книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

Г л а в а V I I . К р и в ы е л и н и и

150

2а

Р и с . 225

Длина отрезка MN — EXN 4- Е\М равна сумме полуосей эллипса. Она постоянна для любого положения точек Е и Еі. Поэтому, если взять отрезок определенной длины и передвигать его двумя закрепленными точ­ ками M и N по, двум взаимно перпендику­ лярным прямым, то л ю б а я точка Е\ этого отрезка опишет эллипс.

Полуосями эллипса являются расстояния от точки Е\ до точек M и N.

На этом принципе основан так называе­

На рис. 225 пересекающиеся в точке О отрезки KU и GE являются сопряженными диаметрами эллипса. Один из полудиамет­ ров, например OK, повернем на 90° вокруг центра О по часовой стрелке. Получим от-

Р и с. 226

резок ОК\. Через точки Кі и Е проводим прямую и из середины S отрезка КіЕ, как из центра, описываем дугу радиусом OS. Прямая КіЕ пересекает дугу окружности в точках M и N. Отрезок MN определяет сумму полуосей эллипса.

Прямые ОМ и ON указывают направле­ ния малой и большой полуосей эллипса, а величины этих полуосей соответственно

ношения их осей равны между собой. На рис. 226 построены три подобных концент­ рических эллипса. Их оси совпадают.

Прямые, соединяющие концы осей каж­ дого эллипса, параллельны между собой. Они являются гипотенузами подобных пря­ моугольных треугольников. Подобные кон­ центрические эллипсы не являются эквиди­ стантными* кривыми. Расстояние между этими кривыми не одинаково для разных точек кривых.

Кривая линия, все точки которой равно­ удалены от ближайших точек эллипса, не

направлением горизонтали плоскости и рав­ на диаметру 12 окружности. На фронталь­ ной плоскости проекций V большая ось эллипса совпадает с направлением фронтали плоскости и равна диаметру 3'4' окружности. Малая ось определяется указанными ниже построениями.

Отметим в горизонтальной плоскости проекций соответственно полухорды 35 и 56

* Эквидистантными н а з ы в а ю т к р и в ы е л и ­

эллипса и окружности. Полухорду 56 вра­ щением вокруг точки 5 совместим с большой осью. В совмещенном положении она равна

эллипса — горизонтальной проекции окруж­ ности.

Малая ось эллипса на фронтальной плос­ кости V проекций определяется построени­ ем, аналогичным выполненному в горизон­ тальной плоскости проекций.

Параллельной проекцией эллипса может быть или эллипс, или окружность. В первом случае сопряженные диаметры эллипса про­ ецируются сопряженными диаметрами эл­ липса-проекции. Во втором случае сопряжен­ ные диаметры эллипса проецируются взаим­ но перпендикулярными диаметрами окруж­ ности-проекции.

Покажем построение недостающей гори­ зонтальной проекции эллипса с центром сс', лежащего в плоскости abc, a'b'c'. Фронталь­ ной проекцией эллипса является окружность заданного диаметра (рис. 228).

Рассмотрим эллипс как фигуру, родст­ венную окружности. Построим прямую ли­ нию 12, 1'2' пересечения разноименных про­ екций прямых линий плоскости. В плос­ кости abc, a'b'c' построим прямые линии Зс, З'с' и 4с, 4'с', одноименные проекции кото­ рых взаимно перпендикулярны. Они стро­ ятся следующим образом.

Из середины линии связи точки сс' про­ водим прямую, перпендикулярную к ней. Определим точку о пересечения перпендику­ ляра с прямой 12, 1'2'. Из точки о, как из центра, проводим окружность, проходящую через точки с и с'. Она пересекает прямую 12, Г2' в точках 33' и 44'.

Прямые линии Зс, З'с' и 4с, 4'с' называют

линиями главных направлений плоскости. Они находятся в данной плоскости и их од­ ноименные проекции, как опирающиеся на диаметр окружности, взаимно перпендику­ лярны.

§ 41 . К р и в ы е линии в т о р о г о п о р я д к а

Р и с . 228

1 52 Двум взаимно перпендикулярным диа­ метрам e'f и к'и' окружности соответствуют родственные им взаимно перпендикулярные диаметры ef и ки эллипса — малая и большая оси эллипса. Дополнительные точки эллипса определяются известными построениями. В случае, если эллипс проецируется на плос­ кости проекций в виде эллипсов, эллипсыпроекции могут быть определены по про­ екциям его двух сопряженных диаметров.

2. Гипербола

Гипербола — геометрическое место то­ чек, разность расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина по­ стоянная.

Пусть в плоскости даны точки Fi и ¥г — фокусы гиперболы. Расстояние между ни­ ми 2с (рис. 229). Л ю б а я точка M плоскости принадлежит гиперболе, если соблюдается условие:

MFiMFi = la.

Уравнение гиперболы имеет вид:

ѵ-2

где

Уравнение гиперболы отличается от уравнения эллипса лишь знаком при втором члене левой части. Очевидно, многие из вы­ водов, относящихся к эллипсу, справедливы и для гиперболы.

Оси координат являются осями симмет­ рии гиперболы.

Точка пересечения координатных осей является центром симметрии.

Вершинами гиперболы являются точки ее пересечения осью симметрии. Полагая в уравнении гиперболы у = 0, имеем

1,

откуда

х2=а2

или

1

или

у2 =

откуда

Из канонического уравнения гиперболы следует, что -у- > 1. Это означает, что вели­ чина \х\ изменяется от f a до + со (правая ветвь гиперболы) и от —а до — оо (левая

приближаются к прямым линиям.

Две прямые линии, проходящие через

мые, проходящие через ее центр. Два диа­ метра гиперболы, каждый из которых делит пополам хорды, параллельные другому диа­ метру, называют сопряженными. Оси сим­ метрии (действительная и мнимая) гипер­ болы являются сопряженными и взаимно перпендикулярными диаметрами.

Величину ^£ отношения фокусного рас­ стояния к длине действительной оси назы­ вают эксцентриситетом гиперболы. Для ги­ перболы Е ? 1.

Две прямые, перпендикулярные к фо­ кальной оси гиперболы и удаленные от

по точкам, исходя из ее определения и кано­ нического уравнения. В заданном масштабе величины а и b полуосей гиперболы предста­ вим отрезками на осях координат (рис. 229). Из точки О, как из центра, радиусом а про-

Укажем другой способ построения точек гиперболы. Пусть гипербола задана своими полуосями а и b (рис. 230). По заданным полуосям строим асимптоты гиперболы и определяем ее вершины.

Проводим прямую параллельно действи­ тельной оси Ох на расстоянии от нее, равном величине а действительной полуоси. Парал ­ лельно действительной оси на произвольном расстоянии от нее проводим другую прямую и определяем на ней точку M гиперболы.

Из точки 1 пересечения этой прямой с асимптотой опускаем перпендикуляр на пер­ вую вспомогательную прямую до пересече-

а

Р и с . 230

Г л а в а V I I . К р и в ы е л и н и и

На рис. 231 точка M принадлежит пара­ боле, если принять точку F за фокус, а пря­

Прямая FD является осью симметрии параболы. Ее называют осью параболы.

Точку О — точку пересечения параболы осью — называют вершиной, которая делит пополам расстояние между фокусом и ди­ ректрисой.

Эксцентриситет параболы, вследствие равноудаленности любой ее точки от фокуса и директрисы, равен единице, т. е. s = 1.

Уравнение параболы имеет вид:

у2= 2рх,

где

р = FD.

По заданному уравнению параболы мож­ но определить вид и свойства кривой. Из уравнения следует, что для каждого задан­ ного значения х имеется два значения у, равные по абсолютной величине, но проти­ воположные по знаку:

у = ± ^/2рх .

Из этого следует, что парабола симмет­ рична относительно оси Ох (фокальной оси). При X О два значения ординаты совпада­ ют, т. е. парабола касается оси Oy в начале координат.

Если значения х неограниченно возраста­ ют, то соответствующие им значения у также неограниченно возрастают, т. е. ветви пара­ болы простираются в бесконечность и в одном направлении, так как значения х не могут быть отрицательными.

Из канонического уравнения параболы следует, что ее ордината у есть среднее про-

порциональное между удвоенным парамет­ ром 2р и абсциссой х. Пользуясь этим свой­ ством, можно определить любое число точек параболы. Для этого намечаем систему ко­ ординат Оху (рис. 231). П о оси Ох от начала координат в противоположном направлении откладываем отрезок ОС •-— 2р. Задаемся абс­ циссой ОЕ. На отрезке СЕ, как на диаметре,

соответствует каноническому уравнению па­ раболы. Отрезок OK равен ординате той точки M параболы, для которой абсциссой является отрезок ОЕ.

Точки параболы можно определить и другим путем. П о оси Ох от точки О начала координат откладываем по разные стороны

прямую параллельно директрисе на расстоя­

определяется точка M параболы.

Задавая различные значения х, можно определить ряд точек параболы. Прямую линию, проходящую через середины парал­ лельных хорд параболы, называют диамет­ ром параболы. Все диаметры параболы па­ раллельны оси Ох (оси симметрии), поэтому центром параболы является несобственная точка.

Ось симметрии называют главным диа­ метром параболы.

Касательная в любой точке параболы пересекает ось в точке, абсцисса которой равна по величине и противоположна по знаку абсциссе точки касания. Это легко доказать.

Касательная в любой точке кривой вто­ рого порядка имеет равные углы с фокаль­ ными радиусами-векторами.

Проведем касательную к параболе в точ­ ке M (рис. 232). Найдем точку К пересечения касательной с осью Ох. Треугольник MKF равнобедренный, в котором MF = F К.

Р и с . 233

Г л а в а V I I . К р и в ы е л и н и и

Р и с . 234

точки их пересечения с построенными пря­ мыми линиями. Построенные таким обра­ зом точки принадлежат параболе.

Ось и вершину О параболы определяем следующим образом.

Известно, что касательные КА и KB со­ ставляют равные углы с фокальными радиу­ сами-векторами. Один из фокусов параболы несобственный. В точках А и В проводим фокальные радиусы-векторы параболы. Точ­ ка F пересечения радиусов-векторов F А и F В

пересекает параболу в точке О, которая яв­ ляется вершиной параболы. Эту точку мож­ но определить, если ветвь параболы еще не построена. Из точки F (фокуса) опускаем перпендикуляр на одну из касательных, на­ пример KB, до пересечения в точке D. Осно­ вание перпендикуляра, опущенного из точ­ ки D на ось параболы, является вершиной О параболы.

На рис. 234 показан способ определения фокуса данной параболы. Из вершины пара­ болы (точки О) под углом 30° к касательной в вершине проводим прямую до пересече­ ния ее с параболой в точке Е. Перпендикуляр, опущенный из точки Е на ось, проходит че­ рез фокус F параболы. Это легко доказы­ вается, исходя из основного определения параболы.

Покажем на этом же чертеже построение касательных к параболе, проходящих через данную точку К. Из точки К, как из центра, описываем окружность, проходящую через фокус F и пересекающую директрису пара­ болы в точках A ѴІ. В.

Параллели к оси в этих точках пересе­ кают перпендикуляры, опущенные из точ­ ки К на прямые AF и BF в точках 1 и 2. Они являются точками касания касательных к параболе, проведенных из точки К.

Р и с . 235

* П р и с о о т в е т с т в у ю щ е м в ы б о р е н а п р а в л е н и я п р о е ц и р о в а н и я л ю б у ю из т о ч е к п р о с т р а н с т в е н н о й к р и в о й л и н и и м о ж н о и з о б р а з и т ь в в и д е о с о б о й

еет о ч к и .

Г л а в а V I I . К р и в ы е л и н и и

§ 4 ~ Л И Н Д Р И Ч Е С К И Е В И Н Т О В Ы Е Л И Н И И

Из пространственных кривых линий в технике широко применяются цилиндриче­ ские винтовые линии и особенно цилиндри­ ческие винтовые линии одинакового укло­ на — гелисы. Они используются в некоторых механизмах машин и приборов для преобра­ зования вращательного движения в возврат­ но-поступательное. Нарезанная на одном валу в виде гелисы левая и правая резьба применяется в некоторых поворотных ме­ ханизмах.

Известно, например, что в молекуле пе­ нициллина отрицательно заряженные а т о м ы кислорода и положительно заряженные ато­ м ы натрия группируются вокруг винтовых линий. Вокруг винтовых линий группиру­ ются также и незаряженные углеводородные части молекулы.

Осью гелисы называют ось цилиндра вращения, на котором она лежит. Диаметр цилиндра вращения является диаметром ци­ линдрической винтовой линии.

Моделью винтовой линии может служить цилиндрическая пружина.

Цилиндрическую винтовую линию — гелису — будем рассматривать как траекто­ рию движения точки, равномерно вращаю ­ щейся вокруг оси и одновременно равномер­ но перемещающейся в направлении этой оси.

Величину S перемещения точки в направ­ лении оси, соответствующую одному полно­ му обороту вокруг оси, называют шагом винтовой линии.

правлении оси при повороте ее вокруг оси на угол, равный одному радиану.

Такое равномерное перемещение точки вдоль оси и равномерное перемещение его вокруг оси может быть использовано при построении чертежа цилиндрической винто­ вой линии.

На рис. 238 построена цилиндрическая винтовая линия (гелиса) заданного радиу­ са г и шага S. Окружность радиусом г (го­ ризонтальная проекция гелисы) разделена

Р и с . 239

на восемь равных частей. На такое же число равных частей делится и ее шаг. Через точки деления окружности проводят вертикальные линии (линии связи). Через соответствую­ щие точки деления шага проводят горизон­ тальные прямые. Точки пересечения этих прямых линий определяют фронтальную проекцию цилиндрической винтовой линии.

Построенная гелиса имеет правый ход (направление). На чертеже ход цилиндриче­ ской винтовой линии определяет стрелка, поставленная на горизонтальной проекции.

Принято считать, что точка опускается по траектории к плоскости, перпендикуляр­ ной к оси. Если стрелка совпадает с направ­ лением часовой стрелки, то эта цилиндриче­ ская винтовая линия правого хода. Если стрелка указывает направление, обратное ходу часовой стрелки, то цилиндрическая винтовая линия левого хода.

Преобразованием гелисы на развертке ее проецирующего цилиндра является прямая

§ 43. Ц и л и н д р и ч е с к и е в и н т о в ы е линии

Р и с. 240