книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

60 Р е ш е н и е . Через точку аа' проведем главные линии (горизонталь и фронталь) искомой плоскости, перпендикулярные к прямой ек, е'к'. Здесь фронтальная проек­ ция а'с' горизонтали параллельна направле­ нию оси проекций; горизонтальная ее про­ екция составляет прямой угол с горизон­ тальной проекцией ек направления ек, е'к' плоскости.

Горизонтальная проекция ab фронтали параллельна направлению оси проекций; фронтальная ее проекция составляет прямой угол с фронтальной проекцией е'к' направ­ ления ек, е'к' плоскости.

Направлением плоскости, заданной глав­ ными линиями — горизонталью ас, а'с' и фронталью ab, a'b', является прямая ек, е'к'. Эта плоскость может быть заданной, на­ пример двумя параллельными прямыми ли­ ниями (12, 1'2' и 34, 3'4').

2. Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикуляр­ ны, если одна из плоскостей имеет прямую линию, перпендикулярную к другой плос­ кости.

Р и с . 81

Ри с . 82

Дл я построения плоскости, перпендику­ лярной к другой плоскости, достаточно оп­ ределить прямую, перпендикулярную к этой плоскости. Через эту прямую можно про­ вести множество плоскостей, перпендику­ лярных к данной плоскости.

На модели (рис. 76) прямая EF перпенди­ кулярна к плоскости Q. Л ю б а я плос­ кость Т, R... прямой КЕ перпендикулярна к плоскости Q.

На рис. 81 представлен чертеж двух вза­ имно перпендикулярных плоскостей. Плос ­ кость dek, d'e'k' перпендикулярна к плоско­ сти abc, а'Ъ'с', так как прямая dk, d'k' этой плоскости перпендикулярна к плоскости abc, a'b'c'.

Установлено, что через прямую, перпен­ дикулярную к плоскости, можно провести бесконечно большое число плоскостей, пер­ пендикулярных к заданной плоскости. Одно­ именные следы этих плоскостей, однако, не взаимно перпендикулярны.

Пусть плоскость abc, a'b'c' задана сле­ дами (рис. 82). Построим плоскости, перпен­ дикулярные к плоскости abc, a'b'c' и зададим их следами. Проведем прямую ef, e'f, пер-

пендикулярную к плоскости abc, а'Ъ'с'. П р о ­ екции прямой, как известно, составляют прямые углы с соответствующими следами плоскости. Определим следы mm' и пгі прямой линии ef, e'f. Через точку mm' про­ ходят горизонтальные, а через точку пгі — фронтальные следы плоскостей, перпенди­ кулярных к заданной плоскости. Следы их, как видим, не перпендикулярны к соответ­ ствующим следам заданной плоскости. Пло -

кости QH, Qv; Мн, Мѵ и NH, Nv перпенди­ кулярны к плоскости abc, а'Ь'с'.

Если одноименные следы двух плоско­ стей взаимно перпендикулярны, то плоско­ сти не перпендикулярны между собой (рис. 83). Это легко доказать на примере (рис. 82). Если горизонтальный след NN плоскости NH , Ny , проходя через след пря­ мой — точку mm', перпендикулярен к гори­ зонтальному следу ас, а'с' заданной плоско­ сти, то фронтальный след Nv искомой плоскости (он должен пройти через фрон­ тальный след ил' прямой) не может быть

перпендикулярен к фронтальному следу а'Ь' заданной плоскости.

Если одноименные следы двух плоско­ стей взаимно перпендикулярны, то в плос­ кости нет прямой, перпендикулярной к дру­ гой плоскости, т. е. условие перпендику­ лярности двух плоскостей не соблюдается.

Две прямые взаимно перпендикулярны, если каждая из них является направлением одной из плоскостей другой прямой.

Через точку можно провести бесконечное множество прямых, перпендикулярных к данной прямой, но только одна из них будет пересекать другую под прямым углом. Все эти прямые принадлежат одной плоскости. Поэтому для построения чертежа прямой линии, перпендикулярной к другой прямой, необходимо прежде всего построить плос­ кость, перпендикулярную к этой прямой.

На схеме (рис. 84) через точку А прове­ дена плоскость Q перпендикулярно к задан­ ной прямой CD и определена точка К пере­ сечения прямой CD с этой плоскостью. Прямая АКпересекает заданную прямую CD под прямым углом.

Пример. Через данную точку хх' пря­ мой ab, а'Ь' перпендикулярно к ней провести прямую, пересекающую данную прямую cd, c'd' (рис. 85).

Р е ш е н и е . Через точку хх' прямой ab, а'Ь' проведем плоскость х12, х'Г2', перпен­ дикулярную к ней. Эта плоскость в точке у у' пересекает прямую линию cd, c'd'. Через прямую cd, с'd'проводим секущую вспомо­ гательную проецирующую плоскость NH.

А-

Р и с . 84

п л о с к о с т и о б щ е г о п о л о ж е н и я и п р о е ц и р у ю щ и х п л о с к о с т е й .

5. К а к о п р е д е л я ю т в т р е у г о л ь н и к е ц е н т р е г о т я ж е с т и , ц е н т р ы о п и с а н н о й и в п и с а н н о й о к р у ж ­ н о с т и ?

6. П о к а ж и т е на п р и м е р а х к а к о п р е д е л я ю т , т о ч к и п е р е с е ч е н и я п р о е ц и р у ю щ и х п л о с к о с т е й п р я ­ м ы м и л и н и я м и , л и н и и п е р е с е ч е н и я п р о е ц и р у ю ­ щ и х п л о с к о с т е й п л о с к о с т я м и о б щ е г о п о л о ж е н и я и п р о е ц и р у ю щ и м и п л о с к о с т я м и .

7. И з о б р а з и т е с х е м у и у к а ж и т е п о с л е д о в а ­

г е о м е т р и ч е с к и х о б р а з о в о т н о с и т е л ь н о п л о с к о с т е й п р о е к ц и й ?

о т т о ч к и д о п р я м о й ч а с т н о г о и о б щ е г о п о л о ­ ж е н и я ?

При построении ортогональных черте­ жей предметов необходимо предусмотреть систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Очевидно, что можно построить два изображения оригинала и на одну плоскость, выбрав два различных на­ правления проецирования. Так, например, треугольник ABC (рис. 87) можно предста­ вить на плоскости Q двумя параллельными проекциями (изображениями) а^Ь^ и а2Ь2с2, выбрав при этом соответственно два раз ­ личных направления проецирования. Отме­ тим, что:

линии ö ] ^ ; Ь]Ь2 ; •••> связывающие разно­ именные проекции точек оригинала (линии связи), параллельны между собой как следы

заданного плоского геометрического обра­ за ABC пересекаются между собой на одной общей прямой линии Ог 02 — линии пересе­ чения плоскости этого геометрического об­ раза с плоскостью Q проекций. В этих же точках прямые линии AB, ВС, ... пересека­ ются с плоскостью проекций Q;

ния, называют родственным, или перспек­

тивно-аффинным*.

Описанные свойства чертежа плоского геометрического образа в двойных парал­ лельных проекциях на одну плоскость д а ю т возможность по одной известной проекции оригинала и при некоторых других условиях определять вторую его проекцию.

Аналогично путем последовательных по­ строений определим проекцию а2ЬгС2 тре­ угольника ABC. При фиксированных на­

Э й л е р , н о в а н а л и т и ч е с к о й ф о р м е . В н а ч е р т а т е л ь ­ ной г е о м е т р и и о н о р а с с м а т р и в а л о с ь м н о г и м и г е о ­ м е т р а м и , в т о м ч и с л е и р у с с к и м и у ч е н ы м и — Н . М . Д у ш и н ы м , Н . А . Г л а г о л е в ы м , Н . Ф. Ч е т в е р у - х и н ы м и д р .

0t

Р и с . 89 (рис. 89), проходящей через диаметр. Линией

сечения сферы плоскостью My является круг. Наметим на этом круге точку аа' и соединим ее прямыми линиями с произвольно выбран­

Горизонтальные проекции чертежа в орто­ гональных проекциях можно принять за про­ екции обобщенного чертежа, в котором пря­ мая линия 0102 является основной линией обобщения, прямая аха2 — направлением обобщения, а точки at и а2— первой и второй проекциями точки аа'. Проекции прямого угла плоскости My представляются также прямыми углами только при определенных направлениях проецирования. Если в той же

чертежа будут проекциями или острого или

Таким образом, можно сделать вывод, что в каждом обобщенном чертеже суще­ ствуют два прямых угла, являющихся раз­ ноименными проекциями прямых углов, рас­ положенных в плоскостях первого пучка.

На рис. 89 показано также, что прямые углы сахе и саге можно получить как углы, опирающиеся на диаметр окружности, центр которой определяется на пересечении основ­ ной линии ОіОг с перпендикуляром из сере­ дины отрезка агаг. Такие углы называют

прямыми углами обобщения.

Г л а в а I V . О б о б щ е н н ы е ч е р т е ж и п л о с к и х ф и г у р

68чертеж — частный случай обобщенного чер­ тежа. Покажем на примерах возможности

На рис. 91 обобщенный чертеж треуголь­ ника ciibiCi, a2b2c2 преобразован в орто - тональный аіі>ісь ai Ъ\ с\. За плоскость про­ екций обобщенного чертежа здесь принята плоскость Я . Вводим две новые плоскости проекций: плоскость Ѵ\, перпендикулярную к направлению обобщения, и плоскость V, перпендикулярную к плоскости Я и парал­ лельную направлению обобщения. Путем

вращения вокруг следа ^ совместим про­ екцию агЬісі треугольника с плоскостью Ѵ\.

Всовмещенном цоложении треугольник

треугольник пространства, проекцией ко­

проекций Я и Vi.

Обозначения точек геометрических об­ разов на обобщенном чертеже примем такие же, как и на ортогональных. При переходе от ортогонального чертежа к обобщенному построим основную линию обобщения — геометрическое место точек пересечения раз­ ноименных проекций прямых линий плос­ кости.

На рис. 92 построена основная линия обобщения чертежа плоскости abc, a'b'-c', заданной главными линиями. На пересече­ нии разноименных проекций прямых (гори­ зонтали и фронтали) найдены точки 1Г и 22'. Эти точки определяют искомую прямую — основную линию Оі02 обобщения чертежа. Для проецирующих плоскостей основной линией обобщения является соответствую­ щий след плоскости.

На обобщенных чертежах прямые линии и точки в плоскости выбирают по тем же условиям и теми же приемами, как для ортогональных чертежей:

Р и с . 92

На рис. 93 прямые de, d'e' и rt, r't' при­ надлежат плоскости abc, a'b'c'. Прямая de, d'e' принадлежит плоскости по условию что она параллельна прямой be, b'c' плоскости и пересекается в точке 33' с основной ли­ нией Оі02 обобщения чертежа. Прямая ли­ ния rt, r't' также принадлежит плоскости abc, a'b'c'. Она проходит через две точки плос­ кости: пересекается в точке и' с прямой ли­ нией be, b'c', а в точке 44' с основной ли­ нией Оі 02 чертежа.

Р и с . 93

При решении позиционных задач на обоб­ щенных чертежах, как и на чертежах ортого­ нальных, можно применять метод вспомо­ гательных проецирующих плоскостей.

На обобщенном чертеже каждую из про­ екций прямой линии можно рассматривать как линию пересечения плоскости чертежа проецирующей плоскостью. Обозначим M и N следы проецирующих плоскостей обоб­ щенного чертежа, причем след M проеци­ рующей плоскости относится к проекциям точек чертежа со штрихом ('). След N про­ ецирующей плоскости относится к проекци­ ям точек чертежа без штриха.

На рис. 94 показано построение линии пересечения двух плоскостей — abc, a'b'c' и edk, e'd'k'. Основные линии чертежей задан­ ных плоскостей пересекаются в точке хх'. Точка хх' принадлежит линии пересечения плоскостей.

Другую общую для двух плоскостей точ­ ку уу' найдем, если введем вспомогательную секущую плоскость. Секущая проецирую­ щая плоскость M пересекает плоскость abc, a'b'c' по прямой 12, Г2'', а плоскость dek, d'e'k' — по прямой 34, 3'4'. Эти прямые плоскости M Пересекаются в точке уу'. Пря­

§ 25. П о з и ц и о н н ы е з а д а ч и на о б о б щ е н н ы х ч е р т е ж а х