книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

.Г

Р и с. 28

ризонтальной, фронтальной и профильной прямыми. Их также называют линиями

уровня.

На рис. 28 показаны прямые линии, па­ раллельные плоскостям проекций.

Прямая линия cd, с'd' параллельна го­ ризонтальной плоскости проекций. Для этой прямой zD —zc = 0.

Здесь фронтальная проекция с' d'парал­ лельна направлению оси проекций; гори­

§ 9. Ч е р т е ж и о т р е з к о в п р я м ы х л и н и й

Так, прямая 12, Г2' лежит в горизонталь­ ной плоскости проекций; прямая 34, 3'4' — во фронтальной плоскости проекций; пря­ мая 56, 5'6', лежащая в профильной плоско­ сти проекций, представлена чертежом в трех проекциях.

Здесь горизонтальная и фронтальная про­ екции прямой располагаются на одной линии

связи, причем фронтальная проекция k'j' определяет натуральную величину отрезка,

агоризонтальная проекция kj преобразуется

вточку. Эта прямая одновременно является профильной и фронтальной прямой.

Пр я м а я тп, т'п' перпендикулярна к фрон­ тальной плоскости проекций V. Для этой прямой

zM - zN = 0, хм - xN = 0.

Здесь горизонтальная и фронтальная про­ екции прямой располагаются на одной ли­ нии связи, причем горизонтальная проекция тп определяет натуральную величину отрез­ ка, а фронтальная проекция т'п' преобразу­ ется в точку. Эта прямая одновременно яв­ ляется горизонтальной и профильной прямой.

Прямая pq, p'q' перпендикулярна к про­ фильной плоскости проекций W. Д л я этой прямой

Ур yQ = o.

Здесь горизонтальная и фронтальная про­ екции прямой совпадают с направлением оси проекций (перпендикулярны к линиям связи) и каждая из них определяет натуральную величину отрезка. Эта прямая одновременно является горизонтальной и фронтальной прямой.

Профильно-проецирующие прямые на-

з ы в а ют также прямыми, параллельными на­ правлению оси проекций.

На рис. 31 показаны осные чертежи отрез­ ков прямых линий, лежащих в плоскостях проекций.

4. Прямые, параллельные биссекторным плоскостям

Как уже известно, все точки геометри­ ческих образов, лежащих в биссекторных

прямых, лежащих в биссекторных плоскос­

ной плоскости — плоскости, делящей второй и четвертый углы пространства пополам.

Если одну из проекций (например, фрон­ тальную) перемещать параллельно ей самой в направлении линий связи, то горизонталь­ ная и смещенная фронтальная проекции пред­ ставят чертеж отрезка прямой, лежащей в плоскости, параллельной биссекторной плос­ кости. Так, отрезок rs, г 's' прямой принад­ лежит плоскости, параллельной первой бис­ секторной плоскости. Отрезок tu, t 'u ' при­ надлежит плоскости, параллельной второй биссекторной плоскости.

На рис. 33 показаны безосные чертежи этих прямых линий. Для прямой rs, г's', параллельной первой биссекторной плоскос­ ти, zs — zR = ys—yR. Проекция rs и r's' с

направлением оси проекций составляют рав­ ные углы о.

Для прямой tu, t'u', параллельной второй биссекторной плоскости, іѵ—zT=yr—yv.

Д Е Л Е Н И Е О Т Р Е З К А П Р Я М О Й Л И Н И И В ЗА

Отрезок прямой можно разделить точкой в л ю б о м заданном отношении. Точка может располагаться как на самом отрезке, так и вне его, т. е. на продолжении этого отрезка.

Если точка принадлежит отрезку прямой, то она делит этот отрезок в каком-то опре-

33

Р и с . 33

Здесь разноименные проекции tu и t'u' пря­ мой взаимно параллельны.

Н Н О М О Т Н О Ш Е Н И И

деленном отношении. Такое деление назы­ вают внутренним. Если точка принадлежит прямой данного отрезка, но лежит не на от­ резке, а на его продолжении, то она также делит отрезок в каком-то определенном от­ ношении. Такое деление называют внешним.

При внутреннем делении данному отрез­ ку AB соответствует отрезок А5 произволь­

§ 11 С Л Е Д Ы П Р Я М О Й Л И Н И И

Точки пересечения прямой линии с плос­ костями проекций называют следами прямой

линии.

Точку пересечения прямой линии с гори­ зонтальной плоскостью проекций H назы­ вают горизонтальным следом.

Р и с. 35

Из точки Е в произвольном направлении проведена вспомогательная прямая линия и на ней отложено пять (наибольшее число из величин, составляющих заданное отно­ шение) равных отрезков любой длины.

При внешнем делении заданному отрез­ ку DE соответствует отрезок Е2 произволь­ ной прямой, равный разности величин, сос­ тавляющих заданное отношение (5—3) .

Соединяя точки 2 и D прямой и проводя через точку 5 прямую, параллельную 2D, в пересечении этой прямой с прямой отрезка DE получим искомую точку С.

Отрезку CD соответствуют три отрезка произвольной прямой, а отрезку СЕ — пять таких отрезков. Точка С делит отрезок DE

в отношении CD : СЕ==3 : 5.

При рассмотрении свойств параллель­ ного проецирования установлено, что отно­ шение отрезков прямой равно отношению их проекций. Ч т о б ы разделить отрезок прямой в каком-то заданном отношении, достаточ­ но разделить в т о м же отношении проекции отрезка.

Точку пересечения прямой линии с фрон­ тальной плоскостью проекций V н а з ы в а ю т

Построением в плоскости Q прямоуголь­ ного треугольника аЬВ(, определяют нату­ ральную величину прямой линии и угол ô наклона прямой к плоскости проекций.

Решим эту задачу на чертеже (рис. 40). Принимая плоскость Q, согласно описанной схеме, за горизонтальную плоскость проек­ ций Н, на горизонтальной проекции отрезка как на катете строим прямоугольный тре­ угольник. Вторым катетом является разность удалений концов отрезка от горизонтальной плоскости проекций. Эта разность на черте­ же определяется величиной zR~-zA.

Выбрав направление в т о р о ю кѵкма .и откладывая на нем отрезок, равный величине этого катета (z„ —-z.,), получим прямоуголь­ ный треугольник, гипотенуза А0Ь к о т о р о ю равна натуральной величине данного отрез­ ка ah, a'h'. У ю л а. наклона гипотенузы к го­ ризонтальной проекции ah отрезка есть угол наклона данного отрезка к горизонтальной плоскости проекций.

Принимаем плоскость Q, согласно схеме, за фронтальную плоскость проекций К На фронтальной проекции отрезка, как на ка­ тете, строим прямоугольный треугольник. Вторым катетом является разность удале­ ний концов отрезка от фронтальной плос­ кости проекций. Эта разность на чертеже представляется величиной ѵ), г., .

Выбрав направление второго катета и откладывая на нем отрезок, равный его ве­

к фронтальной проекции a'h' отрезка есть угол наклона данного отрезка к фронтальной плоскости проекций.

Если координаты, определяющие удале­ ние концов отрезка от плоскости проекций, имеют разные знаки, надо иметь в виду ал-

Р и с . 40

гебраическую разность. Это относится к осным чертежам

Отрезки прямых линий, параллельных одной из плоскостей проекций, проециру­ ются на эту плоскость в натуральную вели­ чину. У ю л наклона к другой плоскости оп­ ределяется непосредственно из чертежа.

Отрезки прямых, параллельных биссекторным плоскостям, составляют равные между собой углы наклона к плоскостям проекций (у. ß). Для профильных прямых сумма углов а-т/і1 90'. Для прямых, парал­

проекций, у. /1 90'. Для произвольно рас­ положенной прямой у. /?<90' .

1. Пересекающиеся прямые

П р я м ые линии, имеющие о б щ у ю точку, называют пересекающимися.

Пр я м ы е ab, a'V и cd, с'd! пересекаются в точке kk' (рис. 41).

Согласно второму свойству параллель­ ного проецирования, одноименные проек­ ции этих прямых пересекаются и точки их пересечения являются проекциями одной точки пространства, т. е. принадлежат одной линии связи.

2.Параллельные прямые

Пр я м ы е линии, пересекающиеся в несоб­ ственной точке, называют параллельными.

Согласно третьему свойству параллель­ ного проецирования одноименные проекции двух параллельных прямых линий парал­ лельны, находятся в таком же отношении, как и длины самих отрезков, и являются проекциями одного направления.

На рис. 42 показан чертеж отрезков двух параллельных прямых — ab, a'V и cd, cd', занимающих в пространстве общее положе­ ние. Если на чертеже одноименные проекции

прямых параллельны, то в о б щ е м случае этого достаточно, чтобы установить парал­ лельность прямых в пространстве. Исклю ­ чением являются некоторые частные поло­ жения прямых линий. Так, по параллель­ ности одноименных проекций двух профиль­ ных прямых нельзя утверждать, что прямые

впространстве параллельны .

На рис. 43 представлен чертеж двух про­ фильных прямых линий — ef, e'f и pq, p'q'. Одноименные проекции прямых параллель­ ны, т. е. ef и pq и e'f'w p'q'. Каждая из пар проекций прямых имеет одно направление.

Проверим равенство отношений однои­ менных проекций отрезков. Через точки р и р' проведем параллельные прямые и отло ­ жим на них отрезки pl==ef и p'2=e'f. Соеди­ ним точку / с точкой q и 2 с q'. Получаем два

Путем проверки всех трех признаков па­ раллельности прямых устанавливаем, что прямые pq, p'q' и ef, e'f взаимно парал­ лельны.

Такие прямые параллельны и в случае, если точки пересечения одноименных проек­ ций прямых линий, соединяющих концы данных отрезков, являются проекциями точ­ ки пересечения этих прямых линий.

Соединим прямыми линиями соответ­ ственно проекции концов отрезков. Точка к пересечения горизонтальных проекций этих прямых располагается на одной линии связи с точкой к' пересечения фронтальных проек­ ций прямых.

Следовательно, концы отрезков прямых — точки ее', ff', рр' и qq'— лежат в одной плос­ кости. Прямые ef, e'f и pq, p'q' в простран­ стве параллельны.

3. Скрещивающиеся прямые

Прямые, не пересекающиеся и не парал­ лельные между собой, называют скрещиваю­

щимися.

Если пересекающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости, то скре­ щивающиеся прямые лежат в двух парал­ лельных плоскостях.

На рис. 44 показан пример задания двух скрещивающихся прямых — ab, а'Ъ' и cd, c'a!.

Проекции двух скрещивающихся прямых могут пересекаться, точки их пересечения не лежат на одной линии связи, т. е. каждая из точек пересечения проекций прямых яв­ ляется проекцией двух точек пространства этих прямых. Точка пересечения горизон­ тальных проекций ab и cd прямых является

Р и с . 45