе их задания базо вой линией и производящей кривой линией произвольного вида.

Отметим, что для поверхностей враще ния базовая линия преобразуется в ось поверхности, а для поверхности переноса — в направление переноса. В этих случаях не обходимо лишь построить соответствующее плоское сечение рассматриваемой поверх ности и, пользуясь им, по чертежу опреде лить параметры r, R и ф соприкасающегося винтового тора, который имеет о б щ у ю с заданной поверхностью индикатрису Д ю пена.

Прямые и косые геликоиды наиболее точ но характеризуют строение линейчатых по верхностей с плоскостью параллелизма и направляющей плоскостью в их бесконечно малых отсеках, поэтому их можно рассмат ривать как соприкасающиеся эталоны этих поверхностей.

Таким образом, построение индикатрисы Дюпена различного вида геликоидов дает возможность решить все вопросы о кри визне линейчатых поверхностей с плоско стью параллелизма и направляющей плос костью.

В о п р о с ы д л я		с а м о п р о в е р к и
1.	Д а й т е о п р е д е л е н и е и н д и к а т р и с ы Д ю п е н а .
2.	К а к и е п о в е р х н о с т и н а з ы в а ю т м и н и м а л ь
н ы м и ?
3.	Ч т о н а з ы в а ю т і а у с с о в о й к р и в и з н о й п о

в е р х н о с т и в д а н н о й т о ч к е ?

4. Н а п и ш и т е о б щ е е у р а в н е н и е и н д и к а т р и с ы Д ю п е н а .

5. К а к и е п о в е р х н о с т и н а з ы в а ю т с о п р и к а с а ю щ и м и с я з і а л о н а м и р а с с м а т р и в а е м ы х к и н е м а т и ческих п о в е р х н о с т е й ?

Л И Т Е Р А Т У Р А

Б у б е н н и к о в

А . В.,

Г р о м о в

М . Я .

Н а ч е р т а т е л ь н а я

г е о м е т р и я .

М . ,

«"Высшая

ш к о л а »

1965.

В ы г о д с к и й

М . Я .

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н а я

г е о м е т р и я .

М . — Л . ,

Г И Т Т Л ,

1949.

Г л а г о л е в

Н . А. Н а ч е р т а т е л ь н а я г е о м е т

р и я .

М . , Г И Т Т Д ,

1953.

Г л а з у н о в

Е . А . и Ч е т в е р у х и н

Н . Ф .

А к с о н о м е т р и я .

М . , Г И Т Т Л ,

1953.

Г о р д о н

В. О. и

С е м е н ц о в - О г и -

е в с к и й М . А .

К у р с н а ч е р т а т е л ь н о й

г е о м е т

р и и .

М . , Ф и з м а т г и з ,

1971.

Г р о м о в

М . Я .

Н а ч е р т а т е л ь н а я

г е о м е т

р и я .

Ч .

I I ,

М . ,

В З П И ,

1954.

Г р о м о в

М . Я . П р о с т р а н с т в е н н ы е к р и в ы е

л и н и и в о р т о г о н а л ь н ы х п р о е к ц и я х . М . ,

В З П И ,

1956.

Д о б р я к о в

А . И .

К у р с н а ч е р т а т е л ь н о й

г е о м е т р и и ,

М .

Л . , Г о с с т р о й и з д а т ,

1952.

И е р у с а л—и м с к и й

А . М .

Н а ч е р т а т е л ь

н а я г е о м е т р и я .

М . ,

Р о с в у з и з д а т , 1963.

К о л о т о в

С. М . ,

Д о л ь с к и й

Е. Е.,

M и X а й л е н к о В . Е.,

Г у с е в Н . А . ,

Г о р

л е н к о Б. С .

К у р с н а ч е р т а т е л ь н о й г е о м е т р и и .

К и е в , Г о с с т р о й и з д а т

У С С Р , 1958.

К о т о в

И . И .

Н а ч е р т а т е л ь н а я

г е о м е т р и я .

М . ,

« В ы с ш а я ш к о л а » .

1970.

К р ы л о в

H . Н . ,

Л о б а н д и е в с -

к и й П . И . ,

M э н С. А .

Н а ч е р т а т е л ь н а я г е о

м е т р и я .

М . ,

« В ы с ш а я

ш к о л а » ,

1963.

К у з н е ц о в

Н . С. Н а ч е р т а т е л ь н а я г е о м е т

р и я .

М . , « В ы с ш а я

ш к о л а » ,

1969.

К у л и к о в А . С . Н а ч е р т а т е л ь н а я г е о м е т р и я в п р и м е н е н и и к ч е р ч е н и ю , к о н с т р у и р о в а н и ю


и п р о е к т и р о в а н и ю .					М . , М а ш г и з ,				1959.
	К у р д ю м о в				В. И .		К у р с н а ч е р т а т е л ь н о й
г е о м е т р и и .			С П б . ,		1893-97.
	М а к а р о в				Н . И .		К у р с н а ч е р т а т е л ь н о й
г е о м е т р и и .			С П б . ,		1870.
	M о н ж Г.			Н а ч е р т а т е л ь н а я г е о м е т р и я .							М . ,
и з д .	А Н	С С С Р ,		1947.
	П о п о в		Н . А. К у р с н а ч е р т а т е л ь н о й г е о м е т
р и и .	М . ,	Г о с т е х и з д а т ,				1947.
	П о с в я н с к и й					А. Д . ,	К р а т к и й курс			н а ч е р
т а т е л ь н о й		г е о м е т р и и .				М . , « В ы с ш а я			ш к о л а » ,	1970.
	Р у с с к е в и ч				Н . Л .		Н а ч е р т а т е л ь н а я				г е о
м е т р и я .		К и е в , « Б у д і в е л ь н и к » ,						1970.
	Р ы н и н Н . А .					Н а ч е р т а т е л ь н а я г е о м е т р и я .
Л . , Г о с с т р о й и з д а т ,					1939.
	С е в а с т ь я н о в					Я . А.		О с н о в а н и я		н а ч е р
т а т е л ь н о й г е о м е т р и и .						С П б . ,		1821.
	Т р а у т м а н				Н . Ф. С б о р н и к з а д а ч п о						н а

ч е р т а т е л ь н о й г е о м е т р и и в п р и м е н е н и и к р а з л и ч

н ы м	о б л а с т я м	н а у к и и		т е х н и к и . М . ,		М а ш г и з ,	1954.
	Ф р о л о в	С. А . П р е о б р а з о в а н и е п р о е к ц и й .
М . ,	« М а ш и н о с т р о е н и е » , 1970.
	Ч е т в е р у х и н Н . Ф ..				Л е в и ц к и й В. С ,
П р я н и ш н и к о в а				3. И . ,	Т е в л и н А .		М . ,
Ф е д о т о в Г . И .			Н а ч е р т а т е л ь н а я г е о м е т р и я .
М . ,	« В ы с ш а я	ш к о л а » ,		1963.
	Ч е т в е р у х и н		Н . Ф. и д р . К у р с н а ч е р т а
т е л ь н о й г е о м е т р и и .			М . , « В ы с ш а я			ш к о л а » ,	1968.
	Ч у в и к о в Н . Г .			П р е о б р а з о в а н и е п р о е к
ц и й .	М . , « С о в е т с к а я		н а у к а » ,		1957.

О Г Л А В Л Е Н И Е

П р е д и с л о в и е

В в е д е н и е

У с л о в н ы е о б о з н а ч е н и я

л а

в а

I .

О с н о в н ы е

м е т о д ы

проецирова

ния

геометрических форм

на плоскости

§ 1. Ц е н т р а л ь н о е ' ( к о н и ч е с к о е )

п р о е ц и р о

в а н и е

§ 2. П а р а л л е л ь н о е ( ц и л и н д р и ч е с к о е ) п р о

е ц и р о в а н и е

§ 3. О с н о в н ы е

с в о й с т в а

п а р а л л е л ь н о г о

п р о е ц и р о в а н и я

§ 4. В о с п р и я т и е ( п р е д с т а в л е н и е ) п р е д м е т а

п о е г о и з о б р а ж е н и ю в п а р а л л е л ь н ы х п р о

е к ц и я х

1. П р я м о у г о л ь н ы е ( о р т о г о н а л ь н ы е ) п р о

е к ц и и

2. А к с о н о м е т р и ч е с к и е п р о е к ц и и

. . .

3. П р о е к ц и и с ч и с л о в ы м и

о т м е т к а м и 18

4. В е к т о р и а л ь н ы е ( ф е д о р о в с к и е )

п р о е к

ц и и

§ 5. П р о с т р а н с т в е н н а я м о д е л ь к о о р д и н а т

н ы х п л о с к о с т е й п р о е к ц и й

§ 6. П о с т р о е н и е ч е р т е ж е й г е о м е т р и ч е с к и х

о б р а з о в в о р т о г о н а л ь н ы х п р о е к ц и я х

. . 21

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

Г л а в а

П .

Точка и отрезки прямых

линий

на э п ю р е М о н ж а

§ 7. Ч е р т е ж и т о ч е к , р а с п о л о ж е н н ы х в р а з

л и ч н ы х у г л а х п р о с т р а н с т в а

§ 8. Ч е р т е ж и т о ч е к в т р е х п р о е к ц и я х

. . 26

§ 9. Ч е р т е ж и о т р е з к о в п р я м ы х л и н и й

. 29

1. П р я м ы е л и н и и о б щ е г о п о л о ж е н и я

. 29

2. П р я м ы е ,

п а р а л л е л ь н ы е

п л о с к о с т я м

п р о е к ц и й

3. П р о е ц и р у ю щ и е п р я м ы е

4. П р я м ы е , п а р а л л е л ь н ы е б и с с е к т о р н ы м

п л о с к о с т я м '

10.

Д е л е н и е

о т р е з к а

п р я м о й

л и н и и

з а

д а н н о м о т н о ш е н и и

§ 11.

С л е д ы п р я м о й л и н и и

12.

О п р е д е л е н и е

д л и н ы

о т р е з к а

п р я м о й

и у г л о в е г о н а к л о н а к п л о с к о с т я м п р о е к ц и й

13.

В з а и м н о е

п о л о ж е н и е

п р я м ы х

л и н и й

1. П е р е с е к а ю щ и е с я п р я м ы е

2. П а р а л л е л ь н ы е п р я м ы е

3. С к р е щ и в а ю щ и е с я п р я м ы е

В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и

л а

в а

I I I .

П л о с к о с т ь

на эпюре

М о н ж а .

О с н о в н ы е позиционные и

метрические

за

дачи

14.

З а д а н и е п л о с к о с т и

1. П л о с к о с т ь о б щ е г о п о л о ж е н и я . . .

2. П р о е ц и р у ю щ и е п л о с к о с т и

15.

П р я м ы е

л и н и и

т о ч к и

п л о с к о с т и

16.

П р о е к ц и и

п л о с к и х

ф и г у р

17.

П е р е с е ч е н и е

п р я м ы х

л и н и й

п л о с

к о с т е й п р о е ц и р у ю щ и м и п л о с к о с т я м и

. . 49

18.

П е р е с е ч е н и е

п р я м ы х

л и н и й п л о с к о с

т я м и о б щ е г о п о л о ж е н и я . У с т а н о в л е н и е в и
д и м о с т и п р я м о й											51
§	19.	В з а и м н о			п е р е с е к а ю щ и е с я п л о с к о с т и						54
§	20.	П р я м ы е			л и н и и	и п л о с к о с т и ,			п а р а л
л е л ь н ы е п л о с к о с т и											56
	1. П р я м ы е л и н и и , п а р а л л е л ь н ы е								п л о с
	к о с т и										56
	2. В з а и м н о п а р а л л е л ь н ы е п л о с к о с т и										56
§ 21 . П р я м ы е л и н и и и п л о с к о с т и , п е р п е н
д и к у л я р н ы е к п л о с к о с т и											58
	1. П р я м ы е л и н и и , п е р п е н д и к у л я р н ы е к
	п л о с к о с т и										58
	2: В з а и м н о п е р п е н д и к у л я р н ы е п л о с к о с т и										60
§	22.	В з а и м н о			п е р п е н д и к у л я р н ы е				п р я м ы е
о б щ е г о п о л о ж е н и я											61
	В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и										62
Г л а в а				I V .	О б о б щ е н н ы е		чертежи		плос
ких фигур
§	23.	Д в о й н о е			п а р а л л е л ь н о е			п р о е ц и р о в а
н и е п л о с к и х ф и г у р на о д н у п л о с к о с т ь										.	64
§	24.	П р я м ы е			у г л ы о б о б щ е н и я						65
§	25.	П о з и ц и о н н ы е з а д а ч и					н а	о б о б щ е н н ы х
ч е р т е ж а х											67
	В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и										74
Г л а в а			V . Способы преобразования						проек
ционного			чертежа
§	26.	П р е о б р а з о в а н и е				п р о е к ц и о н н о г о				ч е р
т е ж а с п о с о б о м з а м е н ы п л о с к о с т е й п р о е к
ц и й											75
§	27.	П р е о б р а з о в а н и е				п р о е к ц и о н н о г о				ч е р
т е ж а с п о с о б о м в р а щ е н и я											82
	1. В р а щ е н и е в о к р у г п р о е ц и р у ю щ и х п р я
	м ы х л и н и й										82
	2. П л о с к о п а р а л л е л ь н ы е п е р е м е щ е н и я										86
	3. В р а щ е н и е в о к р у г п р я м ы х , п а р а л л е л ь
	н ы х п л о с к о с т я м п р о е к ц и й										87
	4. В р а щ е н и е в о к р у г п р я м ы х о б щ е г о п о
	л о ж е н и я										90
§	28.	В и н т о в ы е п е р е м е щ е н и я									91
§	29.	В с п о м о г а т е л ь н о е				п р о е ц и р о в а н и е					94
	1. Ц е н т р а л ь н о е в с п о м о г а т е л ь н о е								п р о е
	ц и р о в а н и е										95
	2. К о с о у г о л ь н о е в с п о м о г а т е л ь н о е п р о е
	ц и р о в а н и е										96
	3. П р я м о у г о л ь н о е в с п о м о г а т е л ь н о е п р о
	е ц и р о в а н и е										97
§	30.	С т е р е о г р а ф и ч е с к о е п р о е ц и р о в а н и е .									101
	В о п р о с ы			д л я	с а м о п р о в е р к и						103
Г л а в а			V I . Многогранники
§ 31 . О б щ и е с в е д е н и я о м н о г о г р а н н и к а х
В и д ы м н о г о г р а н н и к о в											104
	1. П и р а м и д ы										105
	2. П р и з м ы										105
	3. П р и з м а т о и д ы										106
	4. П р а в и л ь н ы е в ы п у к л ы е м н о г о г р а н н и
	ки ( т е л а			П л а т о н а )							106
	5. П р а в и л ь н ы е з в е з д ч а т ы е							м н о г о г р а н
	н и к и							. . . .			109

О г л а в л е н и е

32.

Ч е р т е ж и м н о г о г р а н н и к о в

м н о г о

Г л а в а

I X .

П е р е с е ч е н и е

п о в е р х н о с т е й

415

г р а н н ы х п о в е р х н о с т е й

110

п л о с к о с т я м и

прямыми

линиями

33.

П е р е с е ч е н и е м н о г о г р а н н и к о в

п л о с

§ 51 . П е р е с е ч е н и е п о в е р х н о с т е й о с н о в н ы х

к о с т ь ю

п р я м о й

л и н и е й

113

в и д о в

п р о е ц и р у ю щ и м и

п л о с к о с т я м и

. .

205

34.

В з а и м н о е п е р е с е ч е н и е

м н о г о г р а н н и

52.

П е р е с е ч е н и е

п о в е р х н о с т е й

о с н о в н ы х

к о в

117

в и д о в

п р я м ы м и

л и н и я м и

210

35.

Р а з в е р т к и м н о г о г р а н н и к о в

. . . .

12?

53.

П е р е с е ч е н и е

п о в е р х н о с т е й

о с н о в н ы х

В о п р о с ы

д л я

с а м о п р о в е р к и

127

в и д о в

п л о с к о с т я м и

о б щ е г о п о л о ж е н и я

212

л а

в а

V I I .

Кривые

линнн

54.

К о н и ч е с к и е

с е ч е н и я

- .

215

36.

П л о с к и е

к р и в ы е л и н и и

129

55.

П е р е с е ч е н и е

п л о с к о с т я м и

п о в е р х н о с

37.

П о н я т и я

к р и в и з н е

п л о с к о й

к р и в о й

т е й в т о р о г о

п о р я д к а

о б щ е г о

в и д а

. . .

21$

л и н и и

132

В о п р о с ы

д л я

с а м о п р о в е р к и

221

38.

М о н о т о н н ы е

с о с т а в н ы е

п л о с к и е

Г л а в а

X .

В з а и м н о е

п е р е с е ч е н и е

п о в е р х

к р и в ы е

л и н и и .

В е р ш и н ы

к р и в ы х

л и н и й

134

39.

С о п р и к а с а н и е

п л о с к и х

к р и в ы х л и н и й

138

н о с т е й

§ 40. П р е о б р а з о в а н и е п л о с к и х к р и в ы х л и

56.

О б щ а я с х е м а

п о с т р о е н и я л и н и и

п е р е

н и й

139

с е ч е н и я п о в е р х н о с т е й

222

К о н х о и д а л ь н о е ,

п р е о б р а з о в а н и е

. .

140

57.

П е р е с е ч е н и е

п о в е р х н о с т е й

к р и в ы м и

П р е о б р а з о в а н и е

и н в е р с и и

141

л и н и я м и

223

К о н ф о р м н о е п р е о б р а з о в а н и е

. . .

142

58.

О с н о в н ы е

с п о с о б ы

п о с т р о е н и я

л и н и й

4 1 .

К р и в ы е

л и н и и

в т о р о г о

п о р я д к а

144

взаимного п е р е с е ч е н и я

п о в е р х н о с т е й

. .

225

Э л л и п с

145

1. С п о с о б

в с п о м о г а т е л ь н ы х

с е к у щ и х

Г и п е р б о л а

152

п л о с к и х п о с р е д н и к о в

226

П а р а б о л а

154

2. С п о с о б

в с п о м о г а т е л ь н ы х

с е к у щ и х

42.

П р о с т р а н с т в е н н ы е

к р и в ы е

л и н и и

156

с ф е р и ч е с к и х

п о с р е д н и к о в

227

43.

Ц и л и н д р и ч е с к и е

в и н т о в ы е

л и н и и

158

59.

П е р е с е ч е н и е

п о в е р х н о с т е й

п р о е ц и р у

44.

К о н и ч е с к и е

в и н т о в ы е

л и н и и

. . .

160

ю щ и м и ц и л и н д р а м и

( п р и з м а м и )

. . . .

229

45.

К р и в ы е

л и н и и

на

с ф е р е

162

60.

В з а и м н о е

п е р е с е ч е н и е

л и н е й ч а т ы х

В о п р о с ы

д л я

с а м о п р о в е р к и

164

п о в е р х н о с т е й

232

Г л а в а

V I I I . П о в е р х н о с т и . И х о б р а з о в а

1. В з а и м н о е п е р е с е ч е н и е к о н и ч е с к и х п о

ние и з а д а н и е

на

эпюре

М о н ж а

в е р х н о с т е й

232

46.

О б р а з о в а н и е

з а д а н и е п о в е р х н о с

2. П е р е с е ч е н и е

к о н и ч е с к о й

п о в е р х н о с т и

т е й .

С е т и

и о ч е р к и

п о в е р х н о с т е й . . . .

165

ц и л и н д р и ч е с к о й

238

1. А н а л и т и ч е с к и й

с п о с о б

з а д а н и я

п о

3. В з а и м н о е

п е р е с е ч е н и е

ц и л и н д р и ч е с

в е р х н о с т е й

165

ких

п о в е р х н о с т е й

. .

242

З а д а н и е п о в е р х н о с т и

к а р к а с о м . . .

165

4. П е р е с е ч е н и е

л и н е й ч а т о й

п о в е р х н о с т и

3. К и н е м а т и ч е с к и й с п о с о б з а д а н и я п о

с п л о с к о с т ь ю п а р а л л е л и з м а ( п о в е р х н о с

в е р х н о с т е й

167

т и

К а т а л а н а )

ц и л и н д р а м и

к о н у с а м и .

247

47.

К и н е м а т и ч е с к и е

п о в е р х н о с т и

о с н о в

5. П е р е с е ч е н и е

п о в е р х н о с т и

о д и н а к о в о

н ы х в и д о в

168

г о

с к а т а ц и л и н д р о м

249

П о в е р х н о с т и

п е р е н о с а

п р я м о л и н е й н о

61..

В з а и м н о е п е р е с е ч е н и е

п о в е р х н о с т е й

г о н а п р а в л е н и я

170

в р а щ е н и я

251

П о в е р х н о с т и

в р а щ е н и я

171

62.

П е р е с е ч е н и е

в и н т о в ы х п о в е р х н о с т е й

В и н т о в ы е п о в е р х н о с т и

176

м е ж д у

с о б о й

д р у г и м и п о в е р х н о с т я м и

253

48.

Т о р с о в ы е п о в е р х н о с т и

184

63.

В з а и м н о е п е р е с е ч е н и е

п о в е р х н о с т е й

49.

Л и н е й ч а т ы е

к о с ы е

п о в е р х н о с т и

. .

185

в т о р о г о

п о р я д к а .

О с о б ы е

с л у ч а и

п е р е с е

Л и н е й ч а т ы е

п о в е р х н о с т и

п л о с к о

ч е н и я

258

с т ь ю п а р а л л е л и з м а

( п о в е р х н о с т и

К а т а

В о п р о с ы

д л я

с а м о п р о в е р к и

265

л а н а )

186

Г л а в а

X I .

П л о с к о с т и ,

к а с а т е л ь н ы е

Ц и л и н д р о и д ы

187

п о в е р х н о с т я м

К о н о и д ы

188

К о с а я п л о с к о с т ь

192

64.

О с н о в н ы е

п о н я т и я .

В и д ы

к а с а н и я

266

Л и н е й ч а т ы е

п о в е р х н о с т и

н а п р а в л я

65.

П л о с к о с т и ,

к а с а т е л ь н ы е

п о в е р х н о с

ю щ е й п л о с к о с т ь ю

198

т я м

п а р а б о л и ч е с к и м и

т о ч к а м и

. . . .

267

К о с ы е ц и л и н д р о и д ы

198

66.

П л о с к о с т и ,

к а с а т е л ь н ы е

п о в е р х н о с

К о с ы е к о н о и д ы

199

т я м

э л л и п т и ч е с к и м и

т о ч к а м и

. . . .

271

Д в а ж д ы

к о с а я

п л о с к о с т ь

( к о с о й

г и п е р

67.

П л о с к о с т и ,

к а с а т е л ь н ы е

п о в е р х н о с

б о л и ч е с к и й

п а р а б о л о и д )

199

т я м

г и п е р б о л и ч е с к и м и

т о ч к а м и

. . .

276

К о с ы е ц и л и н д р ы

с т р е м я

н а п р а в л я ю

68.

П р и м е н е н и е

к а с а т е л ь н ы х

п л о с к о с т е й

щ и м и

200

п р и

р е ш е н и и п о з и ц и о н н ы х

з а д а ч

н а п о в е р х

50.

П о в е р х н о с т и в т о р о г о

п о р я д к а

о б щ е г о

н о с т и

280

69.

П о с т р о е н и е

о ч е р т а н и й п о в е р х н о с т е й

284

в и д а

202

В о п р о с ы

д л я

с а м о п р о в е р к и

204

В о п р о с ы

д л я

с а м о п р о в е р к и

285

О г л а в л е н и е

416

Г л а в а

X I I .

Р а з в е р т к а

п о в е р х н о с т е й

70.

Р а з в е р т к и

п о в е р х н о с т е й

т о р с о в

286

§ 71 . У с л о в н ы е

р а з в е р т к и

н е р а з в е р т ы в а -

ю щ и х с я п о в е р х н о с т е й

295

В о п р о с ы

д л я

с а м о п р о в е р к и

299

Г л а в а

X I I I .

А к с о н о м е т р и ч е с к и е

п р о е к -

иии

72.

О б щ и е с в е д е н и я .

В и д ы

а к с о н о м е т р и

ч е с к и х п р о е к ц и й

300

73.

О с н о в н а я

т е о р е м а

а к с о н о м е т р и и

( т е о р е м а

П о л ь к е )

303

74.

Т р е у г о л ь н и к

с л е д о в

и п о к а з а т е л и

и с к а ж е н и я

305

75.

П р я м о у г о л ь н ы е

и з о м е т р и ч е с к и е

п р о

е к ц и и

308

76.

П р я м о у г о л ь н ы е

д и м е т р и ч е с к и е

п р о

е к ц и и

310

77.

К о с о у г о л ь н ы е

а к с о н о м е т р и ч е с к и е

п р о е к ц и и

313

78.

П о з и ц и о н н ы е

м е т р и ч е с к и е з а д а ч и

в а к с о н о м е т р и и

315

В о п р о с ы

д л я

с а м о п р о в е р к и

316

Г л а в а

X I V . К и н е м а т и ч е с к и е п л о с к и е и

п р о с т р а н с т в е н н ы е

к р и в ы е

линии

их

о с н о в

н ы е с в о й с т в а

79.

З а д а н и е

п л о с к и х

к р и в ы х

л и н и й

в ее

т е с т в е н н ы х

к о о р д и н а т а х

317

80.

К р и в и з н а

о р т о г о н а л ь н о й

п р о е к ц и и

п л о с к о й

к р и в о й

л и н и и

321

§ 8 1 . Э в о л ю т ы к р и в ы х л и н и й в т о р о г о п о

р я д к а

322

§ 82. К и н е м а т и ч е с к и е к р и в ы е л и н и и . Р у

л е т т ы

324

83.

Р а д и у с ы

к р и в и з н ы

р у л е т т

. .

326

§ 84. Ц и к л и ч е с к и е

( ц и к л о и д а л ь н ы е )

р у

л е т т ы

329

85.

П р о с т р а н с т в е н н ы е

к р и в ы е

л и н и и .

Т р е х г р а н н и к

Ф р е н е

334

86.

З а д а н и е

п р о с т р а н с т в е н н ы х

к р и в ы х

л и н и й в

е с т е с т в е н н ы х

к о о р д и н а т а х

. .

337

§ 87. К р и в и з н а

о р т о г о н а л ь н о й

п р о е к ц и и

п р о с т р а н с т в е н н о й

к р и в о й

л и н и и

. .

339

88.

К о н и ч е с к а я

и п о л н а я

к р и в и з н а

п р о

с т р а н с т в е н н о й

к р и в о й

л и н и и

340

89.

Р а з в е р т к и

п о в е р х н о с т е й

т о р с о в ,

с о

п р о в о ж д а ю щ и х п р о с т р а н с т в е н н у ю к р и в у ю

л и н и ю

343

§ 90. В и д ы п р о с т р а н с т в е н н ы х к р и в ы х л и

н и й

346

1. Ц и л и н д р и ч е с к и е в и н т о в ы е л и н и и —

г е л и с ы

346

2. У н о п о л я р н ы е к р и в ы е л и н и и . Э в о л ю

т ы

п р о с т р а н с т в е н н о й к р и в о й

л и н и и

350

Л и н и и о д и н а к о в о г о

с к а т а

351

С ф е р и ч е с к и е

к р и в ы е

л и н и и

. .

351

К о с ы е

к р у г и

351

6. К р и в ы е л и н и и п о с т о я н н о г о в и н т о в о г о

п а р а м е т р а

352

С о п р и к а с а ю щ и е с я

г е л и с ы

352

К р и в ы е

л и н и и

Б е р т р а н а

353

§ 9 1 . М о н о т о н н ы е и с о с т а в н ы е п р о с т р а н

с т в е н н ы е к р и в ы е л и н и и . В е р ш и н ы к р и в ы х
л и н и й					353
	В о п р о с ы д л я с а м о п р о в е р к и				358
Г л а в а			X V . К и н е м а т и ч е с к и е п о в е р х н о с т и
о б щ е г о			в и д а
§	92.	П о в е р х н о с т и		п е р е н о с а	359
§	93.	Р о т а т и в н ы е		п о в е р х н о с т и	361

94.

С п и р о и д а л ь н ы е

п о в е р х н о с т и

. .

366

95.

Л и н е й ч а т ы е

р о т а т и в н ы е и

с п и р о и

д а л ь н ы е

п о в е р х н о с т и

н а п р а в л я ю щ е й

п л о с к о с т ь ю

370

1. Р о т а т и в н ы е л и н е й ч а т ы е п о в е р х н о с т и с

н а п р а в л я ю щ е й п л о с к о с т ь ю

371

2. С п и р о и д а л ь н ы е л и н е й ч а т ы е

п о в е р х

н о с т и

н а п р а в л я ю щ е й

п л о с к о с т ь ю

. .

375

96.

К и н е м а т и ч е с к и е

п о в е р х н о с т и

о б щ е г о

в и д а о б р а з о в а н и я с п е р е м е н н о й

о б р а з у -

го щ е й

380

В о п р о с ы

д л я

с а м о п р о в е р к и

382

Г л а в а X V I . П л о щ а д и п о в е р х н о с т е й

97.

П л о щ а д ь

т о р с о в о й

п о в е р х н о с т и .

П р и м е н е н и е т о р с о в п р и о п р е д е л е н и и п л о

щ а д е й

д р у г и х п о в е р х н о с т е й

383

98.

П л о щ а д ь

п о в е р х н о с т и

в р а щ е н и я

385

99.

П л о щ а д ь

в и н т о в о й п о в е р х н о с т и

387

100.

П л о щ а д ь

п о в е р х н о с т и

п е р е н о с а

389

101.

П л о щ а д ь

к о н и ч е с к о й

у л и т к и в р а

щ е н и я

391

102.

П л о щ а д ь

п о в е р х н о с т и

К а т а л а н а

393

103.

П л о щ а д ь

п о в е р х н о с т и

о д и н а к о в о г о

( р а в н о г о )

с к а т а

394

104.

П л о щ а д ь

л и н е й ч а т о й

п о в е р х н о с т и

н а п р а в л я ю щ е й

п л о с к о с т ь ю

395

В о п р о с ы

д л я

с а м о п р о в е р к и

397

Г л а в а

X V I I .

О б ъ е м ы

г е о м е т р и ч е с к и х

т е л , о г р а н и ч е н н ы х п о в е р х н о с т я м и

105.

О б ъ е м

т е л а ,

о г р а н и ч е н н о г о

т о р с о

в о й п о в е р х н о с т ь ю

398

106.

О б ъ е м

т е л а ,

о г р а н и ч е н н о г о

п о в е р х

н о с т ь ю в р а щ е н и я

400

107.

О б ъ е м

т е л а ,

о г р а н и ч е н н о г о

в и н т о

в о й п о в е р х н о с т ь ю

401

108.

О б ъ е м

т е л а ,

о г р а н и ч е н н о г о

п о в е р х

н о с т ь ю

п е р е н о с а

402

109.

О б ъ е м

т е л а ,

о г р а н и ч е н н о г о

к о н и ч е

с к о й у л и т к о й

в р а щ е н и я

403

110.

О б ъ е м

т е л а ,

о г р а н и ч е н н о г о

п о в е р х

н о с т ь ю К а т а л а н а

403

111.

О б ъ е м

т е л а ,

о г р а н и ч е н н о г о

п о в е р х

н о с т ь ю

о д и н а к о в о г о с к а т а

405

112.

О б ъ е м

т е л а ,

о г р а н и ч е н н о г о

л и н е й

ч а т о й п о в е р х н о с т ь ю с н а п р а в л я ю щ е й п л о с

к о с т ь ю

406

В о п р о с ы

д л я

с а м о п р о в е р к и

408

Г л а в а

X V I I I . К р и в и з н а п о в е р х н о с т и

113.

О с н о в н ы е

п о н я т и я

к р и в и з н е

п о

в е р х н о с т и .

И н д и к а т р и с а Д ю п е н а

. . .

409

114.

С о п р и к а с а ю щ и е с я

э т а л о н ы

к и н е м а

т и ч е с к и х п о в е р х н о с т е й

411

В о п р о с ы

д л я

с а м о п р о в е р к и

412

Л и т е р а т у р а

413

<<< < Предыдущая 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4242

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ